Как найти площадь окружности

Формулы площади коуга Как найти площадь окружности

Площадь пруга:

R — радиус; D — диаметр; с — длина дуги окружности.
Формула площади круга Как найти площадь окружности
Определение Как найти площадь окружности

Круговой сектор — это часть круга, лежащая внутри соответствующего центрального угла.

R — радиус круга; a0 или a — радиан, соответствующий центральный угол; l — длина дуги сектора.
Формула кругового сектора Как найти площадь окружности
Определение Круговой сегмент — это часть круга, ограниченная дугой окружности и стягивающая ее хордой. R — радиус круга; a0 или a радиан — дуга сегмента (угол AOB).
Свойство 1 Как найти площадь окружности

a0 < 180? (a < ?):

Формула сегмента: Как найти площадь окружности
Свойство 2 Как найти площадь окружности

a0 > 180? (a > ?):

Формула сегмента: Как найти площадь окружности
Свойство 3 Как найти площадь окружности

a0 = 180? (a = ?):

Формула сегмента: Как найти площадь окружности

  • а
  • б
  • в
  • г
  • д
  • е
  • з
  • и
  • к
  • л
  • м
  • н
  • о
  • п
  • р
  • с
  • т
  • у
  • ф
  • х
  • ц
  • ч
  • э

© 2019 Все права защищеныПри использовании материалов данного сайта обязательно указывать ссылку на источник

Источник: https://formula-xyz.ru/ploshchad-kruga-i-ego-chastej.html

Площадь круга в задаче B5

20 октября 2011

Окружности требуют более аккуратного подхода и встречаются в заданиях B5 гораздо реже. Вместе с тем, общая схема решения даже проще, чем в случае с многоугольниками (см. урок «Площади многоугольников на координатной сетке»).

Все, что требуется в таких заданиях — это найти радиус окружности R. Затем можно вычислить площадь круга по формуле S = πR2. Из этой формулы также следует, что для решения достаточно найти R2.

Чтобы найти указанные величины, достаточно указать на окружности точку, лежащую на пересечении линий сетки. А затем воспользоваться теоремой Пифагора. Рассмотрим конкретные примеры вычисления радиуса:

Задача. Найти радиусы трех окружностей, изображенных на рисунке:

Как найти площадь окружности

Выполним дополнительные построения в каждой окружности:

Как найти площадь окружности

В каждом случае точка B выбрана на окружности таким образом, чтобы лежать на пересечении линий сетки. Точка C в окружностях 1 и 3 дополняют фигуру до прямоугольного треугольника. Осталось найти радиусы:

Рассмотрим треугольник ABC в первой окружности. По теореме Пифагора: R2 = AB2 = AC2 + BC2 = 22 + 22 = 8.

Для второй окружности все очевидно: R = AB = 2.

Третий случай аналогичен первому. Из треугольника ABC по теореме Пифагора: R2 = AB2 = AC2 + BC2 = 12 + 22 = 5.

Теперь мы знаем, как искать радиус окружности (или хотя бы его квадрат). А следовательно, можем найти площадь. Встречаются задачи, где требуется найти площадь сектора, а не всего круга. В таких случаях легко выяснить, какую часть круга составляет этот сектор, и таким образом найти площадь.

Задача. Найти площадь S закрашенного сектора. В ответе укажите S/π.

Как найти площадь окружности

Очевидно, сектор составляет одну четверть круга. Следовательно, S = 0,25 · Sкруга.

Остается найти Sкруга — площадь круга. Для этого выполним дополнительное построение:

Как найти площадь окружности

Треугольник ABC — прямоугольный. По теореме Пифагора имеем: R2 = AB2 = AC2 + BC2 = 22 + 22 = 8.

Теперь находим площади круга и сектора: Sкруга = πR2 = 8π; S = 0,25 · Sкруга = 2π.

Наконец, искомая величина равна S/π = 2.

Площадь сектора при неизвестном радиусе

Это совершенно новый тип задач, ничего подобного в 2010—2011 годах не было. По условию, нам дан круг определенной площади (именно площади, а не радиуса!). Затем внутри этого круга выделяется сектор, площадь которого и требуется найти.

Хорошая новость состоит в том, что подобные задачи — самые легкие из всех задач на площади, которые бывают в ЕГЭ по математике. К тому же, круг и сектор всегда помещается на координатную сетку. Поэтому, чтобы научиться решать такие задачи, просто взгляните на картинку:

Как найти площадь окружности

Пусть исходный круг имеет площадь Sкруга = 80. Тогда его можно разделить на два сектора площадью S = 40 каждый (см. 2 шаг).

Аналогично, каждый из этих секторов-«половинок» можно снова разделить пополам — получим четыре сектора площадью S = 20 каждый (см. 3 шаг).

Наконец, можно разделить каждый из этих секторов еще на два — получим 8 секторов-«ошметков». Площадь каждого из этих «ошметков» составит S = 10.

