Как решать графические уравнения

ОСР. «Решение уравнений с помощью графиков».

  • Задание:
  • 1)Опорный конспект.
  • Графиком называется множество точек координатной плоскости, у которых значения x и y связаны некоторой зависимостью и каждому значению x соответствует единственное значение y.
  • Графический способ — один из самых удобных и наглядных способов представления и анализа информации.

На практике довольно часто оказывается полезным графический метод решения уравнений. Он заключается в следующем: для решения уравнений f(x)=0 строят график функции y=f(x) и находят абсциссы точек пересечения графика с осью Оx: эти абсциссы и являются корнями уравнения. Алгоритм решения уравнений графическим способом

  1. Чтобы решить графически уравнение вида f(х) = g(х), нужно:
  2. 1.Построить в одной координатной плоскости графики функции:
  3. у = f(х) и у = g(х).

2. Найти точки пересечения этих графиков.

3. Указать абсциссу каждой из этих пересечения.

4. Записать ответ.

  • Довольно просто решать графически систему уравнений, так как каждое уравнение системы на координатной плоскости представляет какую- то линию.
  • Построив графики этих уравнений и найдя координаты точек их пересечения (если они существуют), мы получим искомое решение.
  • Графическое решение неравенств, сводится к отысканию таких точек x, при которых один график лежит выше или ниже другого.
  • Примеры:
  • 1. Решите уравнение
  • 2. Решите уравнение
  • 3. Решить уравнение Как решать графические уравнения
  • Решение: Построим графики функций  и y = x

Графики функций не пересекаются, и, значит, уравнение не имеет корней (см. рисунок).

Ответ: корней нет.

4.Найти значение выражения х+ у,если (х;у) является решением системы уравнений. Как решать графические уравнения

  1. Решение:
  2. -параллельный перенос на 1 единицу влево.
  3.  — параллельный перенос на 2 единицы влево.
  4. х= — 1, у=1
  5. х+ у=0.
  6. Ответ: 0.

5. Решите неравенство >12 — 1,5х. №6. Решите неравенство . Oтвет: х>0.

Ответ: х>2. Как решать графические уравнения

Как решать графические уравнения

7. Решить уравнение  sinx + cosx=1. Построим графики функций y=sinx u y=1-cosx.(рисунок 5) Из графика видно, что уравнение имеет 2 решения: х=2πп,где пЄZ и х=π/2+2πk,где kЄZ.

Как решать графические уравнения

8.Решить уравнение: 3x = (х-1) 2 + 3

Решение: применяем функциональный метод решения уравнений:

Как решать графические уравнения

т.к. данная система имеет единственное решение, то методом подбора находим х=1Как решать графические уравнения

  • Ответ: 1.
  • 9.Решить неравенство: сos x 1 + 3x
  • Решение:

Как решать графические уравнения

Ответ: ( ; ).Как решать графические уравнения

10. Решить уравнение Как решать графические уравнения

В нашем случае функция возрастает при х>0, а функция y = 3 – x убывает при всех значениях х, в том числе и при х>0, значит, уравнение имеет не более одного корня. Заметим, что при х = 2 уравнение обращается в верное равенство, так как .

  1. Ответ: 2 .
  2. 2)Решить задание:
  3. 1)Есть ли корень у уравнения и если есть, то положительный он или отрицательный?
  4. а) ; б) , в) 6х =1/6, г) .
  5. 2)Решить графическим методом уравнение  .
  6. 3)Решите графическим методом уравнения:
  7. а) б).

4)На рисунке изображен график функции y=f(x). Найдите количество целых корней уравнения f(x)= 0.

  • 1) 1 2) 6 3) 7 4) 8
  • 5) На каком из рисунков изображен график функции ?
  • 1) у 2) у 3) у 4) у
  • 1 1 1
  • 6) График какой функции изображен на рисунке?
  • 1) у = 2х-1,5; 2) у = 2х – 2;
  • 3) у = 2х – 3; 4) у = 2 – 2.
  • 7)График какой функции изображен на рисунке?
  • 1) у = sinx; 2) ; 3) ; 4) .
  • 8) На рисунке изображен график функций y
  • y = f (x) и y = g (x), заданный на промежутке
  • [-5;6]. Укажите те значения х, для которых
  • выполняется неравенство g (x) f (x) 1
  • 1) [-5; 0] 2) [-5; 2]
  • 0 1 x
  • 3) [-2; 2] 4) [2; 6]

9) На рисунке изображен график функции y=f(x). Найдите количество целых корней уравнения f(x)= 0.

1) 3 2) 4 3) 2 4) 1

10) На рисунке изображен график функции y=f(x). Найдите количество целых корней уравнения f(x)+2= 0.

  1. 1) 3 2) 5 3) 4 4) 1
  2. 11) Решите графическим методом уравнения:
  3. а) , б), в) cos x≤ 1+ 4x, г) 5x = (х — 1) 2 + 5.
  4. 12) Решить графическим методом уравнение  .

Источник: https://infourok.ru/osrreshenie-uravneniy-s-pomoschyu-grafikov-1706444.html

Графический метод. Описание, примеры решения уравнений

Графический метод предполагает использование графиков функций. В общем случае построение графиков функций – дело непростое.

