Как определить ускорение

В прошлой статье мы немножко разобрались с тем, что такое механика  и зачем она нужна. Мы уже знаем, что такое система отсчета,  относительность движения и материальная точка. Что ж, пора двигаться дальше!  Здесь мы рассмотрим основные понятия кинематики, соберем вместе самые полезные формулы по основам кинематики  и приведем практический пример решения задачи.

Присоединяйтесь к нам в телеграм и получайте ежедневную рассылку с полезной информацией по актуальным студенческим вопросам.

Траектория, радиус-вектор, закон движения тела

Кинематикой занимался еще Аристотель. Правда, тогда это не называлось кинематикой. Затем очень большой вклад  в развитие механики, и кинематики в частности, внес Галилео Галилей, изучавший свободное падение и инерцию тел.

Итак, кинематика решает вопрос: как тело движется. Причины, по которым оно пришло в движение, ее не интересуют. Кинематике не важно, сама поехала машина, или ее толкнул гигантский динозавр. Абсолютно все равно.

Сейчас мы будем рассматривать самую простую кинематику – кинематику точки. Представим, что тело (материальная точка) движется. Не важно, что это за тело, все равно мы рассматриваем его, как материальную точку. Может быть, это НЛО в небе, а может быть, бумажный самолетик, который мы запустили из окна.

А еще лучше, пусть это будет новая машина, на которой мы едем в путешествие. Перемещаясь из точки А в точку Б, наша точка описывает воображаемую линию, которая называется траекторией движения.

Другое определение траектории – годограф радиус вектора, то есть линия, которую описывает конец радиус-вектора материальной точки при движении.

Радиус-вектор – вектор, задающий положение точки в пространстве.

Для того, чтобы узнать положение тела в пространстве в любой момент времени, нужно знать закон движения тела – зависимость координат  (или радиус-вектора точки) от времени.

Перемещение и путь

Тело переместилось из точки А в точку Б. При этом перемещение тела – отрезок, соединяющий данные точки напрямую – векторная величина. Путь, пройденный телом – длина его траектории. Очевидно, перемещение и путь не стоит путать. Модуль вектора перемещения и длина пути совпадают лишь в случае прямолинейного движения.

Как определить ускорение
 

В системе СИ перемещение и длина пути измеряются в метрах.

Перемещение равно разнице радиус-векторов в начальный и конечный моменты времени. Другими словами, это приращение радиус вектора.

Скорость и ускорение

Средняя скорость – векторная физическая величина, равная отношению вектора перемещения к промежутку времени, за которое оно произошло

Как определить ускорение

А теперь представим, что промежуток времени уменьшается, уменьшается, и становится совсем коротким, стремится к нулю. В таком случае о средней скорости говорить на приходится, скорость становится мгновенной. Те, кто помнит основы математического анализа, тут же поймут, что в дальнейшем нам не обойтись без производной.

Мгновенная скорость – векторная физическая величина, равная производной  от радиус вектора по времени. Мгновенная скорость всегда направлена по касательной к траектории.

Как определить ускорение

  • В системе СИ скорость измеряется в метрах в секунду
  • Если тело движется не равномерно и прямолинейно, то у него есть не только скорость, но и ускорение.
  • Ускорение (или мгновенное ускорение) – векторная физическая величина, вторая производная от радиус-вектора по времени, и, соответственно, первая производная от мгновенной скорости

Как определить ускорение

Ускорение показывает, как быстро изменяется скорость тела. В случае прямолинейного движения, направления векторов скорости и ускорения совпадают. В случае же криволинейного движения, вектор ускорения можно разложить на две составляющие: ускорение тангенциальное, и ускорение нормальное.

Тангенциальное ускорение показывает, как быстро изменяется скорость тела по модулю и направлено по касательной к траектории

Как определить ускорение

Нормальное же ускорение характеризует быстроту изменения скорости по направлению. Векторы нормального и тангенциального ускорения взаимно перпендикулярны, а вектор нормального ускорения направлен к центру окружности, по которой движется точка.

Как определить ускорение

Здесь R – радиус окружности, по которой движется тело.

Как определить ускорение
 

Закон равноускоренного движения

Рассмотрим далее закон равноускоренного движения, то есть движения с постоянным ускорением. Будем рассматривать простейший случай, когда тело движется вдоль оси x.

Как определить ускорение

Здесь  — x нулевое- начальная координата. v нулевое — начальная скорость. Продифференцируем по времени, и получим скорость

Как определить ускорение

Производная по скорости от времени даст значение ускорения a, которое является константой.

Пример решения задачи

Теперь, когда мы рассмотрели физические основы кинематики, пора закрепить знания на практике и решить какую-нибудь задачу. Причем, чем быстрее, тем лучше.

Кстати! Для всех наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Решим такую задачу: точка движется по окружности радиусом 4 метра. Закон ее движения выражается уравнением S=A+Bt^2. А=8м, В=-2м/с^2. В какой момент времени нормальное ускорение точки равно 9 м/с^2? Найти скорость, тангенциальное и полное ускорение точки для этого момента времени.

Решение: мы знаем, что для того, чтобы найти скорость нужно взять первую производную по времени от закона движения, а нормальное ускорение равняется частному квадрата скорости и радиуса окружности, по которой точка движется. Вооружившись этими знаниями, найдем искомые величины.

Нужна помощь в решении задач? Профессиональный студенческий сервис готов оказать ее.

Источник: https://Zaochnik.ru/blog/osnovy-mehaniki-dlya-chajnikov-chast-1-kinematika/

I. Механика

В этой теме мы рассмотрим очень особенный вид неравномерного движения. Исходя из противопоставления равномерному движению, неравномерное движение — это движение с неодинаковой скоростью, по любой траектории.

В чем особенность равноускоренного движения? Это неравномерное движение, но которое «равно ускоряется». Ускорение у нас ассоциируется с увеличением скорости. Вспомним про слово «равно», получим равное увеличение скорости.

