Как найти диагональ прямоугольного параллелепипеда

В геометрии 10 класса есть разделы, изучающие свойства диагонали прямоугольного параллелепипеда. Свойства изучаются не просто так, много задач на нахождение диагонали этой фигуры встречаются в ЕГЭ. Поэтому имеет смысл подробно поговорить о характеристиках диагонали прямоугольного параллелепипеда.
Как найти диагональ прямоугольного параллелепипеда

В общем случае диагональ представляет собой прямую линию, соединяющую вершины двух углов, не принадлежащих одной стороне многогранника. Прямоугольный параллелепипед в свою очередь состоит из шести граней, являющихся прямоугольниками.

Диагонали в прямоугольном параллелепипеде могут быть проведены не только во внутреннем пространстве фигуры, но и на боковых гранях. В последнем случае обычно уточняется, что речь идет о диагонали боковой грани.

Рис. 1. Диагональ параллелепипеда.

У параллелепипеда есть четыре диагонали. Причем, эти отрезки не принадлежат одной боковой грани или основаниям, а проводятся внутри фигуры.

Существует две теоремы, касающиеся диагоналей параллелограмма. Чтобы их доказать, используются дополнительные построения. К примеру, часто диагональ нижнего основания данной объемной геометрической фигуры служит стороной для нескольких треугольников.

Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда можно найти, суммировав квадраты трех измерений этой геометрической фигуры.

Здесь речь идет о длине, ширине и высоте рассматриваемого многогранника. Чтобы доказать данную теорему необходимо использовать свойства прямоугольных треугольников.

Диагональ проведенная в основании будет являться гипотенузой прямоугольного треугольника $АВС$, значит ее можно найти по теореме Пифагора через сумму квадратов $АВ$ и $ВС$. Но $АВ$ и $ВС$ это длинна и ширина параллелепипеда.

$$АC=sqrt{AB^2+BC^2}$$

Затем рассмотрим прямоугольный треугольник $АСС’$. Диагональ $АС’$ также можно найти через теорему Пифагора, как корень из суммы катетов $АС$ и $СС’$. Но $АС$ мы уже находили как корень из суммы квадратов $АВ$ и $АС$:

  • $(ACʹ)^2= (CCʹ)^2+(CD)^2+(CB)^2$, где
  • $CCʹ$- высота;
  • $CD$ – длина;
  • $CB$ – ширина.
  • Так выглядит формула данной теоремы.

Как найти диагональ прямоугольного параллелепипеда

Рис. 2. Связь диагонали параллелепипеда с ребром и основанием.

Обычно большая линия, лежащая в основании параллелепипеда, считается ее длиной. Меньший отрезок – шириной.

В любом параллелепипеде четыре диагонали пересекаются в одной точке, которую называют точкой симметрии, и делятся ей пополам. Это свойство доказывают, рассматривая две любые диагонали, и проводя соответствующие прямые.

Для доказательства этой теоремы нужно вспомнить, что плоскость может задаваться двумя пересекающимися прямыми. В рассматриваемом случае, плоскость, заданная двумя пересекающимися диагоналями, принимает форму прямоугольника. А диагонали прямоугольника, как известно, точкой пересечения делятся пополам.

Как найти диагональ прямоугольного параллелепипеда

Рис. 3. Пересечение диагоналей параллелепипеда.

Из этой же теоремы можно сделать вывод о том, что все его диагонали будут равными между собой.

Мы поговорили о диагонали прямоугольного параллелепипеда. Узнали, что, используя свойства диагоналей параллелепипеда, можно найти ширину, длину и высоту параллелепипеда. Поговорили о том, как найти ось симметрии, и определить длину диагоналей прямоугольного параллелепипеда.

Средняя оценка: 4.7. Всего получено оценок: 30.

Источник: https://obrazovaka.ru/geometriya/diagonal-pryamougolnogo-parallelepipeda-formula.html

Диагональ прямоугольного параллелепипеда

Параллелепипед — это частный случай призмы, в основании которой лежит прямоугольник с длиной a и шириной b. Двигаясь по вертикальной или наклонной оси на определенную высоту c, данный прямоугольник создает объемное тело, именуемое параллелепипедом.

