Как найти площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда

Параллелепипед – это четырехугольная призма, в основании имеющая параллелограмм. Существуют готовые формулы для расчета боковой и полной площади поверхности фигуры, для которых необходимы лишь длины трех измерений параллелепипеда.

Как найти площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда

Необходимо различать прямоугольный и прямой параллелепипед. Основание прямой фигуры может представлять собой любой параллелограмм. Площадь такой фигуры необходимо вычислять по другим формулам.

Как найти площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда

Сумма S боковых граней прямоугольного параллелепипеда вычисляется по простой формуле P*h, где P – периметр и h – высота. На рисунке видно, что у прямоугольного параллелепипеда противоположные грани равны, а высота h совпадает с длиной ребер, перпендикулярных основанию.

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда

Полная площадь фигуры состоит из боковой и площади 2-х оснований. Как найти площади прямоугольного параллелепипеда:

Как найти площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда

Описанные формулы просты для понимания и полезны при решении множества задач геометрии. Пример типового задания представлен на следующем изображении.

Как найти площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда

При решении подобного рода задач следует помнить, что основание четырехугольной призмы выбирается произвольно. Если за основание принять грань с измерениями x и 3, то значения Sбок будет иным, а Sполн останется 94 см2.

Площадь поверхности куба

Куб – это прямоугольный параллелепипед, у которого все 3 измерения равны между собой. В связи с этим формулы полной и боковой площади куба отличаются от стандартных.

Как найти площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда

Периметр куба равен 4a, следовательно, Sбок= 4*a*a = 4*a2. Данные выражения не обязательны для заучивания, но значительно ускоряют решение заданий.

Пример решения задачи

Приведенные формулы могут использоваться в ходе поиска диагоналей параллелепипеда.

Как найти площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда

Для нахождение B1D достаточно применить теорему Пифагора: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Источник: https://karate-ege.ru/matematika/ploshhad-parallelepipeda.html

Прямоугольный и обычный параллелепипед, как находить полную площадь поверхности и какие формулы при этом нужны

При изучении школьной математики часто встречаются задания, в которых требуется определить полную или боковую площадь поверхности прямоугольного или обычного параллелепипеда. Научимся это делать.

Для того, чтобы научиться вычислять площадь поверхности параллелепипеда необходимо представлять, что это такое.

Общие понятия

Изучим основные понятия. В дальнейших наших рассуждениях площадь будем обозначать латинской буквой S, угол между сторонами a и b будем обозначать как (ab).

Параллелепипедом в математике именуется четырехугольная призма, у которой все грани являются параллелограммами.

  1. Грань — одна из поверхностей пространственного тела.
  2. Параллелограмм — четырёхугольник с попарно параллельными противоположными сторонами.
  3. Поверхности параллелепипеда это сумма поверхностей всех его граней.
  4. Прямоугольный параллелепипед — пространственное тело у которого гранями являются прямоугольники.
  5. Прямоугольник — четырёхугольник у которого все углы прямые.
  6. Куб — пространственное тело у которого гранями являются квадраты.
  7. Квадрат — прямоугольник у которого все стороны равны между собой.
  8. Равными называются фигуры, совмещающиеся при наложении.

Как найти площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда

Нахождение площадей фигур

Рассмотрим, как находятся площади, могущие составлять грани параллелепипеда.

  1. Площадь квадрата равна произведению его стороны самой на себя. Формула площади квадрата имеет вид S = a*a = a^2.
  2. Прямоугольника — вычисляется с помощью умножения большей его стороны (длины) на меньшую его сторону (ширину). Формула площади прямоугольника имеет вид S = a*b.
  3. Параллелограмма — найти сложнее и имеется несколько различных способов. Наиболее часто в математике применяются формулы для нахождения с помощью стороны и опущенной на неё высоты или двух сторон и синуса угла между ними. Записываются они следующим образом: S = a*h, S = a*b*sin (ab).

Рассмотрим на примерах как найти площадь каждой из рассматриваемых нами фигур.