А как понимать «равное увеличение скорости», как оценить скорость равно увеличивается или нет? Для этого нам потребуется засечь время, оценить скорость через один и тот же интервал времени.

Например, машина начинает двигаться, за первые две секунды она развивает скорость до 10 м/с, за следующие две секунды 20 м/с, еще через две секунды она уже двигается со скоростью 30 м/с. Каждые две секунды скорость увеличивается и каждый раз на 10 м/с. Это и есть равноускоренное движение.

Физическая величина, характеризующая то, на сколько каждый раз увеличивается скорость называется ускорением.

Можно ли движение велосипедиста считать равноускоренным, если после остановки в первую минуту его скорость 7км/ч, во вторую — 9км/ч, в третью 12км/ч? Нельзя! Велосипедист ускоряется, но не одинаково, сначала ускорился на 7км/ч (7-0), потом на 2 км/ч (9-7), затем на 3 км/ч (12-9).

Обычно движение с возрастающей по модулю скоростью называют ускоренным движением. Движение же с убывающей скоростью — замедленным движением. Но физики любое движение с изменяющейся скоростью называют ускоренным движением. Трогается ли автомобиль с места (скорость растет!), или тормозит (скорость уменьшается!), в любом случае он движется с ускорением.

Как определить ускорение

Равноускоренное движение — это такое движение тела, при котором его скорость за любые равные промежутки времени изменяется (может увеличиваться или уменьшаться) одинаково

Ускорение тела

Ускорение характеризует быстроту изменения скорости. Это число, на которое изменяется скорость за каждую секунду.

Если ускорение тела по модулю велико, это значит, что тело быстро набирает скорость (когда оно разгоняется) или быстро теряет ее (при торможении).

Ускорение — это физическая векторная величина, численно равная отношению изменения скорости к промежутку времени, в течение которого это изменение произошло.

Определим ускорение в следующей задаче. В начальный момент времени скорость теплохода была 3 м/с, в конце первой секунды скорость теплохода стала 5 м/с, в конце второй — 7м/с, в конце третьей 9 м/с и т.д. Очевидно, . Но как мы определили? Мы рассматриваем разницу скоростей за одну секунду. В первую секунду 5-3=2, во вторую секунду 7-5=2, в третью 9-7=2. А как быть, если скорости даны не за каждую секунду? Такая задача: начальная скорость теплохода 3 м/с, в конце второй секунды — 7 м/с, в конце четвертой 11 м/с.В этом случае необходимо 11-7= 4, затем 4/2=2. Разницу скоростей мы делим на промежуток времени. Как определить ускорениеКак определить ускорение

Эту формулу чаще всего при решении задач применяют в видоизмененном виде:

Как определить ускорение

Формула записана не в векторном виде, поэтому знак «+» пишем, когда тело ускоряется, знак «-» — когда замедляется.

Направление вектора ускорения

Направление вектора ускорения изображено на рисунках

Как определить ускорение

На этом рисунке машина движется в положительном направлении вдоль оси Ox, вектор скорости всегда совпадает с направлением движения (направлен вправо). Когда вектор ускорение совпадает с направлением скорости, это означает, что машина разгоняется. Ускорение положительное.

При разгоне направление ускорения совпадает с направлением скорости. Ускорение положительное.

Как определить ускорение

На этом рисунке машина движется в положительном направлении по оси Ox, вектор скорости совпадает с направлением движения (направлен вправо), ускорение НЕ совпадает с направлением скорости, это означает, что машина тормозит. Ускорение отрицательное.

При торможении направление ускорения противоположно направлению скорости. Ускорение отрицательное.

Разберемся, почему при торможении ускорение отрицательное. Например, теплоход за первую секунду сбросил скорость с 9м/с до 7м/с, за вторую секунду до 5м/с, за третью до 3м/с. Скорость изменяется на «-2м/с». 3-5=-2; 5-7=-2; 7-9=-2м/с. Вот откуда появляется отрицательное значение ускорения.

При решении задач, если тело замедляется, ускорение в формулы подставляется со знаком «минус»!!!

Перемещение при равноускоренном движении

Как определить ускорение

Дополнительная формула, которую называют безвременной

Формула в координатах

Связь со средней скоростью

При равноускоренном движении среднюю скорость можно рассчитывать как среднеарифметическое начальной и конечной скорости

Из этого правила следует формула, которую очень удобно использовать при решении многих задач

Соотношение путей

Если тело движется равноускоренно, начальная скорость нулевая, то пути, проходимые в последовательные равные промежутки времени, относятся как последовательный ряд нечетных чисел.

Главное запомнить

  • 1) Что такое равноускоренное движение;2) Что характеризует ускорение;3) Ускорение — вектор. Если тело разгоняется ускорение положительное, если замедляется — ускорение отрицательное; 3) Направление вектора ускорения;
  • 4) Формулы, единицы измерения в СИ

Упражнения

Два поезда идут навстречу друг другу: один — ускоренно на север, другой — замедленно на юг. Как направлены ускорения поездов?

Одинаково на север. Потому что у первого поезда ускорение совпадает по направлению с движением, а у второго — противоположное движению (он замедляется).

Поезд движется равноускоренно с ускорением a (a>0). Известно, что к концу четвертой секунды скорость поезда равна 6м/с. Что можно сказать о величине пути, пройденном за четвертую секунду? Будет ли этот путь больше, меньше или равен 6м?

Так как поезд движется с ускорением, то скорость его все время возрастает (a>0). Если к концу четвертой секунды скорость равна 6м/с, то в начале четвертой секунды она была меньше 6м/с. Следовательно, путь, пройденный поездом за четвертую секунду, меньше 6м.

Какие из приведенных зависимостей описывают равноускоренное движение?

Читайте также:  Как завязать мужской галстук

Уравнение скорости движущегося тела . Каково соответствующее уравнение пути?