Поэтому, графический метод решения уравнения обычно применяется лишь тогда, когда функции, отвечающие частям уравнения, довольно простые в плане построения графиков, и при этом не видно другого аналитического метода решения. Это одна из особенностей графического метода решения уравнений.

Другая особенность касается получаемых по графикам результатов. Полученные по графикам результаты можно считать лишь приближенными. Дело здесь в том, что сами по себе графики функций — вещь не совсем точная (но при этом очень наглядная и во многих отношениях удобная), особенно если говорить о графиках, построенных от руки.

Это следует из принципов, которыми мы руководствуемся при построении графиков функций.

Что мы делаем для построения графика функции в общем случае? Проводим исследование функции, чтобы получить ряд «опорных» точек, таких как граничные точки области определения, максимумы-минимумы, точки перегиба, и понять поведение функции на всех интервалах ее области определения. После этого определяем несколько контрольных точек.

Дальше переносим все определенные в ходе исследования точки на координатную плоскость и, сейчас внимание, соединяем их плавной линией в соответствии с выясненным в ходе исследования поведением функции. Эта «плавная линия» и есть график функции. О какой точности можно здесь говорить? Понятно, что она определяется точностью нашего построения.

С приближенными, найденными по графикам, значениями корней уравнения можно так или иначе работать. В некоторых случаях определенные по графикам значения корней оказываются точными значениями, в чем позволяет убедиться проверка подстановкой.

В других случаях есть возможность уточнить значения корней до требуемой степени точности, для этого существуют специальные методы уточнения значений корней.

А вот если по графикам нет возможности определить количество корней, не говоря уже об их значении, то, почти наверняка, стоит отказываться от графического метода решения уравнения. Добавим наглядности сказанному.

Давайте посмотрим на изображенные в одной прямоугольной системе координат графики функций и y=−x2+6·x−5.

Как решать графические уравнения Как решать графические уравненияКак решать графические уравнения

Сейчас мы видим три точки пересечения, даже можем приближенно указать их абсциссы: 1, 2 и 2,7. Но опять же, это не более чем приближенные результаты, нуждающиеся в проверке и строгом обосновании.

Учитывая оговоренные особенности графического метода решения уравнения, для себя можно принять следующее: к графическому методу стоит обращаться лишь тогда, когда функции, отвечающие частям уравнения, довольно простые в плане построения графиков, когда по построенным графикам можно с уверенностью указать точное количество точек их пересечения, и когда не просматривается альтернативный метод решения.

К началу страницы

Источник: http://www.cleverstudents.ru/equations/graphical_method.html

6.9.1. Решение систем линейных уравнений графическим способом

  • style=»display:inline-block;width:336px;height:280px» data-ad-client=»ca-pub-8602906481123293″
  • data-ad-slot=»2890988705″>
  • Способ заключается в построении графика каждого уравнения, входящего в данную систему, в одной координатной плоскости и нахождении точки пересечения этих графиков. Координаты этой точки (x; y) и будут являться решением данной системы уравнений.
  • Если прямые, являющиеся графиками уравнений системы, пересекаются, то система уравнений имеет единственное решение.
  • Если прямые, являющиеся графиками уравнений системы, параллельны, то система уравнений не имеет решений.
  •  Если прямые, являющиеся графиками уравнений системы, совпадают, то система уравнений имеет бесконечное множество решений.

Примеры. Решить графическим способом систему уравнений.

Как решать графические уравненияГрафиком каждого уравнения служит прямая линия, для построения которой достаточно знать координаты двух точек. Мы составили таблицы значений х и у для каждого из уравнений системы.

Прямую y=2x-3 провели через точки (0; -3) и (2; 1).

Прямую y=x+1 провели через точки (0; 1) и (2; 3).

Графики данных уравнений системы 1) пересекаются в точке А(4; 5). Это и есть единственное решение данной системы.

Ответ: (4; 5).

Как решать графические уравненияВыражаем у через х из каждого уравнения системы 2), а затем составим таблицу значений переменных х и у для каждого из полученных уравнений.

Прямую y=2x+9 проводим через точки (0; 9) и (-3; 3). Прямую y=-1,5x+2 проводим через точки (0; 2) и (2; -1).

Наши прямые пересеклись в точке В(-2; 5).

Ответ: (-2; 5).

Источник: https://www.mathematics-repetition.com/6-klass-mathematics/6-9-1-reshenie-sistem-lineynh-uravneniy-grafitcheskim-sposobom.html

Графическое решение уравнений и неравенств /qualihelpy

Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели Уравнением линии на плоскости называют уравнение с двумя переменными   или  , которому удовлетворяют координаты  (абсцисса) и  (ордината) любой точки данной линии. 

Уравнение окружности

Рассмотрим расположение окружности на координатной плоскости: 

1) если уравнение окружности имеет вид  , то ее центр находится в точке  , а радиус равен  (рис. 2.51); 2) если уравнение окружности имеет вид Как решать графические уравнения , то ее центр находится в точке  , а радиус равен  (рис. 2.52).Заметим, что неравенству   удовлетворяют координаты всех точек плоскости, лежащих внутри окружности  , а неравенству   удовлетворяют координаты всех точек, лежащих вне этой окружности. Неравенству   удовлетворяют координаты всех точек плоскости, лежащих внутри окружности   и на ее границе.