1. Длина стороны квадрата равна 1600 метров. Определим его площадь.

  • S = a*a, отсюда в искомом случае S = 1600*1600 = 2 560 000 метров квадратных.

2. Стороны прямоугольника равны 90 и 200 метров соответственно. Определим его S.

  • S = a*b, следовательно в нашем варианте получится S = 90*200 = 18 000 метров квадратных.

3. С параллелограммом рассмотрим два случая нахождения.

Сторона равна 300 метров, а опущенная на неё высота 250 метров. Тогда получится:

  • S = a*h = 300*250 = 75 000 метров квадратных.

Второй вариант — стороны равны 550 и 200 метров соответственно. Угол между ними 30 градусов. Имеем:

  • S = a*b*sin (ab) = 550*200*sin 30 = 110 000*0.5 = 55 000 квадратных метров.

Как видно из примеров, приведённых выше, никаких сложностей нет.

Как найти площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда

Площадь поверхности параллелепипеда

Так как наши тела имеют три принципиально различных варианта, то каждый из них мы рассмотрим в отдельности. Учтём, что полной поверхностью является сумма площадей всех граней тела, а боковой — только боковых граней.

Площадь поверхности куба

Здесь все крайне просто — грани этой фигуры равны между собой, так что S = a*a*6.

На примере это выглядит следующим образом:

Сторона равна 88 сантиметров. Площадь полной поверхности?

При данных условиях имеем:

S = a*a*6 = 88*88*6 = 46 464 сантиметра квадратного.

Читайте также:  Как ловить рыбу в традициях русской рыбалки

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда

Здесь все так же довольно легко — нужно помнить, что противоположные грани равны. Таким образом, находим поверхность трёх различных граней, и каждую удваиваем. Формулы нахождения будут выглядеть следующим образом:

S = 2*(S1 + S2 + S3), где S1, S2, S3 площади всех граней соответственно.

Второй вариант S = 2*(a*b + a*c + b*c), где a, b, c соответствующие рёбра прямоугольного параллелепипеда.

Снова рассмотрим пример. Пусть рёбра прямоугольного параллелепипеда равняются 20, 30 и 40 метров. Площадь полной поверхности?

Имеем, S = 2*(a*b + a*c + b*c) = 2*(20*30 + 20*40 + 30*40) = 2*(600 + 800 + 1200) = 2*2600 = 5 200 квадратных метров.

Как видно, находить площадь прямоугольного параллелепипеда также совершенно несложно.

Поверхность параллелепипеда

Теперь рассмотрим случай когда заданное нам тело имеет вид простого параллелепипеда, его гранями являются обычные параллелограммы. Здесь, как и в предыдущем случае противоположные грани равны. Следовательно, определив поверхность трёх различных граней, мы сможем определить и полную поверхность. Значит, одна из формул опять-таки будет иметь вид:

  • S = 2*(S1 + S2 + S3), где S1, S2, S3 площади трёх различных граней соответственно. Запишем исходя из наших рассуждений, ещё две формулы:
  • S = 2*(a*h1 + b*h2 + c*h3), где a, b, c соответствующие рёбра параллелепипеда, а h1, h2, h3 опущенные на них высоты.
  • S = 2*(a*b*sin (ab) + a*c*sin (ac) + b*c*sin (bc)), где a, b, c соответствующие рёбра, а (ab), (ac), (bc) углы между ними.

Снова приведём пример:

  • a = 15, b = 25, c = 25, h1 = 10, h2 = 20, h3 = 15. Пл. полной поверхности? Согласно формуле получим:
  • S = 2*(a*h1 + b*h2 + c*h3) = 2*(15*10 + 25*20 + 25*15) = 2*(150 + 500 + 375) = 2*1025 = 2 050 миллиметров квадратных.

В некоторых заданиях требуется определение только площади боковой поверхности параллелепипеда. В таком случае чётко указывается, что является основанием и находится только суммарная пл. четырёх боковых граней. Все приведённые выше рассуждения остаются верными.