*Автомобиль прошел за первую секунду 1м, за вторую секунду 2м, за третью секунду 3м, за четвертую секунду 4м и т.д. Можно ли считать такое движение равноускоренным?

В равноускоренном движении пути, проходимые в последовательные равные промежутки времени, относятся как последовательный ряд нечетных чисел. Следовательно, описанное движение не равноускоренное.

Источник: http://fizmat.by/kursy/kinematika/ravnouskorennoe

Техническая механика



В предыдущей статье движение тела или точки определено, как изменение положения в пространстве с течением времени. Для того чтобы более полно охарактеризовать качественные и количественные стороны движения введены понятия скорости и ускорения.

Скорость – это кинематическая мера движения точки, характеризующая быстроту изменения ее положения в пространстве. Скорость является векторной величиной, т. е. она характеризуется не только модулем (скалярной составляющей), но и направлением в пространстве.

Как определить ускорение

Как известно из физики, при равномерном движении скорость может быть определена длиной пути, пройденного за единицу времени: v = s/t = const (предполагается, что начало отсчета пути и времени совпадают). При прямолинейном движении скорость постоянна и по модулю, и по направлению, а ее вектор совпадает с траекторией.

Единица скорости в системе СИ определяется соотношением длина/время, т. е. м/с.

Очевидно, что при криволинейном движении скорость точки будет меняться по направлению.

Для того, чтобы установить направление вектора скорости в каждый момент времени при криволинейном движении, разобьем траекторию на бесконечно малые участки пути, которые можно считать (вследствие их малости) прямолинейными.

Тогда на каждом участке условная скорость vп такого прямолинейного движения будет направлена по хорде, а хорда, в свою очередь, при бесконечном уменьшении длины дуги (Δs стремится к нулю), будет совпадать с касательной к этой дуге.

Из этого следует, что при криволинейном движении вектор скорости в каждый момент времени совпадает с касательной к траектории (рис. 1а). Прямолинейное движение можно представить, как частный случай криволинейного движения по дуге, радиус которой стремится к бесконечности (траектория совпадает с касательной).

При неравномерном движении точки модуль ее скорости с течением времени меняется. Представим себе точку, движение которой задано естественным способом уравнением s = f(t).

Как определить ускорение

Если за небольшой промежуток времени Δt точка прошла путь Δs, то ее средняя скорость равна:

vср = Δs/Δt.

Средняя скорость не дает представления об истинной скорости в каждый данный момент времени (истинную скорость иначе называют мгновенной). Очевидно, что чем меньше промежуток времени, за который определяется средняя скорость, тем ближе ее значение будет к мгновенной скорости.

Истинная (мгновенная) скорость есть предел, к которому стремится средняя скорость при Δt, стремящемся к нулю:

v = lim vср при t→0 или v = lim (Δs/Δt) = ds/dt.

Таким образом, числовое значение истинной скорости равно v = ds/dt. Истинная (мгновенная) скорость при любом движении точки равна первой производной координаты (т. е. расстояния от начала отсчета перемещения) по времени.

При Δt стремящемся к нулю, Δs тоже стремится к нулю, и, как мы уже выяснили, вектор скорости будет направлен по касательной (т. е. совпадает с вектором истинной скорости v). Из этого следует, что предел вектора условной скорости vп, равный пределу отношения вектора перемещения точки к бесконечно малому промежутку времени, равен вектору истинной скорости точки.

***

Ускорение точки в прямолинейном движении

В общем случае движение точки с изменяющейся во времени скоростью называют ускоренным, при этом считая ускорение, вызывающее уменьшение скорости, отрицательным. Иногда движение, в котором скорость с течением времени уменьшается, называют замедленным.

Ускорение есть кинематическая мера изменения скорости точки во времени. Другими словами — ускорение — это скорость изменения скорости. Как и скорость, ускорение является величиной векторной, т. е. характеризуется не только модулем, но и направлением в пространстве.

При прямолинейном движении вектор скорости всегда совпадает с траекторией и поэтому вектор изменения скорости тоже совпадает с траекторией.

Из курса физики известно, что ускорение представляет собой изменение скорости в единицу времени. Если за небольшой промежуток времени Δt скорость точки изменилась на Δv, то среднее ускорение за данный промежуток времени составило: аср = Δv/Δt.

Среднее ускорение не дает представление об истинной величине изменения скорости в каждый момент времени.

При этом очевидно, что чем меньше рассматриваемый промежуток времени, во время которого произошло изменение скорости, тем ближе значение ускорения будет к истинному (мгновенному).

Отсюда определение: истинное (мгновенное) ускорение есть предел, к которому стремится среднее ускорение при Δt, стремящемся к нулю:

  • а = lim аср при t→0     или     lim Δv/Δt = dv/dt.
  • Учитывая, что v = ds/dt, получим: а = dv/dt = d2s/dt2.
  • Истинное ускорение в прямолинейном движении равно первой производной скорости или второй производной координаты (расстояния от начала отсчета перемещения) по времени.
  • Единица ускорения — метр, деленный на секунду в квадрате (м/с2).
  • ***

Ускорение точки в криволинейном движении

При движении точки по криволинейной траектории скорость меняет свое направление, т. е вектор скорости является переменной величиной.

Представим себе точку М, которая за время Δt, двигаясь по криволинейной траектории, переместилась в положение М1 (рис. 1).

Как определить ускорение

  1. Вектор приращения (изменения) скорости обозначим Δv, тогда: Δv = v1 – v.
  2. Для нахождения вектора Δv перенесем вектор v1 в точку М и построим треугольник скоростей. Определим вектор среднего ускорения:
  3. аср = Δv/Δt.
  4. Вектор аср параллелен вектору Δv, так как от деления векторной величины на скалярную направление вектора не меняется. Вектор истинного ускорения есть предел, к которому стремится отношение вектора приращения скорости к соответствующему промежутку времени, когда последний стремится к нулю:
  5. а = lim Δv/Δt при t→0.