Уравнение квадрата

Рассмотрим расположение квадрата на координатной плоскости: 

1) если уравнение квадрата имеет вид  , то точка   – точка пересечения диагоналей квадрата,  – длина диагонали квадрата (рис. 2.53);2) если уравнение квадрата имеет вид  , то точка   – точка пересечения диагоналей квадрата,  – длина диагонали квадрата (рис. 2.54).

Пересечение линий на плоскости

Рассмотрим две линии, заданные уравнениями   и  . Чтобы найти точку пересечения этих линий необходимо решить систему уравнений   

Графическое решение уравнений и неравенств 

1. Рассмотрим уравнение  . Это уравнение можно решить графически, если построить в одной системе координат графики функций  ,   и найти их точки пересечения. Абсциссы точек пересечения и будут корнями уравнения  . 2. Использование монотонности функций при решении уравнений: если функция   строго возрастает, а функция   строго убывает на некотором множестве, то графики этих функций имеют не более одной точки пересечения, а уравнение   на этом множестве имеет не более одного решения. Поэтому, чтобы решить такие уравнения можно подобрать (если это удается) число, которое является их корнем. На рисунке 2.55 число  – корень уравнения  . Аналогично решаются уравнения, если функция  имеет вид   (эта прямая параллельна оси абсцисс) (рис. 2.56). Например, число  является единственным корнем уравнения  , так как левая часть этого уравнения представлена строго убывающей функцией, а правая – строго возрастающей. 3. Использование монотонности функций при решении неравенств: если функция   строго возрастает на некотором отрезке  , а функция   строго убывает на этом отрезке и   – корень уравнения  , то решением неравенства   является промежуток  , а решением неравенства   является промежуток   (рис. 2.57). Графики функций на заданном отрезке могут и не пересекаться. Например, на рисунке 2.58 неравенство   выполняется на всем отрезке  . Пример 1. Найдите площадь фигуры, ограниченной прямыми  ,   и  .

Читайте также:  Как завить волосы с помощью утюжка

Решение. Построим на координатной плоскости данные прямые (рис. 2.59). 

Прямая   (1) параллельна оси ординат и проходит через точку  . Чтобы построить прямую   (2), необходимо знать две точки, принадлежащие этой прямой. Например, можно построить точки  ,   и провести через них прямую (2).

Чтобы построить прямую   (3), можно построить точки   и  , принадлежащие этой прямой, и провести через них прямую (3).Из рисунка 2.59 видим, что треугольник  ограничен данными прямыми. Площадь полученного треугольника найдем по формуле  , а в нашем случае  .

 

Найдем координаты точек пересечения прямых.

1. Найдем координаты точки , решая систему уравнений   Получим точку  .2. Найдем координаты точки , решая систему уравнений   Получим точку  .3. Найдем координаты точки , решая систему уравнений   Получим точку  .Найдем длину отрезка , вычитая из ординаты точки  ординату точки . Получим  . Найдем длину отрезка , вычитая из абсциссы точки  абсциссу точки :  . Найдем площадь треугольника :  .Ответ:  .Пример 2. Найдите площадь фигуры, заданной на координатной плоскости системой неравенств  Решение. Построим гранич-ные прямые, соответствующие неравенствам заданной системы:   (1),   (2),   (3),   (4) (рис. 2.60). Система неравенств задает на координатной плоскости трапецию , площадь которой найдем по формуле  .Согласно рисунку 2.60 запишем:  ,  . Найдем координаты точки , решая систему уравнений   Получим  . Аналогично найдем координаты точки . Получим  . Тогда  .Найдем площадь трапеции:  .Ответ: .Пример 3. Найдите все целые значений параметра , при которых уравнение   имеет шесть корней. Решение. Заменим данное уравнение равносильной системой уравнений  Построим схематически график функции  , предварительно построив графики функций   и  . 1. Графиком функции   является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем координаты вершины параболы.Согласно формулам  ,   получим:  ,  . Найдем нули функции (точки пересечения графика с осью абсцисс), решая уравнение  . Получим ,  . Найдем точку пересечения графика с осью ординат:  . Построим график (1) (рис. 2.61).2. Рассмотрим функцию  . Поскольку  , то запишем  . Построим график (2) этой функции, выполняя следующее преобразование: часть графика функции   правее оси  оставим и ее же отразим симметрично этой оси (рис. 2.61).3. Построим график (3) функции  , выполняя следующее преобразование: часть графика функции  , расположенной над осью  оставим, а ту, что под осью , отразим симметрично этой оси (рис. 2.61).Рассмотрим линейную функцию  . Построим семейство прямых, параллельных оси  так, чтобы они пересекали график функции   в шести точках. Это возможно при условии, что   или  . Очевидно, что промежутку   принадлежит одно целое значение  .Ответ: .Пример 4. Найдите все значения параметра , при которых уравнение   имеет один корень. Решение. Решим уравнение графически, заменив его равносильной системой уравнений    1. Построим схематически график функции   (рис. 2.62). Для этого найдем нули функции под знаком модуля: ,   и раскроем модуль на полученных промежутках, учитывая при этом, что    – точка разрыва функции.