Обратите внимание: более мелкого разбиения ни в одной задаче ЕГЭ по математике нет! Таким образом, алгоритм решения задачи B-3 следующий:

  1. Разрезать исходный круг на 8 секторов-«ошметков». Площадь каждого из них составляет ровно 1/8 часть площади всего круга. Например, если по условию круг имеет площадь Sкруга = 240, то «ошметки» имеют площадь S = 240 : 8 = 30;
  2. Выяснить, сколько «ошметков» помещается в исходном секторе, площадь которого требуется найти. Например, если в нашем секторе помещается 3 «ошметка» площадью 30, то площадь искомого сектора равна S = 3 · 30 = 90. Это и будет ответ.

Вот и все! Задача решается практически устно. Если все равно что-то непонятно, купите пиццу и порежьте ее на 8 кусков. Каждый такой кусок будет тем самым сектором-«ошметком», которые можно объединить в более крупные куски.

А теперь разберем примеры из пробного ЕГЭ:

Задача. На клетчатой бумаге нарисован круг, площадь которого равна 40. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

Как найти площадь окружности

Итак, площадь круга равна 40. Разделим его на 8 секторов — каждый площадью S = 40 : 5 = 8. Получим:

Как найти площадь окружности

Очевидно, закрашенный сектор состоит ровно из двух секторов-«ошметков». Следовательно, его площадь равна 2 · 5 = 10. Вот и все решение!

Задача. На клетчатой бумаге нарисован круг, площадь которого равна 64. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

Как найти площадь окружности

Снова разделим весь круг на 8 равных секторов. Очевидно, что площадь одного их них как раз и требуется найти. Следовательно, его площадь равна S = 64 : 8 = 8.

Задача. На клетчатой бумаге нарисован круг, площадь которого равна 48. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

Как найти площадь окружности

Опять разделим круг на 8 равных секторов. Площадь каждого из них равна S = 48 : 8 = 6. В искомом секторе помещается ровно три сектора-«ошметка» (см. рисунок). Следовательно, площадь искомого сектора равна 3 · 6 = 18.

Источник: https://www.berdov.com/ege/square/circle/

Площадь круга и его частей. Длина окружности и ее дуг

Справочник по математике Геометрия (Планиметрия) Окружность и круг

Как найти площадь окружности

Фигура Рисунок Определения и свойства
Окружность Как найти площадь окружности Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности
Дуга Как найти площадь окружности Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности
Круг Как найти площадь окружности Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью
Сектор Как найти площадь окружности Часть круга, ограниченная двумя радиусами
Сегмент Как найти площадь окружности Часть круга, ограниченная хордой
Правильный многоугольник Как найти площадь окружности Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны
Как найти площадь окружности Около любого правильного многоугольника можно описать окружность
Окружность
Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности
Дуга
Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности
Круг
Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью
Сектор
Часть круга, ограниченная двумя радиусами
Сегмент
Часть круга, ограниченная хордой
Правильный многоугольник
  • Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны
  • Около любого правильного многоугольника можно описать окружность

      Определение 1. Площадью круга называют предел, к которому стремятся площади правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.

      Определение 2. Длиной окружности называют предел, к которому стремятся периметры правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.

      Замечание 1. Доказательство того, что пределы площадей и периметров правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон действительно существуют, выходит за рамки школьной математики и в нашем справочнике не приводится.

      Определение 3. Числом π (пи) называют число, равное площади круга радиуса 1.

      Замечание 2. Число π является иррациональным числом, т.е. числом, которое выражается бесконечной непериодической десятичной дробью:

      Число π является трансцендентным числом, то есть числом, которое не может быть корнем алгебраического уравнения с целочисленными коэффициентами.

Формулы для площади круга и его частей

Формулы для длины окружности и её дуг

Площадь круга

      Рассмотрим две окружности с общим центром (концентрические окружности) и радиусами радиусами 1 и R, в каждую из которых вписан правильный   n – угольник (рис. 1).

      Обозначим через O общий центр этих окружностей. Пусть внутренняя окружность имеет радиус 1.

  1. Рис.1
  2.       Площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса R, равна

      Площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса 1, равна

  •       Следовательно,
  •       Поскольку при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса 1, стремится к π, то при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса R, стремится к числу   πR2.
  •       Таким образом, площадь круга радиуса R, обозначаемая S, равна
  • S = πR2.

Длина окружности

      Рассмотрим правильный   n – угольник   B1B2…Bn , вписанный в окружность радиуса радиуса R, и опустим из центраO окружности перпендикуляры на все стороны многоугольника (рис. 2).

  1. Рис.2
  2.       Поскольку площадь n – угольника   B1B2…Bn   равна
  • то, обозначая длину окружности радиуса R буквой C, мы, в соответствии с определением 2, при увеличении n получаем равенство:
  • откуда вытекает формула для длины окружности радиуса R:
  • C = 2πR.
Читайте также:  Как отметить 1 год рождения

      Следствие. Длина окружности радиуса 1 равна   2π.

Длина дуги

  1.       Рассмотрим дугу окружности, изображённую на рисунке 3, и обозначим её длину символом L(α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.
  2. Рис.

    3

  3.       В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция
  4. из которой вытекает равенство:
  5.       В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция
  6. из которой вытекает равенство:

Площадь сектора

  •       Рассмотрим круговой сектор, изображённый на рисунке 4, и обозначим его площадь символом S (α) , где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.
  • Рис.4
  •       В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция
  • из которой вытекает равенство:
  •       В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция
  • из которой вытекает равенство:

Площадь сегмента

  1.       Рассмотрим круговой сегмент, изображённый на рисунке 5, и обозначим его площадь символом S (α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.
  2. Рис.