Такой предел называют векторной производной. Таким образом, истинное ускорение точки в криволинейном движении равно векторной производной скорости по времени.

Из рисунка 1 видно, что вектор ускорения в криволинейном движении всегда направлен в сторону вогнутости траектории.

Так как векторную производную непосредственно вычислять мы не умеем, то ускорение в криволинейном движении будем определять косвенными методами. Так, например, если движение точки задано естественным способом, то применяется теорема о проекции ускорения на касательную и нормаль. Чтобы понять суть этой теоремы, следует рассмотреть понятие кривизны кривых линий.

***



Рассмотрим криволинейную траекторию точки М (рис. 2а). Угол Δφ между касательными к кривой в двух соседних точках называется углом смежности.

Как определить ускорение

Кривизной кривой в данной точке называется предел отношения угла смежности Δφ к соответствующей длине Δs дуги, когда последняя стремится к нулю. Обозначим кривизну буквой k, тогда:

k = lim Δφ/Δs   при   Δs → 0.

Рассмотрим окружность радиуса R (см. рисунок 2б). Так как Δs = RΔφ, то:

k = lim Δφ/Δs = lim Δφ/RΔs = 1/R (при Δs → 0).

Следовательно, кривизна окружности во всех точках одинакова и равна k = 1/R.

Для каждой точки данной кривой можно подобрать такую окружность, кривизна которой равна кривизне кривой в данной точке. Радиус ρ такой окружности называется радиусом кривизны кривой в данной точке, а центр этой окружности – центром кривизны.

  • Итак, кривизна кривой в данной точке есть величина, обратная радиусу кривизны в данной точке:
  • k= 1/ρ.
  • Очевидно, что кривизна прямой линии будет равна нулю, а поскольку радиус кривизны такой линии равен бесконечности.
  • ***

Теорема о проекции ускорения на касательную и нормаль

Проекция ускорения на касательную к траектории называется касательным (тангенциальным) ускорением, а проекция ускорения на нормаль к этой касательной – нормальным ускорением.

Теорема: нормальное ускорение равно квадрату скорости, деленному на радиус кривизны траектории в данной точке; касательное ускорение – первой производной от скорости по времени.

Доказательство этой теоремы основывается на геометрических построениях с учетом приведенных ранее зависимостей перемещения, скорости и ускорения от времени. В данной статье доказательство теоремы не приводится; при необходимости, его можно рассмотреть в других источниках информации.

  1. Итак, на основании теоремы об ускорениях, можно записать:
  2. ап = v2/ρ;     aτ = dv/dt.
  3. Анализируя формулы касательного и нормального ускорения можно сделать вывод, что касательное ускорение характеризует изменение скорости только по модулю, а нормальное – только по направлению.
  4. Зная величину нормального и касательного ускорения, можно вычислить полное ускорение точки, применив теорему Пифагора:
  5. а = √(аτ2 + ап2).
  6. Направление ускорения: cos (aτ,a) = аτ/а.

Часто касательное и нормальное ускорения рассматривают не как проекции, а как составляющие полного ускорения, т. е. как векторные величины.

Вектор нормального ускорения всегда направлен к центру кривизны, поэтому нормальное ускорение иногда называют центростремительным.

***

Виды движения точки в зависимости от ускорения

  • Анализируя формулы касательного и нормального ускорений, можно выделить следующие виды движения точки:
  • ап = v2/ρ ≠ 0;    aτ = dv/dt ≠ 0,   — неравномерное криволинейное (рис. 3а);
  • ап = v2/ρ ≠ 0;    aτ = dv/dt = 0,   — равномерное криволинейное (рис. 3б);
  • ап = v2/ρ = 0;    aτ = dv/dt ≠ 0,   — неравномерное прямолинейное (рис. 3в);
  • aτ = dv/dt = const ≠ 0;    ап = v2/ρ ≠ 0,   — равнопеременное криволинейное (рис. 3г);
  • aτ = dv/dt = const ≠ 0,    ап = v2/ρ = 0,   — равнопеременное прямолинейное (рис. 3д);

ап = v2/ρ = 0;    aτ = dv/dt = 0,   — равномерное прямолинейное (движение без ускорения) (рис. 3е).

Как определить ускорение

***

Теоремы о проекциях скорости и ускорения на координатную ось

  1. Если движение точки задано координатным способом, то путь (перемещение), скорость и ускорение за промежуток времени Δt можно найти, используя проекции этих величин на координатную ось.

    Очевидно, что приращение любой из координат при Δt стремящемся к нулю тоже стремится к нулю, и предел такого приращения может быть определен из дифференциальных отношений, устанавливаемых теоремами о проекциях скорости и ускорения:

  2. Теорема: проекция скорости на координатную ось равна первой производной от соответствующей координаты по времени:
  3. vпx = dx/Δt       vпy = dy/Δt       vпz = dz/Δt.
  4. Теорема: проекция ускорения на координатную ось равна второй производной от соответствующей координаты по времени:
  5. ax = d2x/Δt2       ay = d2y/Δt2       az = d2z/Δt2.
  6. Зная проекции скорости или ускорения на координатные оси, можно определить модуль и направление вектора любой из этих величин, используя теорему Пифагора и тригонометрические соотношения.
  7. ***
  8. Простейшие движения твердого тела



Главная страница

Специальности

Учебные дисциплины

Олимпиады и тесты

Источник: http://k-a-t.ru/tex_mex/12-kinematika_skor_uskor/index.shtml

Что такое ускорение?

Ускорение — физическая векторная величина, которая характеризует насколько быстро тело (материальная точка) изменяет скорость своего движения

Ускорение — физическая векторная величина, которая характеризует насколько быстро тело (материальная точка) изменяет скорость своего движения. Ускорение является важной кинематической характеристикой материальной точки.