Рассмотрим два случая: 

1) если  , то   или  ; 2) если  , то   или   .2. Построим схематически график функции  , предварительно построив параболу  . Парабола   и прямая   имеют две общие точки. Так как согласно условию задачи графики функций   и   должны иметь только одну точку пересечения, то, выполняя параллельный перенос параболы   на  единичных отрезка влево, заметим, что при   парабола   и прямая   имеют одну точку пересечения, а при   уже не имеют общих точек. Следовательно, если  принимает значения из промежутка  , то графики функций   и   имеют одну общую точку, а уравнение   имеет одно решение.Ответ:   .Пример 5. Найдите все значения параметра , при которых уравнение   имеет бесконечно много решений.Решение. Решим уравнение графически, заменив его равносильной системой уравнений  1. Построим схематически график функции  . Для этого найдем нули функций, записанных под знаками модулей, решая уравнения  , откуда   и  , откуда  . Раскроем модули на полученных промежутках и построим графики функций на этих промежутках (рис. 2.632): 1) если  , то   или  ; 2) если  , то   или  ; 3) если  , то   или  .  Построим прямую   так, чтобы она имела с графиком функции   бесконечно много общих точек. Очевидно, что это возможно в том случае, если  , откуда  .Ответ:  .Пример 6. Найдите все значения параметра , при которых система уравнений   имеет четыре решения.Решение. Имеем уравнение квадрата   и уравнение окружности  .1. Построим квадрат с центром в точке   и диагональю   (рис. 2.64).   Площадь квадрата найдем по формуле  . Получим:  . С другой стороны площадь квадрата можно вычислить по формуле  , где  – сторона квадрата. Тогда   и  .2. Построим окружность с центром в точке   и радиусом   (рис. 2.64). Поскольку система уравнений    имеет четыре решения, то окружность должна быть вписана в квадрат, тогда ее радиус   или  , откуда   или описана около квадрата, тогда радиус окружности   или  , откуда   .Ответ: ; .Пример 7. Найдите площадь и периметр фигуры, заданной неравенством   . Решение. Данному неравенству удовлетворяют координаты всех точек плоскости, расположенных внутри квадрата    и на его границе.  Построим квадрат с центром в точке   и диагональю   (рис. 2.65). Найдем площадь квадрата. Согласно формуле   получим .С другой стороны площадь квадрата находят по формуле  , где  – сторона квадрата.Тогда  ,  . Найдем периметр квадрата:  .Ответ:  ,  .

Решая уравнение или систему уравнений графически, точное решение найти бывает достаточно сложно, а то и вовсе не возможно. Поэтому этот метод чаще всего применяют в случае, когда необходимо определить количество корней уравнения или найти их приближенное значение. 

Источник: http://helpy.quali.me/theme/school/12

Графические методы решения уравнений

Точность
такого решения невелика, однако с помощью
графика можно разумно выбрать первое
приближение, с которого начнется
дальнейшее решение уравнения. Существуют
два способа графического решения
уравнений.

Первый
способ
.
Все члены уравнения переносят в левую
часть, т.е. уравнение представляют в
виде f(x)
= 0. После
этого строят график функции y
= f(x) , где
f(x)
— левая часть уравнения. Абсциссы точек
пересечения графика функции y
= f(x) с
осью Ox
и являются корнями уравнения, т.к. в этих
точках y
= 0 .

Второй
способ
.
Все члены уравнения разбивают на две
группы, одну из них записывают в левой
части уравнения, а другую в правой, т.е.
представляют его в виде j(x)
= g(x). После
этого строят графики двух функций y
= j(x)
и
y = g(x).

Абсциссы
точек пересечения графиков этих двух
функций и служат корнями данного
уравнения. Пусть точка пересечения
графиков имеет абсциссу xo,
ординаты
обоих графиков в этой точке равны между
собой, т.е. j(xо)
= g(xo).

Из
этого равенства следует, что x0
— корень
уравнения.

Отделение корней

  • Процесс
    нахождения приближенных значений корней
    уравнения разбивается на два этапа:
  • 1)
    отделение корней;
  • 2)
    уточнение корней до заданной точности.
  • Корень
    x
    уравнения f(x)
    = 0 считается
    отделенным
    на отрезке [a,b],
    если
    на этом отрезке уравнение f(x)
    = 0 не
    имеет других корней.
  • Отделить
    корни — это значит разбить всю область
    допустимых значений на отрезки, в каждом
    из которых содержится один корень.
  • Графический
    метод отделения корней

    — в этом случае поступают также, как и
    при графическом методе решения уравнений.
  • Если
    кривая касается оси абсцисс, то в этой
    точке уравнение имеет двукратный корень
    (например, уравнение x3
    — 3x + 2 = 0 имеет
    три корня: x1
    = -2 ; x2
    = x3
    = 1).
  • Если
    же уравнение имеет трехкратный
    действительный корень, то в месте касания
    с осью х
    кривая y
    = f(x) имеет
    точку перегиба (например, уравнение x3
    — 3×2
    + 3x — 1 = 0 имеет
    корень x1
    = x2
    = x3 =
    1).

Аналитический
метод отделения корней
.
Для этого используют некоторые свойства
функций.

Теорема
1
.
Если функция f(x)
непрерывна
на отрезке [a,b]
и
принимает на концах этого отрезка
значения разных знаков, то внутри отрезка
[a,b]
существует
по крайней мере один корень уравнения
f(x) = 0.