Установить Диагональ прямоугольного параллелепипеда на мобильный

Параллелепипед по определению может быть наклонным или прямым, то есть угол между высотой и прямоугольником в основании варьируется от до 90 градусов.

Прямой параллелепипед имеет в качестве граней исключительно прямоугольники, и даже иногда квадрат (в основании), поэтому решение задач с его участием значительно облегчено.

В случае с наклонным параллелепипедом в формулах необходимо учитывать, что боковой гранью является параллелограмм, строение которого зависит также от угла его наклона.

Помимо трех вышеуказанных параметров параллелепипеда — длины, ширины высоты, являющихся его ребрами, в данном теле можно также провести еще несколько отрезков, соединяющих его вершины.

Как и в геометрических фигурах на плоскости, линии, проходящие внутри основного каркаса через вершины, называются диагоналями.

Диагонали боковых граней прямоугольного параллелепипеда идентичны диагоналям прямоугольников, которыми представлены грани — их, соответственно, можно вычислить, используя подходящий онлайн калькулятор для прямоугольников.

Другое дело — диагональ, проходящая не по внешней поверхности прямоугольного параллелепипеда, а сквозь него, соединяя противоположные вершины верхнего и нижнего оснований.

При этом, какая именно пара противоположных вершин соединена, не имеет значения для расчетов, так как если рассмотреть сечения, можно увидеть, что обе диагонали параллелепипеда идентичны и найти их можно одним и тем же способом.

Читайте также:  Как сделать мышь

Итак, для того чтобы вывести формулу диагонали через длину, ширину и высоту, необходимо заключить диагональ в плоскую геометрическую фигуру, свойства которой можно будет использовать.

Для этого в любом основании — верхнем или нижнем, проводится диагональ, которая образует с диагональю параллелепипеда и боковым ребром (высотой) прямоугольный треугольник.

Применив одну лишь теорему Пифагора, можно найти диагональ основания через ширину и длину,а затем диагональ прямоугольного параллелепипеда, добавив в расчеты высоту.

Как найти диагональ прямоугольного параллелепипеда

Используя последнюю и предпоследнюю формулу, можно также успешно найти длину, ширину или высоту прямоугольного параллелепипеда, имея в заданных условиях три параметра из четырех, включая диагональ параллелепипеда.
Например: Как найти диагональ прямоугольного параллелепипеда

Вам помог этот калькулятор?

Предложения и пожелания пишите на allcalc.ru@gmail.com

  • Поделитесь этим калькулятором на форуме или в сети!
  • Это помогает делать новые калькуляторы.
  • НЕТ

Источник: https://allcalc.ru/node/1036

Как найти диагональ прямоугольного параллелепипеда

Инструкция

У параллелепипеда можно построить четыре пересекающиеся диагонали. Если известны данные трех ребер а, b и с, найти длины диагоналей прямоугольного параллелепипеда не составит труда, выполняя дополнительные построения. Сначала нарисуйте прямоугольный параллелепипед. Подпишите все известные вам данные, их должно быть три: ребра а, b и с. Начертите первую диагональ m. Для ее построения воспользуйтесь свойством прямоугольных параллелепипедов, согласно которому все углы подобных фигур являются прямыми.

Постройте диагональ n одной из граней параллелепипеда. Построение сделайте таким образом, чтобы известное ребро (а), неизвестная диагональ параллелепипеда и диагональ прилегающей грани (n) образовывали прямоугольный треугольник а, n, m.

Посмотрите на построенную диагональ грани (n). Она является гипотенузой другого прямоугольного треугольника b, с, n. Следуя теореме Пифагора, которая гласит, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (n² = с² + b²), найдите квадрат гипотенузы, затем извлеките корень квадратный из полученного значения – это и будет длина диагонали грани n.