Самый простой вид движения — равномерное движение по прямой линии, когда скорость тела постоянна и тело за любые равные промежутки времени проходит одинаковый путь.

Но большинство движений неравномерны. На одних участках скорость тела больше, на других меньше. Машина начиная движение двигается все быстрее. а останавливаясь замедляется.

Ускорение характеризует быстроту изменения скорости. Если, например, ускорение тела равно 5 м/с2, то это означает, что за каждую секунду скорость тела изменяется на 5 м/с, т. е. в 5 раз быстрее, чем при ускорении 1 м/с2.

Если скорость тела при неравномерном движении за любые равные промежутки времени изменяется одинаково, то движение называют равноускоренным.

Как и скорость, ускорение тела характеризуется не только числовым значением, но и направлением. Это означает, что ускорение тоже является векторной величиной. Поэтому на рисунках его изображают в виде стрелки.

Единицей ускорения в СИ является такое ускорение, при котором за каждую секунду скорость тела изменяется на 1 м/с, т. е. метр в секунду за секунду. Эту единицу обозначают 1 м/с2 и называют «метр на секунду в квадрате».

Как и скорость, ускорение тела характеризуется не только числовым значением, но и направлением. Это означает, что ускорение тоже является векторной величиной. Поэтому на рисунках его изображают в виде стрелки.

Если скорость тела при равноускоренном прямолинейном движении возрастает, то ускорение направлено в ту же сторону, что и скорость (рис. а); если же скорость тела при данном движении уменьшается, то ускорение направлено в противоположную сторону (рис. б).

Как определить ускорение

Среднее и мгновенное ускорение

  • Среднее ускорение материальной точки на некотором промежутке времени — это отношение изменения его скорости, что произошло за это время, к продолжительности этого промежутка:
  • ( ltvec agt = dfrac {Delta vec v} {Delta t} )
  • Мгновенное ускорение материальной точки в некоторый момент времени — это лимит его среднего ускорения при ( Delta t o 0 ). Имея в виду определение производной функции, мгновенное ускорение можно определить как производную от скорости по времени:
  • ( vec a = dfrac {dvec v} {dt} )

Тангенциальное и нормальное ускорение

  1. Если записать скорость как ( vec v = vhat au ), где ( hat au ) — орт касательной к траектории движения, то (в двухмерной системе координат):
  2. ( vec a = dfrac {d(vhat au)} {dt} = )
  3. ( = dfrac {dv} {dt} hat au + dfrac {dhat au} {dt} v =)
  4. ( = dfrac {dv} {dt} hat au + dfrac {d(cos hetavec i + sin heta vec j)} {dt} v =)
  5. ( = dfrac {dv} {dt} hat au + (-sin heta dfrac {d heta} {dt} vec i + cos heta dfrac {d heta} {dt} vec j)) v )
  6. ( = dfrac {dv} {dt} hat au + dfrac {d heta} {dt} v hat n ),
  7. где ( heta ) — угол между вектором скорости и осью абсцисс; ( hat n ) — орт перпендикуляра к скорости.
  8. Таким образом,
  9. ( vec a = vec a_{ au} + vec a_n ),
  10. где ( vec a_{ au} = dfrac {dv} {dt} hat au ) — тангенциальное ускорение, ( vec a_n = dfrac {d heta} {dt} v hat n ) — нормальное ускорение.

Учитывая, что вектор скорости направлен по касательной к траектории движения, то ( hat n ) — это орт нормали к траектории движения, который направлен к центру кривизны траектории. Таким образом, нормальное ускорение направлено к центру кривизны траектории, в то время как тангенциальное — по касательной к ней. Тангенциальное ускорение характеризует скорость изменения величины скорости, в то время как нормальное характеризует скорость изменения ее направления.

Движение по криволинейной траектории в каждый момент времени можно представить как вращение вокруг центра кривизны траектории с угловой скоростью ( omega = dfrac v r ), где r — радиус кривизны траектории. В таком случае

( a_{n} = omega v = {omega}^2 r = dfrac {v^2} r )

Измерение ускорения

Ускорение измеряется в метрах (разделенных) на секунду во второй степени (м/с2). Величина ускорения определяет, насколько изменится скорость тела за единицу времени, если оно будет постоянно двигаться с таким ускорением. Например, тело, движущееся с ускорением 1 м/с2 за каждую секунду изменяет свою скорость на 1 м/с.

Единицы измерения ускорения

  • метр в секунду в квадрате, м/с², производная единица системы СИ
  • сантиметр в секунду в квадрате, см/с², производная единица системы СГС

Источник: https://calcsbox.com/post/cto-takoe-uskorenie.html

Ускорение — Класс!ная физика

Как изменяются показания спидометра в начале движения и при торможении автомобиля? Какая физическая величина характеризует изменение скорости?

Как определить ускорение

При движении тел их скорости обычно меняются либо по модулю, либо по направлению, либо жеодновременно как по модулю, так и по направлению.

Скорость шайбы, скользящей по льду, уменьшается с течением времени до полной остановки. Если взять в руки камень и разжать пальцы, то при падении камня его скорость постепенно нарастает.

Скорость любой точки окружности точильного круга при неизменном числе оборотов в единицу времени меняется только по направлению, оставаясь постоянной по модулю (рис 1.26).

Если бросить камень под углом к горизонту, то его скорость будет меняться и по модулю, и по направлению.

Изменение скорости тела может происходить как очень быстро (движение пули в канале ствола при выстреле из винтовки), так и сравнительно медленно (движение поезда при его отправлении).

Физическая величина, характеризующая быстроту изменения скорости, называется ускорением.

Рассмотрим случай криволинейного и неравномерного движения точки. В этом случае её скорость с течением времени изменяется как по модулю, так и по направлению. Пусть в некоторый момент времени t точка занимает положение М и имеет скорость (рис. 1.27). Спустя промежуток времени Δt точка займёт положение М1 и будет иметь скорость 1. Изменение скорости за время Δt1 равно Δ1 = 1 — . Вычитание вектора можно произвести путём прибавления к вектору 1 вектора (-):

Δ1 = 1 — = 1 + (-).