Теорема
2.
Если
функция f(x)
непрерывна
и монотонна на отрезке [a,b]
и
принимает на концах отрезка значения
разных знаков, то внутри отрезка [a,b]
содержится
корень уравнения f(x)
= 0, и
этот корень единственный.

Теорема
3
.
Если функция f(x)
непрерывна
на отрезке [a,b]
и
принимает на концах этого отрезка
значения разных знаков, а производная
f
'(x)
сохраняет
постоянный знак внутри отрезка, то
внутри отрезка [a,b]
существует
корень уравнения f(x)
= 0
и притом единственный.

  1. Если
    функция f(x)
    задана
    аналитически, то областью
    существования (областью определения)
    функции

    называется совокупность всех тех
    действительных значений аргумента, при
    которых аналитическое выражение,
    определяющее функцию, не теряет числового
    смысла и принимает только действительные
    значения.
  2. Функция
    y = f(x)
    называется
    возрастающей,
    если с возрастанием аргумента значение
    функции увеличивается, и убывающей,
    если с возрастанием аргумента значение
    функции уменьшается.
  3. Функция
    называется монотонной,
    если она в заданном промежутке либо
    только возрастает, либо только убывает.
Читайте также:  Как прокачать спину

Пусть
на отрезке [a,b]
функция
f(x)
непрерывна и принимает на концах отрезка
значения разных знаков, а производная
f '(x)
сохраняет постоянный знак на интервале
[a,b].
Тогда
если во всех точках интервала [a,b]
первая
производная положительна, т.

е. f
'(x)>0, то
функция f(x)
в
этом интервале возрастает.
Если же во всех точках интервала [a,b]
первая производная отрицательна, т.е.

f '(x)0, то
график функции является выпуклым
вниз
;
если же f
''(x)

Источник: https://StudFiles.net/preview/357913/page:2/

Графическое решение уравнений

Тема: « Графическое решение уравнений». (слайд №1)

Цели: (слайд №2)

  • Повторить ранее изученные графики функций; рассмотреть графический способ решения уравнений.
  • Усиление роли графических представлений при формировании основных понятий темы, увеличение удельного веса знаний, предлагающих работу с графиками функций.
  • Решение задач по теме с использованием ИКТ; формирование и развитие познавательной мотивации учащихся к получению новых знаний; способствовать выработке навыков и умений построения графиков функций.

Структура урока: (слайд №3)

  • Актуализация опорных знаний учащихся.
  • Постановка учебной задачи.
  • Изучение нового материала.
  • Закрепление изученного материала.
  • Подведение итогов учебной деятельности, домашнее задание.

Ход урока.

  1. Актуализация опорных знаний. Устный опрос (слайд №4)

  1. Что такое функция?

  2. Что называется графиком функции?

  3. Что является графиком функции:

  • а) y=kx + b; б) y=kx; в) y=; г) y=x3; д) y= x2
  • 4) Соотнесите формулы функций и графики на чертеже (слайд №5)
  • а) y= 2x+3; б) y= 3×2; в) y = -2x; г) y= x3; д) y=;

2. Постановка учебной задачи. Изучение нового материала.

Рассмотрим уравнение x2 = , способ решения которого нам неизвестен. Однако с помощью графиков можно найти приближенные значения корней этого уравнения.

1)Рассмотрим теорию этого вопроса: (слайд №6)

Чтобы решить уравнение f (x) = q (x), где f (x) и q (x) – некоторые выражения с переменной x, нужно в одной и той же системе координат построить графики функций y= f(x) и y= q(x) и найти абсциссы точек пересечения этих графиков. Найденные числа будут корнями данного уравнения.

  1. 2)Введём алгоритм графического решения уравнения вида f(x) = q(x).
  2. Алгоритм графического решения уравнений (слайд №7)
  3. Чтобы графически решить уравнение f(x) = q(x), надо:
  1. рассмотреть две функции y= f(x) и y=q(x);

  2. построить график функции y=f(x);

  3. построить график функции y=q(x);

  4. найти точки пересечения построенных графиков; абсциссы этих точек – корни уравнения f(x)=q(x).

3)Итак, решим уравнение x2 = графическим способом.

  • y=x2 –парабола x шаг 0,5
x -3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
y 9 6,25 4 2,25 1 0,25 0 0,25 1 2,25 4 6,25 9
  • y= –гипербола k=4 0, 1 и 3 к.ч.
x 0,5 1 2 4 8
y 8 4 2 1 0,5
x -0,5 -1 -2 -4 -8
y -8 -4 -2 -1 -0,5

Чертёж на слайде №8.

А(1,57; 2,48) –точка пересечения. Абсцисса этой точки равна 1,57. Значит x=1,57- решение уравнения x2 = .

Ответ: x=1,57

Вывод: на практике из обилия способов выбирают тот, который больше нравится или более понятен. Графические способы решения уравнений понятны, но они не дают стопроцентной гарантии решения любого уравнения.

Это надо учитывать. Возможен вариант, что корень уравнения – это дробное или иррациональное число, т. е. мы сможем найти только приближённое значение корня.

Либо уравнение таково, что ограниченные размеры листа не позволяют построить график.