Найдите диагональ самого параллелепипеда m. Для того, чтобы найти ее значение, в прямоугольном треугольнике а, n, m вычислите по той же формуле гипотенузу: m² = n² + a². Вычислите корень квадратный. Найденный результат будет первой диагональю вашего параллелепипеда. Диагональ m.

Точно так же проведите последовательно все остальные диагонали параллелепипеда, для каждой из которых выполняйте дополнительные построения диагоналей прилегающих граней. Используя теорему Пифагора, найдите значения остальных диагоналей данного параллелепипеда.

Есть еще один способ, с помощью которого можно найти длину диагонали. Согласно одному из свойств параллелограмма, квадрат диагонали равен сумме квадратов трех его сторон. Из этого следует, что длину можно найти сложив квадраты сторон параллелепипеда и из получившегося значения извлечь квадрат.

Полезный совет

Свойства параллелепипеда:- параллелепипед симметричен относительно середины его диагонали;- любой отрезок с концами, принадлежащими поверхности параллелепипеда и проходящий через середину его диагонали, делится ею пополам, в частности, все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам;- противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны;

— квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.

Источники:

  • Как найти диагональ прямоугольного параллелепипеда
  • свойство диагонали параллелепипеда

Источник: https://www.kakprosto.ru/kak-20424-kak-nayti-diagonal-pryamougolnogo-parallelepipeda

Диагональ Параллелепипеда. Формула. Как Найти Диагональ Параллелепипеда?

Диагональ прямоугольного параллелепипеда — это отрезок, соединяющий его противоположные вершины . Итак, у нас есть прямоугольный параллелепипед с диагональю d и со сторонами a, b, c .

Одно из свойств параллелепипеда гласит, что квадрат длины диагонали d равен сумме квадратов трёх его измерений a, b, c.

Отсюда вывод, что длина диагонали может быть легко рассчитана по следующей формуле :

Также :

Прямоугольным параллелепипедом (ПП) является ни что иное, как призма, основанием у которой прямоугольник. У ПП все диагонали равны, значит любая его диагональ рассчитывается по формуле: где

  • а, в — стороны основания ПП;
  • с — его высота.

Можно дать и другое определение, рассматривая декартову прямоугольную систему координат: Диагональ ПП это радиус-вектор любой точки пространства, заданной координатами x, y и z в декартовой системе координат. Этот радиус вектор к точке проводится из начала координат. А координатами точки будут проекции радиус-вектора (диагонали ПП) на координатные оси. Проекции совпадают с вершинами данного параллелепипеда.

Если у прямоугольного параллелепипеда известны длина, высота и ширина (a,b,c) то формула для расчета диагонали будет выглядеть таким образом: Обычно учителя не предлагают своим ученикам «голую» формулу, а прилагают усилия, чтобы те могли самостоятельно ее вывести, задавая наводящие вопросы:

  • что нужно узнать, какими данными мы располагаем?
  • какие свойства имеет прямоугольный параллелепипед?
  • применима ли здесь Теорема Пифагора? Как?
  • достаточное ли данных для применения теоремы Пифагора, или нужны еще какие-то расчеты?
Читайте также:  Как подобрать диски по шинам

Обычно после ответа на поставленные вопросы, ученики без труда самостоятельно выводят данную формулу.

Нашлась в интернете неплохая схема-таблица с полным перечислением всего, что есть в параллепипеде. Есть формула, чтобы найти диагональ, которая обозначается d. Есть изображение грани, вершины и других важных для параллепипеде вещей.

Прямоугольный параллелепипед это один из так званных многогранников, который состоит из 6 граней, каждая из которых является прямоугольником.

А диагональ — это отрезок, который соединяет противоположные вершины параллелограмма.

Если длину, ширину и высоту прямоугольного параллелепипеда принять за a, b, c соответственно, то формула его диагонали ( D ) будет выглядеть следующим образом: D^2=a^2+b^2+c^2.

Вспоминаю школьную программу по геометрии, можно сказать так: диагональ параллелепипеда равняется корню квадратному полученному из суммы его всех трех сторон (обозначаются они маленькими буквами a, b, c).