    5

  3.       Поскольку площадь сегмента равна разности площадей кругового сектора MON и треугольника MON (рис.

    5), то в случае, когда величина α выражена в градусах, получаем

  •       Следовательно,
  •       В случае, когда величина α выражена в в радианах, получаем

      Следовательно,

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».Запись по телефону (495) 509-28-10

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

подготовительные курсы для школьников 8, 9, 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

индивидуальные занятия с репетиторами по математике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

Источник: https://www.resolventa.ru/demo/diaggia6.htm

Площадь круга

  • Для того чтобы найти площадь круга, существует единственная формула, которую нужно запомнить – это произведение числа π на квадрат радиуса. Доказательством этой формулы будет служить следующий расчет. На чертеже внутри и снаружи круга рисуем правильный многоугольник – многоугольник с равными сторонами.
    Как найти площадь окружности
    Из центра круга проводим радиусы в указанные вершины многоугольников. Радиусы во вписанном многоугольнике делят его на определенное количество n одинаковых равнобедренных треугольников. Таким образом, площадь вписанного многоугольника – это n площадей треугольников Sв=nS∆. Тогда как площадь каждого треугольника, исходя из его свойств, равна Как найти площадь окружности. Так как конгруэнтные стороны a этого треугольника являются радиусами, то формула приобретает вид Как найти площадь окружности, а формула площади всего многоугольника – Как найти площадь окружности, считая сумму всех сторон nc, как периметр многоугольника P. Аналогично получаем площадь описанного многоугольника: Как найти площадь окружности. Если считать, что количество nc, как сторон многоугольника стремится к бесконечности, то его форма максимально приближается к кругу, и периметр становится близок по значению к длине окружности, а cosα стремится к 1. В этом случае обе формулы – и для вписанного, и для описанного многоугольника приобретают следующий вид:
    Как найти площадь окружности

    Поскольку радиус тесно связан отношениями с диаметром и длиной окружности, то путем нехитрых замен можно также вычислить площадь круга через диаметр или длину окружности. Диаметр – это удвоенный радиус, следовательно, подставляя его в формулу вместо последнего, нужно разделить его обратно на два. Так как в первоначальной формуле S=πr2 радиус возводится во вторую степень, полученная половина диаметра также должна будет быть в квадрате, и это уже будет выглядеть как .

    Длина окружности представляет собой удвоенное произведение радиуса и числа π: P=2πr, обратным методом получаем, что радиус равен длине окружности, разделенной на его множитель: . Подставляя это в основную формулу, не забываем возвести выражение во вторую степень, и получаем, что площадь круга через длину окружности равна .

Источник: https://geleot.ru/education/math/geometry/area/circle

Как найти площадь круга?

14.01.2013 Распечатать

Круг – часть плоскости, ограниченная окружностью. Определение круга неразрывно связано с окружностью. Окружность представляет собой множество точек, равноудалённых от заданной точки – центра окружности. Причем все эти точки лежат в одной плоскости.

  • Как найти площадь окружностиРасстояние от любой точки окружности до её центра является радиусом окружности.
  • Площадь круга рассчитывается по следующей формуле:
  • S = Π * R², где
  • R — радиус окружности,

Π — число пи.

Число Π =3,1415926535… Его значение бесконечно. Но на практике чаще используется его округленное значение 3,14. Число пи одинаково для любой окружности и равно отношению длины окружности к её диаметру.

  1. Если радиус окружности неизвестен, но задан её диаметр (D), то мы знаем, что D = 2R.
  2. Диаметр окружности – отрезок, соединяющий 2 наиболее удаленные точки окружности и проходящий через центр окружности.
  3. Тогда площадь круга можно найти так:
  4. S = Π * R² = Π * (D/2)² = Π * D²/4.
  5. То есть
  6. S = Π * D²/4.
  7. Как найти площадь окружности

Источник: http://kakge.ru/kak-najti-ploshhad-kruga/

Площадь круга — найти площадь круга онлайн-калькулятор

Окружность – это замкнутая линия, причем расстояние от любой точки, находящейся на этой линии, до центра окружности одинаково. Кругом является внутренняя часть окружности.

Как найти площадь окружности

Тот самый отрезок, который соединяет выбранную точку на окружности с ее центром, называется радиусом RRR.
Длина радиуса, взятая в двойном размере, называется диаметром окружности DDD.

То есть D=2RD=2RD=2R.

Как найти площадь круга

Площадь круга можно найти двумя способами:

  • используя радиус круга,
  • используя диаметр круга.

Остановимся чуть подробнее на каждом способе и рассмотрим несколько примеров.

Формула площади круга через радиус круга

Сначала разберем общий случай.

Пусть нам дана окружность OOO произвольного радиуса R.R.R. Площадь круга через радиус вычисляется при помощи формулы

  • S=πR2S=pi R^2S=πR2,
  • где πpiπ – число «Пи», выражающее отношение длины окружности к ее диаметру и численно равное около 3,143,143,14,
  • RRR – радиус нашей окружности.
  • Теперь, чтобы было более понятно, рассмотрим пару практических примеров.