3.Закрепление изученного материала. (слайд №9)

  • 1. Запишите функции, по которым будут строиться графики для решения уравнений
  • а) x2=6-x;
  • б) x2= ;
  • в) =2x+1;
  • г) = x- 6

2. Решаем в тетрадях уравнение 2x-3- =0 , используя алгоритм. (слайд №10)

  • Преобразуем уравнение 2x-3=
  • Составляем таблицу для функции y=2x-3 – прямая
  • Составляем таблицу для функции y= -гипербола; k=20, 1 и 3 к.ч.
x -0,5 -1 -2 -4
y -4 -2 -1 -0,5

Ученики в тетрадях самостоятельно строят графики и находят точки пересечения, выписывают корни уравнения. После проверки работы учеников на местах, учитель демонстрирует результат построения графиков на слайде №11.

  1. 3.Решаем графически уравнение в тетрадях и на доске (слайд №12)
  2. 2×2 – 3x- 2=0
  3. (один из учеников решает за обратной доской это уравнение с помощью формул)
  4. 2×2-3x-2=0
  5. D=b2-4ac=9+16=25, ==5
  6. x1, 2=
  7. x1= =-0,5; x2==2.
  8. Ответ: -0,5; 2.
  9. При решении этого уравнения проще было воспользоваться уже известным нам способом решения квадратного уравнения с помощью формул.

Вывод: на практике из обилия способов выбирают тот, который более рационален. Если решить необходимо именно графическим методом, то выбирают более простой в построении способ. Графические способы решения уравнений понятны, но чаще всего они не дают гарантии решения любого уравнения.

4.Итог урока. Домашнее задание.( Подводят итоги ученики)

Что нового вы узнали на уроке? Достигнуты ли цели урока? (можно использовать слайд №13)

5.Дополнительное задание (при наличии времени).(слайд №14)

Сколько корней имеет уравнение

  1. x2=-5x+3

  2. =

  3. =-x2

  4. =

  5. 3=-x

Источник: https://kopilkaurokov.ru/matematika/uroki/grafichieskoie-rieshieniie-uravnienii

II Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся Старт в науке

Гришина Е.В. 11МКОУ Ордынского района Новосибирской области — Ордынской средней общеобразовательной школы №1 имени Героя Советского Союза А.Д.Гаранина
Протасова Н.В.

11МКОУ Ордынского района Новосибирской области – Ордынская средняя общеобразовательная школа №1 имени Героя Советского Союза А.Д. Гаранина

Текст работы размещён без изображений и формул.

Полная версия работы доступна во вкладке «Файлы работы» в формате PDF

 Введение

Математическое образование, получаемое в школе, является важнейшим компонентом общего образования и общей культуры современного человека. Практически все, что окружает современного человека – это все так или иначе связано с математикой.

А последние достижения в физике, технике и информационных технологиях не оставляют никакого сомнения, что и в будущем положение вещей останется прежним. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений.

[10]

Уравнения в школьном курсе алгебры занимают ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему школьного курса математики.

Сила теории уравнений в том, что она не только имеет теоретическое значение для познания естественных законов, но и служит конкретным практическим целям. Большинство задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению различных видов уравнений.

Овладевая способами их решения, люди находят ответы на различные вопросы из науки и техники (транспорт, сельское хозяйство, промышленность, связь и т. д.).[9]

Актуальность исследования заключается в том, что современное общество имеет потребность в самостоятельной, постоянно развивающейся и творческой личности. Наличие развитого воображения способствует успешности любого вида профессиональной деятельности человека.

А умение находить новые нестандартные пути решения разных задач – это возможность для дальнейших открытий не только в научной деятельности, но и других областях жизни.

Графический способ решения – одна из возможностей для исследования и математического моделирования нестандартных ситуаций.

  • Гипотеза: Существует не один десяток различных способов графического решения уравнений.
  • Объект исследования: Раздел алгебры «Графическое решение квадратных уравнений»
  • Предмет исследования: Квадратные уравнения.
  • Методы исследования:
  1. Поиск разных способов решения уравнений

  2. Сравнение найденных способов и выявление их преимущества и недостатков

  3. Анализ полученных данных и разработка своих способов

Цель исследования: Выявить и изучить новые способы графического решения квадратных уравнений

Задачи:

  • Изучить всю литературу и материалы сайтов Интернета по данному вопросу.
  • Собрать необходимый материал по теме, проанализировать и обобщить.
  • Смоделировать и рассмотреть особенности каждого найденного способа, описать его технологию и алгоритм выполнения.
  • Показать практическое применение полученных знаний и оценить степень сложности в использовании различных способов.
  • Познакомить с результатами полученных исследований одноклассников и преподавателей.
  • Создать брошюру по итогам исследования с иллюстрациями в программе DESMOS .

Глава 1. Историческая справка о квадратных уравнениях

В те далекие времена, когда мудрецы впервые стали задумываться о равенствах содержащих неизвестные величины, наверное, еще не было ни монет, ни кошельков. Но зато были кучи, а также горшки, корзины, которые прекрасно подходили на роль тайников-хранилищ, вмещающих неизвестное количество предметов.

«Ищется куча, которая вместе с двумя третями ее, половиной и одной седьмой составляет 37…», — поучал во II тысячелетии до новой эры египетский писец Ахмес.

В древних математических задачах Междуречья, Индии, Китая, Греции неизвестные величины выражали число павлинов в саду, количество быков в стаде, совокупность вещей, учитываемых при разделе имущества. Хорошо обученные науке счета писцы, чиновники и посвященные в тайные знания жрецы довольно успешно справлялись с такими задачами.

Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описания этих приемов.[1]

Первые упоминания о способах решения уравнений, которые мы сейчас называем квадратными, относятся ко II тысячелетию до н.э. Это эпоха расцвета Вавилонии и Древнего Египта.

Необходимость решать уравнения не только первой, но и вто­рой степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н. э. вавилоняне.

Читайте также:  Как развестись без суда

I тысячелетие н.э. – Римские завоевательные войны. К этому периоду относится творчество Диофанта. Его трактат “Арифметика” содержит ряд задач, решаемых при помощи квадратных уравнений. В IX веке узбекский математик Аль — Хорезми в Трактате “Алгебра” классифицирует квадратные уравнения. (Приложение № 1)

Все это время отличные по записи уравнения считались различными. Не было единого подхода к их решению. И только в XVI веке французский юрист, тайный советник короля Франции и математик Франсуа Виет впервые вводит в обращение буквенные обозначения не только для неизвестных величин, но и для данных, то есть коэффициентов уравнения. Тем самым заложил основы буквенной алгебры. [9]

Глава 2. Пять известных способов графического решения квадратных уравнений

Изучая многочисленные справочники и учебники по данной теме, стало ясно, что выделяют пять самых известных способов графического решения квадратных уравнений.

Стоит заметить, что все пять способов подробно представлены в учебнике А.Г. Мордкович «Алгебра 8 класс». Для дальнейшего моделирования уравнений и статистики исследований, необходимо просмотреть эти способы.

  1. Решим уравнение x² − 2x −3 = 0.
  2. Первый способ
  3. Построим график функции x²−2x−3=0.
  4. Построим графики функций у = x²−2x−3 и у = 0
  5. Через точки (−1;0),(1;−4),(3;0) проводим параболу.
  6. Корнями уравнения x²−2x−3=0 являются абсциссы точек пересечения параболы с осью х; значит, корни уравнения таковы: x₁= −1; x₂ = 3.
  7. Второй способ

Преобразуем уравнение к виду x² = 2x+3. Построим в одной системе координат графики функций: y = x²; y = 2x+3.

  • Они пересекаются в двух точках C(−1;1) и D(3;9). Корнями уравнения служат абсциссы точек C и D,
  • значит, x₁= −1; x₂=3.
  • Третий способ

Преобразуем уравнение к виду x²−3 = 2x. Построим в одной системе координат графики функций: y = x²−3; y = 2x.

Они пересекаются в двух точках C(−1;−2) и D(3;6). Корнями уравнения являются абсциссы точек C и D, поэтому x₁ = −1; x₂ = 3.

Четвёртый способ

Преобразуем уравнение к виду x²−2x+1−4=0 и далее x²−2x+1= 4→(x−1)² = 4.Построим в одной системе координат параболу y=(x−1)² и прямую y = 4.

Они пересекаются в двух точках C(−1;4) и D(3;4). Корнями уравнения служат абсциссы точек C и D, поэтому x₁ = −1; x₂=3.

  1. Пятый способ
  2. Разделив почленно обе части уравнения на x, получим x−2−= 0
  3. Построим в одной системе координат гиперболу y = и прямую y = x−2.

Они пересекаются в двух точках A(−1;−3) и B(3;1). Корнями уравнения являются абсциссы точек A и B, следовательно, x₁ = −1; x₂ = 3. [2]

Итак, квадратное уравнение x² − 2x – 3 = 0 во всех справочниках [2], сайтах [3] и учебниках [4] решается графически пятью способами. А сколько их всего?

  • Глава 3. Исследование других способов решения графически
  • Чтобы убедиться в правильности и оригинальности своего пути исследования, я провела небольшой опрос среди старшеклассников моей школы на предмет степени знакомства с графическими способами решения уравнений и их оценки значимости при решении заданий на уроках математики и при подготовке к олимпиадам и экзаменам.
  • В опросе приняли участие 42 человека. (Приложение № 2)

Результаты опроса показали следующие интересные выводы. Оказывается, несмотря на достаточно глубокое изучение различных способов графического решения уравнений в школе, графический способ никто из опрошенных не применяет для решения квадратных уравнений.

Этот способ используют очень многие при решении квадратных неравенств или заданий, приводящих к решению таких неравенств.

Причину все указали очень чётко и понятно: требует дополнительного построения координатной плоскости, не всегда точен (любое построение в тетради несёт возможность неточного построения кривых и поэтому допускает погрешность при вычислении корней), занимает много места и времени, тем самым проигрывая более популярным способам решения через дискриминант и теорему Виета. Но, несмотря на такую низкую популярность, почти все опрошенные отметили, что это самый наглядный и красивый способ решения из всех, с которыми знакомят в школе.

Результаты моего исследования и привели меня к мысли, посмотреть на графические способы решения уравнений более глубоко, и попытаться найти другие способы.

Внимательно рассматривая пять самых известных способов, можно заметить, что в преобразовании уравнения возможны и другие варианты перемещения частей уравнения из одной части в другую, что даёт совершенно новую «картинку» взаимного расположения различных функций, доступных в построении на обычном листе тетради.