Как найти площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда

Заключение

Тщательно изучив все сказанное выше, можно отметить, что никакой особой сложности задача по определению площади параллелепипеда не вызывает. Нужно всего-навсего чётко представлять все данные в материале математические понятия, абсолютно точно выучить формулы, ну и, разумеется, уметь хорошо проводить арифметические действия.

Видео

Из видео вы узнаете, как находить площать прямоугольного параллелепипеда.

Источник: https://LivePosts.ru/articles/education-articles/matematika/polnaya-ploshhad-poverhnosti-pryamougolnogo-parallelepipeda

Как найти площадь поверхности параллелепипеда

Призма, у которой все стороны являются параллелограммами, и есть параллелепипед. Коробка, холодильник, здания, аквариум, кусочек сахара-рафинада – вот немногие примеры параллелепипеда в нашей повседневной жизни.

1

Разновидность, свойства параллелепипеда

Различают прямой и наклонный параллелепипед.

Прямой – это тот, ребра которого перпендикулярны основанию плоскости. Если основанием является прямоугольник, тогда фигура называется прямоугольным параллелепипедом. Если основанием и боковыми гранями является квадрат – куб.

Наклонный параллелепипед имеет наклон боковых граней к основанию под углом, отличным от 90 градусов.

Свойства параллелепипеда:

  • Противоположные грани равны и параллельны.
  • Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов 3-х его измерений, т.е. D^2=a^2+b^2+c^2.
  • Все диагонали пересекаются в одной точке, делящей их пополам.
  • Параллелепипед симметричен по отношению к середине его диагонали.

2

Площадь поверхности параллелепипеда

Как известно, существует несколько разновидностей параллелепипеда, поэтому и формулы для нахождения площади полной поверхности будут различаться.

Прямоугольный параллелепипед

У прямоугольного параллелепипеда основания и боковые грани – прямоугольники.

В данном случае используется формула S(п)=2(a*b+b*c+a*c).

Куб является частным случаем параллелепипеда. У него все стороны равны. Воспользовавшись формулой выше, получаем S(п)=2(a*a+a*a+a*a). В результате преобразования можно получить сокращенную версию формулы для нахождения площади полной поверхности куба S(п)=6*a^2.

Прямой параллелепипед

В то время, когда у прямоугольного параллелепипеда основанием является прямоугольник, прямой может иметь там любой параллелограмм, будь то квадрат или ромб. Именно поэтому формула для нахождения площади полной поверхности такой фигуры будет иной: S(п)=S(б)+2S(о), где S(о) – площадь основания, S(б) – площадь боковой поверхности.

Площадь основания S(о) будет зависеть от того, какая фигура лежит в основании.

В свою очередь, площадь боковой поверхности рассчитывается, как S(б)=P(о)*h, где P(о) – периметр основания, h – высота.

3

Как найти площадь поверхности параллелепипеда – пример

Основанием прямого параллелепипеда служит ромб. Меньшая его диагональ равна 5 см, большая диагональ – 9 см, периметр равен 20 см. Найти площадь полной поверхности параллелепипеда, если его высота равна 6 см.

  • Для решения задачи понадобится формула S(п)=S(б)+2S(о).
  • В основании параллелепипеда лежит ромб, следовательно, его площадь необходимо найти.
  • S(б)=P(о)*h=20*6=120 см^2
  • S(о)=(d1+d2)/2=(5+9)/2=7см^2
  • Подставив данные в формулу, получаем S(п)=120+2*7=134 см^2.

Человека окружает множество вещей-параллелепипедов. Системный блок компьютера, кирпич, шкаф, различные архитектурные сооружения. Даже не замечая, параллелепипед занял значимое место в современном мире.

Источник: https://sovetclub.ru/kak-najti-ploshhad-poverhnosti-parallelepipeda

Площадь поверхности параллелепипеда как найти?

Параллелепипед — это призма, в основании которой находится параллелограмм. Противоположные стороны параллелепипеда равны. Соответственно, у них будут и равные площади. Всего у параллелепипеда 6 граней, значит:

Sобщ = 2(S1+S2+S3)

Идем дальше. Примем, что ребра параллелограмма равны a, b и с. Где a, b — стороны основания (образуют S1), а с — высота параллелограмма. b и с образуют S2, а c и a образуют S3.