Согласно правилу сложения векторов вектор изменения скорости Δ1 направлен из начала вектора 1 в конец вектора (-), как это показано на рисунке 1.28.

Поделив вектор Δ1 на промежуток времени Δt1 получим вектор, направленный так же, как и вектор изменения скорости Δ1. Этот вектор называют средним ускорением точки за промежуток времени Δt1. Обозначив его через cр1, запишем:

По аналогии с определением мгновенной скорости определим мгновенное ускорение. Для этого найдём теперь средние ускорения точки за всё меньшие и меньшие промежутки времени:

При уменьшении промежутка времени Δt вектор Δ уменьшается по модулю и меняется по направлению (рис. 1.29). Соответственно средние ускорения также меняются по модулю и направлению.

Но при стремлении промежутка времени Δt к нулю отношение изменения скорости к изменению времени стремится к определённому вектору как к своему предельному значению.

В механике эту величину называют ускорением точки в данный момент времени или просто ускорением и обозначают .

Ускорение точки — это предел отношения изменения скорости Δ к промежутку времени Δt, в течение которого это изменение произошло, при стремлении Δt к нулю.

Ускорение направлено так, как направлен вектор изменения скорости Δ при стремлении промежутка времени Δt к нулю.

В отличие от направления скорости, направление вектора ускорения нельзя определить, зная траекторию точки и направление движения точки по траектории.

В дальнейшем на простых примерах мы увидим, как можно определить направление ускорения точки при прямолинейном и криволинейном движениях.

В общем случае ускорение направлено под углом к вектору скорости (рис. 1.30). Полное ускорение характеризует изменение скорости и по модулю, и по направлению. Часто полное ускорение считается равным векторной сумме двух ускорений — касательного (к) и центростремительного (цс).

Касательное ускорение к характеризует изменение скорости по модулю и направлено по касательной к траектории движения. Центростремительное ускорение цс характеризует изменение скорости по направлению и перпендикулярно касательной, т. е. направлено к центру кривизны траектории в данной точке.

В дальнейшем мы рассмотрим два частных случая: точка движется по прямой и скорость изменяется только по модулю; точка движется равномерно по окружности и скорость изменяется только по направлению.

Единица ускорения.

Движение точки может происходить как с переменным, так и с постоянным ускорением. Если ускорение точки постоянно, то отношение изменения скорости к промежутку времени, за которое это изменение произошло, будет одним и тем же для любого интервала времени. Поэтому, обозначив через Δt некоторый произвольный промежуток времени, а через Δ — изменение скорости за этот промежуток, можно записать:

Так как промежуток времени Δt — величина положительная, то из этой формулы следует, что если ускорение точки с течением времени не изменяется, то оно направлено так же, как и вектор изменения скорости. Таким образом, если ускорение постоянно, то его можно истолковать как изменение скорости в единицу времени. Это позволяет установить единицы модуля ускорения и его проекций.

Запишем выражение для модуля ускорения:

  • Отсюда следует, что: модуль ускорения численно равен единице, если за единицу времени модуль вектора изменения скорости изменяется на единицу.
  • Если время измерено в секундах, а скорость — в метрах в секунду, то единица ускорения — м/с2 (метр на секунду в квадрате).
  • Источник: «Физика — 10 класс», 2014, учебник Мякишев, Буховцев, Сотский

Следующая страница «Движение с постоянным ускорением» Назад в раздел «Физика — 10 класс, учебник Мякишев, Буховцев, Сотский»

Кинематика — Физика, учебник для 10 класса — Класс!ная физика

Физика и познание мира — Что такое механика — Механическое движение. Система отсчёта — Способы описания движения — Траектория. Путь. Перемещение — Равномерное прямолинейное движение. Скорость.

Уравнение движения — Примеры решения задач по теме «Равномерное прямолинейное движение» — Сложение скоростей — Примеры решения задач по теме «Сложение скоростей» — Мгновенная и средняя скорости — Ускорение — Движение с постоянным ускорением — Определение кинематических характеристик движения с помощью графиков — Примеры решения задач по теме «Движение с постоянным ускорением» — Движение с постоянным ускорением свободного падения — Примеры решения задач по теме «Движение с постоянным ускорением свободного падения» — Равномерное движение точки по окружности — Кинематика абсолютно твёрдого тела. Поступательное и вращательное движение — Кинематика абсолютно твёрдого тела. Угловая скорость. Связь между линейной и угловой скоростями — Примеры решения задач по теме «Кинематика твёрдого тела»

Источник: http://class-fizika.ru/10_a10.html

1.6 Ускорение. Единица ускорения — Физика по учебнику 10 класса

При движении тел их скорости обычно меняются либо по модулю, либо по направлению, либо же одновременно как по модулю, так и по направлению.

Если бросить камень под углом к горизонту, то его скорость будет меняться и по модулю, и по направлению.

Изменение скорости тела может происходить как очень быстро (движение пули в канале ствола при выстреле из винтовки), так и сравнительно медленно (движение поезда при его отправлении). Чтобы уметь находить скорость в любой момент времени, необходимо ввести величину, характеризующую быстроту изменения скорости. Эту величину называют ускорением

Ускорение- это величина, которая характеризует быстроту изменения скорости.

  • Среднее ускорение – это отношение изменения скорости к промежутку времени, за который это изменении произошло. Определить среднее ускорение можно формулой:
  • где  – вектор ускорения.
  • Направление вектора ускорения совпадает с направлением изменения скорости Δ =  — 0 (здесь 0 – это начальная скорость, то есть скорость, с которой тело начало ускоряться).

В момент времени t1 (см. рис 1.8) тело имеет скорость 0. В момент времени t2 тело имеет скорость. Согласно правилу вычитания векторов найдём вектор изменения скорости Δ =  — 0. Тогда определить ускорение можно так:

Как определить ускорение

Рис. 1.8. Среднее ускорение.