Найдите площадь круга, радиус которого равен 6 см.
Ответ дайте, округленный до целого числа.

Решение:

Пользуемся нашей формулой для вычисления площади круга и получаем:

S=πR2=3,14⋅6⋅6=3,14⋅36=113.S=pi R^2=3,14cdot 6 cdot 6=3,14 cdot 36=113.S=πR2=3,14⋅6⋅6=3,14⋅36=113.

Ответ: 113 см2.

Формула площади круга через диаметр

Рассмотрим сначала обобщенный случай без использования цифр.

Формула вычисления площади круга с помощью диаметра немного отличается от формулы, в которой мы использовали радиус. Но ответ остается, безусловно, таким же.

  1. Итак, наша формула выглядит следующим образом:
  2. S=πD24S=pi frac{D^2}{4}S=π4D2​
  3. Давайте разберемся, откуда она вообще взялась.

Для начала выразим радиус через диаметр. Получаем R=D2R=frac{D}{2}R=2D​, затем подставляем полученное выражение в нашу исходную формулу S=πR2S=pi R^2S=πR2 и получаем результат: S=πD222S=pi frac{D^2}{2^2}S=π22D2​, далее упрощаем и выходим на окончательный ответ S=πD24S=pi frac{D^2}{4}S=π4D2​.

Найти площадь круга, если известно, что четвертая часть диаметра равна 2,5 см.

Решение:

Находим диаметр:

D4=2,5.frac{D}{4} =2,5.4D​=2,5.

Отсюда,

D=2,5⋅4=10.D=2,5 cdot 4=10.D=2,5⋅4=10.

  • Подставляем значения в формулу:
  • S=πD24=3,14⋅1024=3,14⋅1004=3,14⋅25=78,5S=pi frac{D^2}{4} =3,14 cdot frac{10^2}{4} =3,14 cdot frac{100}{4} =3,14 cdot 25=78,5S=π4D2​=3,14⋅4102​=3,14⋅4100​=3,14⋅25=78,5
  • Ответ: 78,5 см2.

Пример решения задачи посложнее.

Имеется два круга. Площадь первого 153,86153,86153,86 см2. Найдите площадь второго круга, радиус которого в 222 раза больше радиуса первого круга.

Решение:
Для решения задачи нам в первую очередь нужно найти радиус первого круга. Из формулы S=πR2S=pi R^2S=πR2 находим, что R=SπR=sqrt{frac{S}{pi}}R=πS​​.

R=153.863.14=49=7.R=sqrt{frac{153.86}{3.14}}=sqrt{49} = 7.R=3.14153.86​​=49​=7.

Радиус второго круга равен 7⋅2=14.7 cdot 2=14.7⋅2=14.

Наконец, найдем площадь этого круга: S=πR2=3.14⋅142=3,14⋅196=615,44.S=pi R^2=3.14cdot14^2=3,14 cdot 196=615,44.S=πR2=3.14⋅142=3,14⋅196=615,44.

Ответ: 615,44615,44615,44 см2.

Источник: https://studwork.org/spravochnik/matematika/ploshchad/krug-ploshchad-kruga

Как найти площадь круга

Круг – это видимая совокупность множества точек, которые находятся на одинаковом расстоянии от центра. Чтобы найти его площадь, необходимо знать, что такое радиус, диаметр, число π и окружность.

1

Величины, участвующие в расчете площади круга

Расстояние, ограниченное центральной точкой круга и любой из точек окружности, называется радиусом этой геометрической фигуры. Длины всех радиусов одного круга одинаковы. Отрезок между 2 любыми точками окружности, который проходит через центральную точку, называется диаметром. Длина диаметра равна длине радиуса, умноженной на 2.

Для подсчета площади круга применяется значение числа π. Эта величина равна отношению длины окружности к длине диаметра круга и имеет неизменное значение. Π = 3,1415926. Длина окружности высчитывается по формуле L=2πR.

2

Найти площадь круга через радиус

Следовательно, площадь круга равна произведению числа π на радиус окружности, возведенный во 2 степень. В качестве примера примем длину радиуса окружности равной 5 см. Тогда площадь круга S будет равна 3,14*5^2=78,5 кв. см.

3

Площадь круга через диаметр

Площадь круга можно также подсчитать, зная величину диаметра круга. В таком случае S = (π/4)*d^2, где d – диаметр круга. Возьмем тот же пример, где радиус равен 5 см. Тогда его диаметр будет равен 5*2=10 см. Площадь круга S = 3,14/4*10^2=78,5 кв.см. Результат, равный итогу вычислений в первом примере, подтверждает правильность расчетов в обоих случаях.

4

Площадь круга через длину окружности

Если радиус круга представить через длину окружности, то формула будет иметь следующий вид: R=(L/2)π. Подставим это выражение в формулу площади круга и в результате получим S=(L^2)/4π. Рассмотрим пример, в котором длина окружности равна 10 см. Тогда площадь круга S = (10^2)/4*3,14=7,96 кв. см.

5

Площадь круга через длину стороны вписанного квадрата

Если в круг вписан квадрат, то длина диаметра круга равна длине диагонали квадрата. Зная величину стороны квадрата, можно легко узнать диаметр круга по формуле: d^2=2a^2. Другими словами диаметр во 2 степени равен стороне квадрата во 2 степени, умноженной на 2.