  • Далее: существует несколько различных случаев:
  • 1) Если все шесть граней параллелепипеда являются прямоугольниками — то такой параллелепипед называется прямоугольным. И его площадь высчитывается по формуле:
  • Sобщ = 2(S1+S2+S3) = 2(ab + + )
  • 2) Если четыре из шести граней параллелограмма являются прямоугольниками, то такой параллелепипед называется прямым. Его площадь считается не только через длину его ребер, но и через величину непрямого угла между сторонами параллелограмма, не являющегося прямоугольником:
  • Sобщ = 2(S1+S2+S3) = 2(absinX + сb + )

3) Куб — тоже частный случай параллелограмма. Это прямоугольный параллелограмм, все ребра которого равны. Соответственно, будут равны и все стороны. Площадь высчитывать легче всего:

Sобщ = 2(S1+S2+S3) = 2(a^a+а^2+a^2)=6a^2, где а — ребро куба.

Общая формула площади поверхности параллелограмма в полном варианте применяется в тех случаях, когда он не является прямоугольным. Ребра такой призмы расположены не под прямым углом друг к другу, а значит синус этих углов не равен единице, как в предыдущих случаях, когда мы его просто не указывали.

Если допустить, что углы между ребрами параллелограмма равны:

  • угол между а и b = X
  • угол между а и c = Y
  • угол между c и b = Z

Тогда:

Sобщ = 2(S1+S2+S3) = 2(absinX + сbsinZ + sinY)

Далее можно упомянуть еще один вид параллелограммов: те, у которых лишь две стороны являются прямоугольниками. Допустим, что S1 — это площадь прямоугольника в основании. Тогда:

Sобщ = 2(S1+S2+S3) = 2(absinX + сbsinZ + sinY) = 2(ab + сbsinZ + sinY), т.к. Х=90 градусов и sinX=1.

Вот как-то так)

Источник: http://www.bolshoyvopros.ru/questions/633174-ploschad-poverhnosti-parallelepipeda-kak-najti.html

Площадь поверхности и объем параллелепипеда

Развернуть структуру обучения

Свернуть структуру обучения

Примечание. Это часть урока с задачами по геометрии (раздел теорема стереометрия — параллелепипед). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет — пишите об этом в форуме. В задачах вместо символа «квадратный корень» применяется функция sqrt(), в которой sqrt — символ квадратного корня, а в скобках указано подкоренное выражение. Для простых подкоренных выражений может использоваться знак «√» Основание прямоугольного параллелепипеда — ромб. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда, если площади его диагональных сечений равны P и Q

  • Решение.
  • P = hd1 , где
  • d1 — длина диагонали
  • Q= hd2 , где
  • d2 — длина диагонали
  • d1 = P / h

Площадь первого сечения выразим как h — высота параллелепипеда Площадь второго сечения выразим как h — высота параллелепипеда Соответственно, d2 = Q / h Площадь боковой поверхности равна S = 4ah, где a — длина стороны ромба h — высота параллелепипеда По теореме Пифагора

a = sqrt( ( d1 / 2 )2 + ( d2 / 2 )2 )

a = sqrt( d12 / 4  + d22 / 4 ) a = sqrt( d12 + d22 ) / 2 Тогда S = 4ah

S = 4h sqrt( d12 + d22 ) / 2

S = 2h sqrt( d12 + d22 ) поскольку

d1 = P / h

d2 = Q / h то

S = 2h √( ( P / h )2 + ( Q / h )2 )

S = 2h √( P 2 + Q2 ) / h S = 2 √( P 2 + Q2 )

Ответ: S = 2 √( P 2 + Q2 )

Вычислить объем прямоугольного параллелепипеда, диагональ которого а образует с плоскостью основания угол а, а с боковой гранью – угол β. Обчислити об'єм прямокутного паралелепіпеда, діагональ якого а утворює з площиною основи кут а, а з бічною гранню кут β.