В СИ единица ускорения – это 1 метр в секунду за секунду (или метр на секунду в квадрате), то есть

Метр на секунду в квадрате равен ускорению прямолинейно движущейся точки, при котором за одну секунду скорость этой точки увеличивается на 1 м/с. Иными словами, ускорение определяет, насколько изменяется скорость тела за одну секунду. Например, если ускорение равно 5 м/с2, то это означает, что скорость тела каждую секунду увеличивается на 5 м/с.

Источник: https://www.sites.google.com/site/myfizika2013/-1/16

Ускорение автомобиля

Одним из важнейших показателей
динамических качеств автомобиля является
интенсивность разгона — ускорение.

При изменении
скорости движения возникают силы
инерции, которые автомобилю необходимо
преодолеть для обеспечения заданного
ускорения. Эти силы вызваны как
поступательно движущимися массами
автомобиля m, так и моментами инерции
вращающихся деталей двигателя, трансмиссии
и колес.

Для удобства
проведения расчетов пользуются
комплексным показателем — приведенными
силами инерции
:

где δвр
— коэффициент учета вращающихся масс.

Величина
ускорения j = dv/dt, которое может
развить автомобиль при движении по
горизонтальному участку дороги на
заданной передаче и с заданной скоростью,
находится в результате преобразования
формулы для определения запаса мощности,
которая расходуется на разгон:

  • или по
    динамической характеристике:
  • D = f +.
  • Отсюда: j = .
  • Для определения
    ускорения на подъеме или спуске пользуются
    формулой:

Способность
автомобиля к быстрому разгону особенно
важна в условиях городской езды.
Увеличенные ускорения для автомобиля
могут быть получены за счет увеличения
передаточного числа uглавной передачи и соответствующего
выбора характеристики изменения
крутящего момента двигателя.

  1. Максимальное
    ускорение при разгоне находится в
    пределах:
  2. — для легковых автомобилей на первой
    передаче 2,0…3,5 м/с2;
  3. — для легковых
    автомобилей на прямой передаче 0,8…2,0
    м/с2;
  4. — для грузовых
    автомобилей на второй передаче 1,8…2,8
    м/с2;
  5. — для грузовых
    автомобилей на прямой передаче 0,4…0,8
    м/с2.

Время и путь разгона автомобиля

Величина ускорения в ряде случаев не
является достаточно наглядным показателем
способности автомобиля к разгону. Для
этой цели удобно применять такие
показатели, как время и путь разгонадо заданной скорости и графики,
отображающие зависимость скорости от
времени и пути разгона.

Так как j
=
, тоdt =.

Отсюда путем
интегрирования полученного уравнения
находим время разгона tв заданном
интервале изменения скоростей отv1доv2:

Определение
пути разгона Sв заданном интервале
изменения скоростей осуществляют
следующим образом. Так как скорость
является первой производной пути по
времени, то дифференциал путиdS=v·dt,
или путь разгона в интервале изменения
скоростей отv1доv2равен:

В условиях
реальной эксплуатации автомобиля
затраты времени на операции переключения
передач и буксование сцепления увеличивают
время разгона по сравнению с теоретическим
(расчетным) его значением. Время,
затрачиваемое на переключение передач,
зависит от конструкции коробки передач.
При применении автоматической коробки
передач это время практически равно
нулю.

Кроме того,
разгон не все время происходит при
полной подаче топлива, как это
предполагается в изложенном методе.
Это также увеличивает реальное время
разгона.

При применении
механической коробки передач важным
моментом является правильный выбор
наиболее выгодных скоростей переключения
передач v1-2, v2-3и т.д. (см. раздел «Тяговый расчет
автомобиля»).

Для оценки
способности автомобиля к разгону в
качестве показателя используют также
время разгона после трогания с места
на пути в 100 и 500 м.

Построение графиков ускорений

В практических
расчетах принимают, что разгон происходит
на горизонтальной дороге с твердым
покрытием. Сцепление включено и не
пробуксовывает.

Орган управления режимом
работы двигателя находится в положении
полной подачи топлива. При этом обеспечено
сцепление колес с дорогой без
пробуксовывания.

Предполагается также,
что изменение параметров двигателя
происходит по внешней скоростной
характеристике.

Полагают,
что разгон для легковых автомобилей
начинается с минимально устойчивой
скорости на низшей передаче порядка v= 1,5…2,0м/сдо значенийvт= 27,8м/с(100км/ч). Для грузовых
автомобилей принимают:vт= 16,7м/с(60км/ч).

Последовательно,
начиная со скорости v=
1,5…2,0м/сна первой передачи и
последующих передачах, на динамической
характеристике (рис.

1) для выбранных по
оси абсциссvрасчетных точек (не
менее пяти) определяют запас динамического
фактора при разгоне как разность ординат
(D – f)на различных передачах.

Коэффициент учета вращающихся масс
(δвр) для каждой передачи
подсчитывают по формуле:

  • δвр= 1,04 + 0,05·iкп2.
  • Ускорения
    автомобиля определяют по формуле:
  • j = .

По полученным
данным строят графики ускорений j=f(v)(рис.2).

Рис.2.
Характеристика ускорений автомобиля.

При правильном расчете и построении
кривая ускорений на высшей передаче
пересечет абсциссу в точке максимальной
скорости. Достижение максимальной
скорости происходит при полном
использовании запаса динамического
фактора: D – f = 0.

Построение графика времени разгона
t = f(v)

Этот график
строят, используя график ускорения
автомобиля j=f(v)(рис.2). Шкалу скоростей
графика разгона разбивают на равные
участки, например, через каждый 1м/с,
и из начала каждого участка проводят
перпендикуляры до пересечения с кривыми
ускорения (рис.3).