Вычислив значение длины диаметра круга, можно узнать и его радиус, после чего воспользоваться одной их формул определения площади круга.

4

Площадь сектора круга

Сектор – это часть круга, ограниченная 2 радиусами и дугой между ними. Чтобы узнать его площадь, нужно измерить угол сектора.

После этого необходимо составить дробь, в числителе которой будет значение угла сектора, а в знаменателе – 360.

Чтобы высчитать площадь сектора, значение, полученное в результате деления дроби, нужно умножить на площадь круга, вычисленную по одной из вышеперечисленных формул.

Источник: https://sovetclub.ru/kak-najti-ploshhad-kruga

Длина окружности и площадь круга

  • Длина любой окружности больше своего диаметра в одно и то же число раз, а именно, приблизительно в 3,14 раза. Для обозначения этой величины используется маленькая (строчная) греческая буква π (пи):
  • Таким образом, длину окружности (C) можно вычислить, умножив константу π на диаметр (D), или умножив π на удвоенный радиус, так как диаметр равен двум радиусам. Следовательно, формула длины окружности будет выглядеть так:
  • C = πD = 2πR
  • где C – длина окружности, π – константа, D – диаметр окружности, R – радиус окружности.
  • Так как окружность является границей круга, то длину окружности можно также назвать длиной круга или периметром круга.

Задача 1.

Найти длину окружности, если её диаметр равен 5 см.

Так как длина окружности равна π умноженное на диаметр, то длина окружности с диаметром 5 см будет равна:

C ≈ 3,14 · 5 = 15,7 (см)

Задача 2. Найти длину окружности, радиус которой равен 3,5 м.

  1. Сначала найдём диаметр окружности, умножив длину радиуса на 2:
  2. D = 3,5 · 2 = 7 (м)
  3. теперь найдём длину окружности, умножив π на диаметр:
  4. C ≈ 3,14 · 7 = 21,98 (м)

Задача 3. Найти радиус окружности, длина которой равна 7,85 м.

Чтобы найти радиус окружности по её длине, надо длину окружности разделить на 2π

следовательно радиус будет равен:

R  ≈  7,85  =  7,85  =  1,25 (м)
2 · 3,14 6,28
  • Площадь круга равна произведению числа π на квадрат радиуса. Формула нахождения площади круга:
  • S = πr2
  • где S – площадь круга, а r – радиус круга.
  • Так как диаметр круга равен удвоенному радиусу, то радиус равен диаметру, разделённому на 2:
  • следовательно, формула нахождения площади круга через диаметр будет выглядеть так:
S  =  π( D )2  =  π D2  =  π D2
2 22 4

Задачи на площадь круга

Задача 1. Найти площадь круга, если его радиус равен 2 см.

Так как площадь круга равна π умноженное на радиус в квадрате, то площадь круга с радиусом 2 см будет равна:

S ≈ 3,14 · 22 = 3,14 · 4 = 12,56 (см2)

Задача 2. Найти площадь круга, если его диаметр равен 7 см.

  1. Сначала найдём радиус круга, разделив его диаметр на 2:
  2. 7 : 2 = 3,5 (см)
  3. теперь вычислим площадь круга по формуле:
  4. S = πr2 ≈ 3,14 · 3,52 = 3,14 · 12,25 = 38,465 (см2)
  5. Данную задачу можно решить и другим способом. Вместо того чтобы сначала находить радиус, можно воспользоваться формулой нахождения площади круга через диаметр:
S  =  π D2  ≈  3,14 72  =  3,14 49  =  153,86  =  38,465 (см2)
4 4 4 4

Задача 3. Найти радиус круга, если его площадь равна 12,56 м2.

  • Чтобы найти радиус круга по его площади, надо площадь круга разделить π, а затем из полученного результата извлечь квадратный корень:
  • r = √S : π
  • следовательно радиус будет равен:
  • r ≈ √12,56 : 3,14 = √4 = 2 (м)

Число π

Длину окружности предметов, окружающих нас, можно измерить с помощью сантиметровой ленты или верёвки (нитки), длину которой потом можно померить отдельно.

Но в некоторых случаях померить длину окружности трудно или практически невозможно, например, внутреннюю окружность бутылки или просто длину окружности начерченной на бумаге.

В таких случаях можно вычислить длину окружности, если известна длина её диаметра или радиуса.

Чтобы понять, как это можно сделать, возьмём несколько круглых предметов, у которых можно измерить и длину окружности и диаметр. Вычислим отношение длины к диаметру, в итоге получим следующий ряд чисел:

Ведро Таз Бочка Тарелка Стакан
Окружность 91 см 157 см 220 см 78,5 см 23,9 см
Диаметр 29 см 50 см 70 см 25 см 7,6 см
Отношение (с точн. до 0,01) 3,14 3,14 3,14 3,14 3,14

Из этого можно сделать вывод, что отношение длины окружности к её диаметру это постоянная величина для каждой отдельной окружности и для всех окружностей в целом. Это отношение и обозначается буквой π.