Решение. Рiшення.

  1. По условию
  2. AC' = a
  3. ∠C'AC = α
  4. ∠AC'B = β
  5. Тогда
  6. V = AB х BC х CC´;
  7. AB = a sin β;
  8. AC = cos α;
  9. CC´ = sin α;
  10. BC2 = AC2 — AB2
  11. a2cos2α — a2sin2β = a2( cos2α — sin2β )

(cos2α — sin2β > 0 т.к. АС – гипотенуза, а АВ – катет).

  • За умовою
  • AC' = a
  • ∠C'AC = α
  • ∠AC'B = β
  • Тоді
  • V = AB х BC х CC´;
  • AB = a sin β;
  • AC = cos α;
  • CC´ = sin α;
  • BC2 = AC2 — AB2
  • a2cos2α — a2sin2β = a2( cos2α — sin2β )

(cos2α — sin2β > 0 т.к. АС – гіпотенуза, а АВ – катет).

В параллелепипеде длины трех ребер, выходящих из одной вершины, равны а, b, с. Ребра а и b взаимно перпендикулярны, а ребро с образует с каждым из них угол α. Найти объем параллелепипеда. У паралелепіпеді довжини трьох ребер, що виходять з однієї вершини, дорівнюють а, b, с. Ребра а і b взаємно перпендикулярні, а ребро с утворює з кожним з них кут α. Знайти об'єм паралелепіпеда.

Решение. Рiшення.

Так как углы, образуемые ребром с с ребрами а и b, равны, то треугольник АОВ равнобедренный и прямоугольный, катеты которого АВ=ОВ=с*cosα, а гипотенуза ОА= *c*cosα Так як кути, утворені ребром с з ребрами а і b рівні, то трикутник АОВ і прямокутний рівнобедрений, катети якого АВ=ОВ=с*cosα,  а гіпотенуза ОА= *c*cosα

0  

 Параллепипед | Описание курса | Призма с треугольником в основании 

Источник: https://profmeter.com.ua/communication/learning/course/course7/lesson200/

Как найти площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда

Как найти площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда? Формулы -40. Ответ. Слайд 40 из презентации «МАТЕМАТИКА 5 класс»

Размеры: 720 х 540 пикселей, формат: .jpg.

Чтобы бесплатно скачать слайд для использования на уроке, щёлкните на изображении правой кнопкой мышки и нажмите «Сохранить изображение как…». Скачать всю презентацию «МАТЕМАТИКА 5 класс.

ppt» можно в zip-архиве размером 240 КБ.

краткое содержание других презентаций на тему слайда

«Параллелепипед 10 класс» — Противоположные грани. Вариант 1. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Параллелепипед. Самостоятельная работа. Угол равен 60?. 3.Четыре, если параллелепипед – куб. Параллелепипед, все грани которого – ромбы, называется РОМБОЭДР. Диагонали параллелепипеда. Геометрия 10 класс. Проверь себя. Прямоугольный параллелепипед.

«Прямоугольный треугольник 7 класс» — Закрепить основные свойства прямоугольных треугольников. Решение задач: Самостоятельное решение задач с последующей самопроверкой.

Заполните пропуски в решении задачи: Теоретический опрос: Развивать навыки решения задач на применение свойств прямоугольного треугольника.

Рассмотреть признак прямоугольного треугольника и свойство медианы прямоугольного треугольника.

«Объем параллелепипеда» — Так что же такое объем? Задание №2. Задания для закрепления материала. Найдите объем куба, ребро которого равно 3 см. Так же поступаем и мы сейчас. Теперь определим что же такое единицы объемов? Тема урока: Объем параллелепипеда. Задание №1. Еще в древности людям требовалось измерять количества каких-либо веществ.

«Свойства прямоугольного параллелепипеда» — Прямоугольные. Сформулировать свойства паралллелепипеда. 1. Все грани — параллелограммы. Свойства прямоугольного параллелепипеда. Не прямоугольные. Наклонные. Доказать: Параллелепипеды. Не кубы. Прямоугольный параллелепипед с равными ребрами называется кубом. Подведение итогов. Кубы. Решение задач. Прямые.