  1. Площадь каждой из полученных элементарных
    трапеций в принятом масштабе равна
    времени разгона для данного участка
    скорости, если считать, что на каждом
    участке скорости разгон происходит с
    постоянным (средним) ускорением:
  2. jср= (j1
    + j
    2)/2,
  3. где j1
    , j
    2— ускорения соответственно
    в начале и в конце рассматриваемого
    участка скоростей,м/с2.

В данном расчете не учитывается время
на переключение передач и другие факторы,
приводящие к завышению времени разгона.
Поэтому вместо среднего ускорения
принимают ускорение jiв
начале произвольно взятого участка
(определяют по шкале).

С учетом
сделанного допущения время разгонана каждом участке приращения скоростиΔvопределится как:

ti=Δv/ji,с.

Рис. 3. Построение
графика времени разгона

По полученным
данным строят график времени разгона
t = f(v). Полное время разгона отvдо значенийvтопределяют
как сумму времени разгона (с нарастающим
итогом) по всем участкам:

t1=Δv/j1 ,t2=t1 +(Δv/j2),t3= t2 +(Δv/j3)и так далее доtтконечного
времени разгона:

При построении
графика времени разгона удобно
пользоваться таблицей и принять Δv= 1м/с.

Участки скорости vi , м/с
№ участков 1 2 3 4 5 6 7 и т.д.
ji , м/с2
ti , с
Врем разгона с нарастающим итогом

Напомним,
что построенный (теоретический) график разгона (рис.4) отличается от действительного
тем, что не учтено реальное время на
переключение передач. На рис.4 время
(1,0 с) на переключение передач
отображено условно для иллюстрации
момента переключения.

При
использовании механической (ступенчатой)
трансмиссии на автомобиле действительный
график времени разгона характеризуется
потерей скорости в моменты переключения
передач. Это также увеличивает время
на разгон. У автомобиля с коробкой
передач с синхронизаторами интенсивность
разгона выше. Наибольшая интенсивность
у автомобиля с автоматической
бесступенчатой трансмиссией.

Время разгона отечественных легковых
автомобилей малого класса с места до
скорости 100 км/ч(28м/с) составляет
порядка 13…20с. Для автомобилей
среднего и большого класса оно не
превышает 8…10с.

Рис.
4. Характеристика разгона автомобиля
по времени.

Время разгона грузовых автомобилей до
скорости 60 км/ч(17м/с) составляет
35…45си выше, что свидетельствует
о недостаточной их динамичности.

Путь разгона для легковых автомобилей
до скорости 100 км/чсоставляет 500…800м.

Сравнительные данные по времени разгона
автомобилей отечественного и зарубежного
производства приведены в табл. 3.4.

Таблица 3.4.

Время разгона
легковых автомобилей до скорости 100км/ч
(28 м/с)

Автомобиль Время, с Автомобиль Время, с
ВАЗ-2106 1,6 (74) 17,5 Alfa Romeo-156 2,0 (155) 9,0
ВАЗ-2121 1,6 (74) 25 Audi A6 Tdi 2,5 (150) 9,5
Москвич 2,0 (113) 11,5 BMW-320i 2,0 (150) 9,9
ЗИЛ-117 13 Cadillac Sevilie 4,6 (395) 7,2
ГАЗель-3302 D 2,1 (95) 24 Mercedes S 220 CD (125) 11,0
ЗАЗ-1102 1,1 (51) 16,2 Peugeot-406 3.0 (191) 7,9
ВАЗ-2110 1,5 (94) 12,0 Porsche-911 3,4 (300) 5,2
Ford Focus 2,0 (130) 9,2 VW Polo Sdi 1,7 (60) 17,4
Fiat Marea 2,0 (147) 8,8 Honda Civic 1,6 (160) 8,0

Примечание:
Рядом с типом автомобиля указан рабочий
объем (л)
и мощность (в скобках) двигателя (л.с.).

Построение графика пути разгона
автомобиля
S
= f(v)

Аналогичным
образом проводится графическое
интегрирование раннее построенной
зави­симости
t
=
f(V)
для получения зависимости пути разгона
S
от скорости автомобиля.
В
данном случае кривая графика
времени разгона автомобиля
(рис. 5) разбивается на интервалы по
вре­мени,
для каждого из которых находятся
соответствующие значения Vcр
k.

Рис.5. Схема,
поясняющая использование графика
времени разгона автомобиля
t
=
f(V)для
построения графика пути разгона
S
= f(
V).

  • Площадь
    элементарного прямоугольника, например,
    в интервале Δt5
    есть
    путь, который проходит автомобиль от
    отметки t4
    до отметки t5,
    двигаясь
    с постоянной скоростью Vcр5.
  • Величина
    площади элементарного прямоугольника
    определяется сле­дующим
    образом:
  • ΔSk
    = Vcр
    k
    (tk
    tk-1)
    = Vcр
    k
    ·
    Δ
    tk
    .
  • где k
    = l…m
    — порядковый номер интервала, m
    выбирается произвольно, но считается
    удобным для расчета, когда m
    = n.

Например (рис. 5), если Vср5
=12,5 м/с;
t
4
=10 с;
t5
=14 с,
то ΔS5
= 12,5(14 — 10) = 5 м.

  1. Путь разгона от скорости
    V до скорости V1
    : S1
    = ΔS1;
  2. до скорости V2
    : S2
    = ΔS1
    + ΔS2;

до скорости Vn
: Sn
= ΔS1
+ ΔS2
+ … + ΔSn
= .

Результаты расчета заносятся
в таблицу и представляются в виде
гра­фика (рис. 6).

Путь разгона для легковых автомобилей
до скорости 100 км/чсоставляет 300…600м. Для грузовых автомобилей путь
разгона до скорости 50км/чравен
150…300м.

Рис.6. Графика пути
разгона
автомобиля.

Источник: https://StudFiles.net/preview/2789387/page:17/

Ссылка на основную публикацию