Используя эти знания, можно по радиусу или диаметру окружности находить её длину. Например, для вычисления длины окружности с радиусом 3 см нужно умножить радиус на 2 (так мы получим диаметр), а полученный диаметр умножить на π. В итоге, с помощью числа π мы узнали, что длина окружности с радиусом 3 см равна 18,84 см.

Источник: https://naobumium.info/planimetriya/dlina_okruzhnosti.php

Площадь круга: формула. Чему равна площадь круга, описанного и вписанного в квадрат, прямоугольный и равнобедренный треугольник, прямоугольную, равнобедренную трапецию?

Как найти площадь круга? Сначала найдите радиус. Учитесь решать простые и сложные задачи.

Содержание

  • Площадь круга: формула через радиус, диаметр, длину окружности, примеры решения задач
  • Площадь круга, вписанного в квадрат: формула, примеры решения задач
  • Площадь круга, описанного около квадрата: формула, примеры решения задач
  • Площадь круга, вписанного в прямоугольный и равнобедренный треугольник: формула, примеры решения задач
  • Площадь круга, описанного около прямоугольного и равнобедренного треугольника: формула, примеры решения задач
  • Площадь круга, вписанного в прямоугольную и равнобедренную трапецию: формула, примеры решения задач
  • Площадь круга, описанного около прямоугольной и равнобедренной трапеции: формула, примеры решения задач
  • Видео: Математика | Вычисление площадей круга и его частей

Круг — это замкнутая кривая. Любая точка на линии окружности будет находиться на одинаковом расстоянии от центральной точки. Круг — это плоская фигура, поэтому решать задачи с нахождением площади просто. В этой статье мы рассмотрим, как найти площадь круга, вписанного в треугольник, трапецию, квадрат, и описанного около этих фигур.

Площадь круга: формула через радиус, диаметр, длину окружности, примеры решения задач

Чтобы найти площадь данной фигуры, нужно знать, что такое радиус, диаметр и число π.

Площадь круга: формула через радиус, диаметр, длину окружности, примеры решения задач

Радиус R — это расстояние, ограниченное центром окружности. Длины всех R-радиусов одной окружности будут равными.

Диаметр D — это линия между двумя любыми точками окружности, которая проходит через центральную точку. Длина этого отрезка равна длине R-радиуса, умноженной на 2.

Число π — это неизменная величина, которая равна 3,1415926. В математике обычно это число округляется до 3,14.

Формула нахождения площади круга через радиус:

Площадь круга: формула через радиус

  • Примеры решения заданий по нахождению S-площади круга через R-радиус:
  • ————————————————————————————————————————
  • Задача: Найдите площадь окружности, если ее радиус равен 7 см.
  • Решение: S=πR², S=3,14*7², S=3,14*49=153,86 см².
  • Ответ: Площадь окружности равна 153,86 см².

Формула нахождения S-площади круга через D-диаметр:

Площадь круга: формула через диаметр

  1. Примеры решения заданий по нахождению S, если известен D:
  2. ————————————————————————————————————————-
  3. Задача: Найдите S круга, если его D равен 10 см.
  4. Решение: P=π*d²/4, P=3,14*10²/4=3,14*100/4=314/4=78,5 см².
  5. Ответ: Площадь плоской круглой фигуры равна 78,5 см².

Нахождение S круга, если известна длина окружности:

Сначала находим, чему равен радиус. Длина окружности рассчитывается по формуле: L=2πR, соответственно радиус R будет равен L/2π. Теперь находим площадь круга по формуле через R.

  • Рассмотрим решение на примере задачи:
  • ———————————————————————————————————————-
  • Задача: Найдите площадь круга, если известна длина окружности L — 12 см.
  • Решение: Сначала находим радиус: R=L/2π=12/2*3,14=12/6,28=1,91.
  • Теперь находим площадь через радиус: S=πR²=3,14*1,91²=3,14*3,65=11,46 см².
  • Ответ: Площадь круга равна 11,46 см².

Площадь круга, вписанного в квадрат: формула, примеры решения задач

Площадь круга, вписанного в квадрат: формула, примеры решения задач

Найти площадь круга, вписанного в квадрат просто. Сторона квадрата — это диаметр круга. Чтобы найти радиус, нужно сторону разделить на 2.

Формула нахождения площади круга, вписанного в квадрат:

Площадь круга, вписанного в квадрат: формула

Примеры решения задач по нахождению площади круга, вписанного в квадрат:

———————————————————————————————————————

Задача №1: Известна сторона квадратной фигуры, которая равна 6 сантиметров. Найдите S-площадь вписанной окружности

  1. Решение: S=π(a/2)²=3,14(6/2)²=3,14*9=28,26 см².
  2. Ответ: Площадь плоской круглой фигуры равна 28,26 см².
  3. ————————————————————————————————————————

Задача №2: Найдите S круга, вписанного в квадратную фигуру и его радиус, если одна сторона равна a=4 см

  • Решайте так: Сначала найдем R=a/2=4/2=2 см.
  • Теперь найдем площадь окружности S=3,14*2²=3,14*4=12,56 см².
  • Ответ: Площадь плоской круглой фигуры равна 12,56 см².