«Тетраэдр и параллелепипед» — Выполнила Котловская И.Ю.г.Н.Новгород. Сечение. Тетраэдр Параллелепипед. Сечения. Свойства параллелепипеда. Построение сечения. 1.Противоположные грани параллельны и равны. Тетраэдр. Элементы тетраэдра. Диагонали пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.

«Сечения параллелепипеда» — MPKN — сечение параллелепипеда. Выполнить построение сечений параллелепипеда в следующих случаях: PSKR — сечение параллелепипеда. Задание : построить сечение, проходящее через точки M, N, K. M ? (ABB’A’) N ? (ABCD) K ? CC’. Задание : построить сечение через ребро параллелепипеда и точку К. Самостоятельная работа учащихся.

23 презентации об уроках математики

Источник: http://900igr.net/prezentacija/matematika/matematika-5-klass-103059/kak-najti-ploschad-poverkhnosti-prjamougolnogo-parallelepipeda-40.html

« ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД. ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА ». — презентация

1 « ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД. ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА ».

2 Цели урока: 1) дать представление о прямоугольном параллелепипеде, дать понятия грань, ребра, вершины параллелепипеда, помочь учащимся вывести формулу для нахождения площади поверхности прямоугольного параллелепипеда, куба, научиться применять ее для решения задач 2)развивать логическое мышление, наблюдательность, интуицию, упорство, волю для достижения цели, самостоятельность, развивать умение обобщать, конкретизировать. 3) воспитывать чувство коллективизма, чувство уверенности в себе.

3 1) повторить понятие и формулы нахождения площади прямоугольника и квадрата, повторить единицы измерения площадей, перевод единиц измерения площадей 2) совершенствовать вычислительные навыки 3) изучить элементы прямоугольного параллелепипеда, свойство противоположных граней 4) провести практическую работу с целью вывода формулы для нахождения площади поверхности прямоугольного параллелепипеда и куба 5) научиться применять формулу для расчета площади поверхности прямоугольного параллелепипеда, куба.

4 Устный счет 1)Найти площадь прямоугольника со сторонами 3 см и 5 см. 2) Найти площадь квадрата со стороной 6 дм. 3) Найти площадь фигуры.

  • 5 4 5 га 12 а= м² 52 м² = см² 34 дм²= см² 1030а = га а
  • 6 Окружающие нас предметы имеют форму прямоугольного параллелепипеда.
  • 7 Прямоугольный параллелепипед ограничен шестью прямоугольниками, которые называют гранями. Противоположные грани прямоугольного параллелепипеда равны

8 Стороны граней называются ребрами. Прямоугольный параллелепипед имеет 12 ребер На рисунке показаны четверки равных ребер параллелепипеда.

  1. 9 Поверхность прямоугольного параллелепипеда состоит из 6 граней 1 2 Задняя грань Передняя грань
  2. 10 Нижняя грань верхняя грань Поверхность прямоугольного параллелепипеда состоит из 6 граней
  3. 11 Стороны граней называются ребрами параллелепипеда
  4. 12 Вершины граней называются вершинами параллелепипеда
  5. 13 Что такое объем?
  6. 14 Кубический сантиметр
  7. 15 Объем прямоугольного параллелепипеда
  8. 16
  9. 17
  10. 18 Объем куба
  11. 19 Вычислите объем прямоугольного параллелепипеда и куба 7 см 6 см 4 см 8 см 192 см³ 343 см³
  12. 20 Решим задачу Сколько потребуется краски, чтобы покрасить поверхность бруса, если для покраски 1 дм² поверхности нужно 2 г краски? Получили формулу для нахождения площади поверхности S=2ab+2ac+2bc
  13. 21
  14. 22 Самостоятельная работа по карточкам
  15. 23

24 Спасибо за урок! МОЛОДЦЫ!

Источник: http://www.myshared.ru/slide/598518/

Ссылка на основную публикацию