Вот такие 7 комбинаций мне удалось найти и построить:

  1. x² − 2x = 3
  2. − 2x − 3 = − x²
  3. − 2x = − x² + 3
  4. − 3 = 2х − x²
  5. х = +2 (при делении на х)
  6. −= − х + 2 (при делении на х)
  7. − − 2 = − х (при делении на х)
  1. Моделируя данное уравнение и используя прямой переброс из части в часть, деление на х, х², х³ и так далее, стали получаться модели новых бесконечных комбинаций, построить которые уже не удалось обычным способом, ведь при моделировании получались графики функций, которые не изучаются в школьном курсе.
  2. Глава 4. Современные информационные технологии-помощники в решении сложных задач
  3. За помощью в исследовании пришлось обратиться к другим источникам информации.
  4. Очень интересным показался компьютерный онлайн — калькулятор для решения квадратных уравнений «Fxyz»[5]
  5. Но он предлагал один стандартный способ решения с иллюстрацией.
  6. Другие современные информационные технологии указывали на решение в среде Microsoft Excel, что делало построение таким же простым,[6]
  7. а также заставляли составлять блок – схемы для программирования на языке Pascal, чтобы найти решение квадратного уравнения с помощью Microsoft Office Excel. [7]
  8. Глава 5. Моделирование заданий любой сложности и решение их с помощью компьютерной программы DESMOS
  9. Самой интересной и универсальной оказалась компьютерная программа DESMOS .[8]

Все преобразованные части уравнения удалось не только построить с ювелирной точностью, но и определить координаты точек пересечения с точностью до тысячных, и, как следствие прийти к точному решению данного уравнения. А ещё возможности этой программы позволяют не останавливаться на делении всего уравнения на х или х², а делить на любые степени и строить любые возможные модели этого уравнения.

  • По результатам построения, я собрала коллекцию иллюстраций, сделанных в этой программе, которые демонстрируют наглядность и точность возможностей современных образовательных ресурсов для свободного моделирования по преобразованию.
  • Предлагаю рассмотреть различные способы графического решения одного уравнения
  • х² -2х -3 = 0 в программе DESMOS. Сначала 5 самых известных способов:

Ещё можно смоделировать 7 способов, которые получаются путём перестановок и прямого переброса из части в часть. Эти способы, как и предыдущие легко можно построить в тетради (все учащиеся знакомы с этими построениями и легко справляются за несколько минут). Но программа их строит за доли секунды.

Остальные способы (начиная с 13) построить в тетради невозможно, так как получившиеся функции не изучаются в школьном курсе алгебры. Следующий шаг исследования – испытать возможности программы, а также проверить точность вычислений.

Для следующих способов продолжаю делить почленно уже не на х, а на х², х³ и так далее, создавая новые способы представления данного уравнения и моделируя части под разные новые графики.

Представленные 5 популярных и 20 новых способов решения доказывают широкие возможности моделирования квадратного уравнения и мгновенное построение получившихся во время преобразования графиков.

В результате моего исследования я перепробовала и разные «самые невероятные» степени, и разные перебросы. Моему удивлению не было конца, а моё сознание не могло вместить масштабы бесконечного числа способов, полученных таким способом.

Вот несколько «безумных» моделей данного уравнения и точный ответ.

Изучая работу в программе, я открыла для себя новые возможности подготовки к экзаменам и олимпиадам. В частности быструю и проверку 23 задания ОГЭ с графиками функций, содержащими модуль: [11,12.13]

  1. и для перспективы решение с проверкой 18 задания ЕГЭ (бывшего С 6): [14]
  2. Также в программе можно рисовать графиками и делать самостоятельно динамические апплеты – анимационные картинки, которые двигаются: [15,16,17]
  3. Заключение.

Пробные эксперименты по изучению возможностей программы DESMOS показали, что новый подход к нетрадиционному решению квадратного уравнения даёт не один и не два десятка способов решения, а бесконечное множество, полученное при дальнейшем делении на более высокие степени и переброс выражений из части в часть.

Таким образом, выдвинутая в начале исследования гипотеза более чем доказана. Программа DESMOS, которая так легко помогает справиться с возникающими ранее проблемами по построению сложных графиков, становится универсальным средством на всех этапах обучения.

В ней можно решать уравнения и системы уравнений, моделировать, исследовать, проверять и прогнозировать результаты проектной деятельности. С её помощью можно готовиться к экзаменам и рисовать мультфильмы. Я уверена, что за такой программой будущее.

Работая с решением одного уравнения, я немного заглянула в этот новый мир программирования и компьютерных технологий, который оказался таким интересным и полезным для обучения.

Список источников:

  1. http://firs.ucoz.com/publ/obuchenie/vsjo_o_kvadratnykh_uravnenijakh/13-1-0-27

  2. http://www.yaklass.ru/p/algebra/8-klass/kvadratichnaia-funktciia-funktciia-y-k-x-11012/graficheskoe-reshenie-kvadratnykh-uravnenii-12306/re-1506d463-d8fc-4275-a3d9-6542d27dcba6

  3. http://school.xvatit.com/index.php?title=Графическое_решение_квадратных_уравнений

  4. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. — 12-е изд., стер. — М.: Мнемозина, 2010. — 215 с.: ил.

  5. http://www.fxyz.ru/формулы_по_математике/уравнения/решение_квадратного_уравнения/графическим_способом/

  6. http://festival.1september.ru/articles/564361/

Источник: https://school-science.ru/2/7/30196

Ссылка на основную публикацию