Площадь круга, описанного около квадрата: формула, примеры решения задач

Площадь круга, описанного около квадрата: формула, примеры решения задач

Немного сложнее находить площадь круглой фигуры, описанной около квадрата. Но, зная формулу, можно быстро подсчитать данное значение.

Формула нахождения S круга, описанного около квадратной фигуры:

Площадь круга, описанного около квадрата: формула

Примеры решения заданий по нахождению площади окружности, описанной около квадратной фигуры:

Задача 

Площадь круга, описанного около квадрата: примеры решения задач

Площадь круга, вписанного в прямоугольный и равнобедренный треугольник: формула, примеры решения задач

Площадь круга, вписанного в прямоугольный и равнобедренный треугольник: формула, примеры решения задач

Окружность, которая вписана в треугольную фигуру — это круг, который касается всех трех сторон треугольника. В любую треугольную фигуру можно вписать круг, но только один. Центром круга будет точка пересечения биссектрис углов треугольника.

Формула нахождения площади круга, вписанного в равнобедренный треугольник:

Площадь круга, вписанного в прямоугольный и равнобедренный треугольник: формула

Когда будет известен радиус, площадь можно вычислить по формуле: S=πR².

Формула нахождения площади круга, вписанного в прямоугольный треугольник:

Площадь круга, вписанного в прямоугольный и равнобедренный треугольник

Примеры решения заданий:

Задача №1

Площадь круга, вписанного в прямоугольный и равнобедренный треугольник: примеры решения задач

Если в этой задаче нужно найти еще и площадь круга с радиусом 4 см, то сделать это можно по формуле: S=πR²

Задача №2

Площадь круга, вписанного в равнобедренный треугольник: примеры решения задач

Решение:

Площадь круга, вписанного в прямоугольный и равнобедренный треугольник: примеры

Теперь, когда известен радиус, можно найти площадь круга через радиус. Формулу смотрите выше по тексту.

Задача №3

Площадь круга, вписанного в треугольник: примеры решения задач

Площадь круга, описанного около прямоугольного и равнобедренного треугольника: формула, примеры решения задач

Все формулы по нахождению площади круга сводятся к тому, что сначала нужно найти его радиус. Когда известен радиус, то найти площадь просто, как было описано выше.

Площадь круга, описанного около прямоугольного и равнобедренного треугольника находится по такой формуле:

Площадь круга, описанного около прямоугольного и равнобедренного треугольника: формула

Примеры решения задач:

Площадь круга, описанного около прямоугольного и равнобедренного треугольника: примеры решения задач

Вот еще пример решения задачи с использованием формулы Герона.

Площадь круга, описанного около прямоугольного и равнобедренного треугольника: примеры

Решать подобные задачи сложно, но их можно осилить, если знать все формулы. Такие задачи школьники решают в 9 классе.

Площадь круга, вписанного в прямоугольную и равнобедренную трапецию: формула, примеры решения задач

У равнобедренной трапеции две стороны равны. У прямоугольной трапеции один угол равен 90º. Рассмотрим, как найти площадь круга, вписанного в прямоугольную и равнобедренную трапецию на примере решения задач.

Например, в равнобедренную трапецию вписана окружность, которая в точке касания делит одну сторону на отрезки m и n.

Для решения этой задачи нужно использовать такие формулы:

Площадь круга, вписанного в прямоугольную и равнобедренную трапецию: формула

Нахождение площади окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, производится по следующей формуле:

Площадь круга, вписанного в прямоугольную и равнобедренную трапецию

Если известна боковая сторона, то можно найти радиус через это значение. Высота боковой стороны трапеции равна диаметру окружности, а радиус — это половина диаметра. Соответственно, радиус равен R=d/2.

Примеры решения задач:

Площадь круга, вписанного в прямоугольную и равнобедренную трапецию: примеры решения задач

Площадь круга, описанного около прямоугольной и равнобедренной трапеции: формула, примеры решения задач

Трапецию можно вписать в окружность, когда сумма ее противолежащих углов равна 180º. Поэтому вписать можно только равнобокую трапецию. Радиус для вычисления площадь круга, описанного около прямоугольной или равнобедренной трапеции, рассчитывается по таким формулам:

Площадь круга, описанного около прямоугольной и равнобедренной трапеции: формула, примеры решения задач
Площадь круга, описанного около прямоугольной и равнобедренной трапеции: формула

Примеры решения задач:

Площадь круга, описанного около прямоугольной и равнобедренной трапеции: примеры решения задач

Решение: Большое основание в данном случае проходит через центр, так как в окружность вписана равнобедренная трапеция. Центр делит это основание ровно пополам. Если основание АВ равно 12, тогда радиус R можно найти так: R=12/2=6.

Ответ: Радиус равен 6.

В геометрии важно знать формулы. Но все их невозможно запомнить, поэтому даже на многих экзаменах разрешается пользоваться специальным формуляром. Однако важно уметь находить правильную формулу для решения той или иной задачи. Тренируйтесь в решении разных задач на нахождение радиуса и площади окружности, чтобы уметь правильно подставлять формулы и получать точные ответы.

Видео: Математика | Вычисление площадей круга и его частей

Источник: https://heaclub.ru/ploshhad-kruga-formula-chemu-ravna-ploshhad-kruga-opisannogo-i-vpisannogo-v-kvadrat-pryamougolnyj-i-ravnobedrennyj-treugolnik-pryamougolnuyu-ravnobedrennuyu-trapeciyu

2.5 Площадь круга

Круг
– это плоская фигура, которая представляет
собой множество точек равноудаленных
от центра. Все они находятся на одинаковом
расстоянии и образуют собой окружность.

Отрезок,
который соединяет центр круга с точками
его окружности, называется радиусом. В
каждой окружности все радиусы равны
между собой. Прямая, соединяющая две
точки на окружности и проходящая через
центр называется диаметром. Формула
площади круга рассчитывается с помощью
математической константы – числа π.
[3, c.
98]

Это
интересно:

Знания
стандартных формул расчета площади
круга помогут в дальнейшем легко
определять площадь секторов и легко
находить недостающие величины.

Теперь
подставим это равенство в формулу
расчета площади круга и получим формулу
нахождения площади круга, через длину
окружности:

Площадь
круга описанного вокруг квадрата

Очень
легко можно найти площадь круга описанного
вокруг квадрата.

Для
этого потребуется только сторона
квадрата и знание простых формул.
Диагональ квадрата будет равна диагонали
описанной окружности.

Зная
сторону, a
ее можно найти по теореме Пифагора:,
отсюда.

Рисунок
2.5.1

Пример
2.5.1.

Решение:
,
откуда имеем Тогда

Ответ:

Пример
2.5.2.

В
круге радиуса проведены по разные стороны от центра
две параллельные хорды, одна из которых
стягивает дугу в,
другая –
Найти площадь части круга, заключённого
между хордами. [7,c.
78]

Решение:

Рисунок
2.5.2

Площадь
сегмента с дугой равна

png»>,
а площадь сегмента с дугойравна.

Искомая площадь составляет

Ответ:

Пример
2.5.3.

Решение:

Рисунок
2.5.3

Ответ:

2.6 Площадь произвольного n-угольника

Отдельно
в школе площадь произвольного
многоугольника не рассматривается.
Однако, в курсе геометрии есть ряд задач,
в которых требуется найти площадь
произвольного многоугольника. К тому
же на практике задача о площади такого
многоугольника встречается довольно
часто.

Поэтому на уроках геометрии
следует уделить должное внимание решению
подобных задач.

Методическая ценность
такого рода задач заключается в том,
что они, во-первых, хорошо иллюстрируют
свойство аддитивности площади, а,
во-вторых, помогают учащимся развить
навыки нахождения площади треугольника
различными способами.

Итак,
основная идея нахождения площади
произвольного n-угольника – это разбиение
его на конечное число треугольников. В
результате суммирования площадей
треугольников, составляющих данный
n-угольник получается искомая площадь.

Нахождение
площади n-угольника таким способом лежит
в основе доказательства теоремы о
площади трапеции. [9, c.
21]

Теорема.
Площадь
трапеции равна произведению полусуммы
ее оснований на высоту.
[10,
c.
70]

Доказательство.
Рассмотрим
трапецию с основаниямии,
высотойи площадью.

Рисунок
2.6.1

Диагональ
разделяет трапецию на два треугольникаи,
поэтому.

Примем отрезкииза основание и высоту треугольника,
а отрезки BC и

png»>за основание и высоту треугольника.
Тогда,.
Так как,
то

aCBd/img-p7KVAu.png»>.
Таким образом,.

Теорема
доказана.

Пример
2.6.1.

Решение:

По
условию,

(рисунок 2.6.2).

Рисунок
2.6.2

Тогда и
по формуле Герона находимТак
как ,
то Отсюда определяем площадь трапеции:

Ответ:

Пример
2.6.2.

Диагональ
равнобедренной трапеции делит её тупой
угол пополам. Меньшее основание трапеции
равно 3 см, периметр равен 42 см. Найти
площадь трапеции.

Решение:

По
условию,
(рисунок 2.6.3). Но ,
а значит,

png»>–
равнобедренный и .
Имеемтак как

png»>,
то.
Проведём;
тогдаи из

aCBd/img-d2P2Ep.png»>находимИтак,

Рисунок
2.6.3

Ответ:).

Пример
2.6.3.

Найти
площадь равнобедренной трапеции, если
её высота равна ,
а боковая сторона видна из центра
описанной окружности под углом.

Решение:

Так
как центральный угол равен
(рисунок 2.6.4), то вписанный угол равен.

Рисунок
2.6.4

Следовательно,
и изполучаем:

Ответ:

Пример
2.6.4.

В
некоторый угол вписана окружность
радиуса ,
а длина хорды, соединяющей точки касания,
равна.
Параллельно этой хорде проведены две
касательные, в результате чего получилась
трапеция. Найти площадь этой трапеции.

Решение:

Пусть
и– точки касания (рисунок 2.6.5); тогдаоткудапоскольку

png»>
Проведём и.
Тогда искомая площадь.
Для описанной трапеции имеемпоэтому

aCBd/img-YHvkUc.png»>.

Далее,
как углы с взаимно перпендикулярными
сторонами,
откудаилии, значит,

Рисунок
2.6.5

Ответ:

Источник: https://StudFiles.net/preview/5792559/page:6/

Ссылка на основную публикацию