квадрат диагонали равен, сумме квадратов ширины , высоты и длинны , исходя с этой формулы получаем ответ , диагональ равно корню квадратному с суммы его трех разных измерений , буквами они позначаюnсz abc

Прямоугольный параллелепипед — это разновидность многогранника, состоящая из 6 граней, в основании которого — прямоугольник. Диагональ — это отрезок, который соединяет противоположные вершины параллелограмма. Формула нахождения длины диагонали — квадрат диагонали равен сумме квадратов трех измерений параллелограмма.

Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны. Также как и диагонали его противоположных граней. Длину диагонали можно вычислить, зная длину рёбер параллелограмма, исходящих из одной вершины. Эта длина равна корню квадратному из суммы квадратов длин его рёбер.

Насколько мне известно еще со школьной программы, класс 9 если не ошибаюсь, и если не изменяет память , то диагональ прямоугольного параллелепипеда ровна корню квадратному суммы квадратов его всех трех сторон.

Квадрат диагонали, квадратного параллилепипеда (смотрите свойства квадратного параллепипеда) равна сумме квадратов трёх его разных сторон (ширине, высоте, толщине), а соответственно диагонали квадратного параллепипеда равна корню из этой суммы.

Длина диагонали прямоугольного параллепипеда равна корню квадратному из суммы квадратов его сторон.

Источник: http://otvet.expert/diagonal-parallelepipeda-formula-kak-nayti-diagonal-parallelepipeda-38605

Самая удобная и увлекательная подготовка к ЕГЭ

Параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые ребра перпендикулярны к основанию, а основания представляют собой прямоугольники.

На рисунке изображен прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Его основаниями являются прямоугольники $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$, а боковые ребра $AA_1, BB_1, CC_1$ и $DD_1$ перпендикулярны к основаниям.

Свойства прямоугольного параллелепипеда:

  1. В прямоугольном параллелепипеде $6$ граней и все они являются прямоугольниками.
  2. Противоположные грани попарно равны и параллельны.
  3. Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда – прямые.
  4. Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.
  5. Прямоугольный параллелепипед имеет $4$ диагонали, которые пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.
  6. Любая грань прямоугольного параллелепипеда может быть принята за основание.
  7. Прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны, называется кубом.
  8. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений (длины, ширины, высоты).

$B_1D^2=AD^2+DC^2+C_1C^2$

Формулы вычисления объема и площади поверхности прямоугольного параллелепипеда

  • Чтобы были понятны формулы, введем обозначения:
  • $а$ — длина;
  • $b$ — ширина;
  • $с$ — высота(она же боковое ребро);
  • $P_{осн}$ — периметр основания;
  • $S_{осн}$ — площадь основания;
  • $S_{бок}$ — площадь боковой поверхности;
  • $S_{п.п}$ — площадь полной поверхности;
  • $V$ — объем.
  • $V=a·b·c$ – объем равен произведению трех измерений прямоугольного параллелепипеда.
  • $S_{бок}=P_{осн}·c=2(a+b)·c$ – площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания на боковое ребро.

$S_{п.

п}=2(ab+bc+ac).$

Дополнительные сведения, которые пригодятся для решения задач:

Куб

  1. $а$ — длина стороны.
  2. $V=a^3;$
  3. $S_{бок}=4а^2;$
  4. $S_{п.п}=6а^2;$
  5. $d=a√3$ – диагональ равна длине стороны, умноженной на $√3$.

Пирамида

  • Пирамидой называется многогранник, одна грань которого (основание) – многоугольник, а остальные грани (боковые) — треугольники, имеющие общую вершину.
  • Высотой ($h$) пирамиды является перпендикуляр, опущенный из ее вершины на плоскость основания.
  • Объем любой пирамиды равен трети произведения основания и высоты.
  • $V={1}/{3}S_{осн}·h$
  • В основании у произвольной пирамиды могут лежать различные многоугольники, рассмотрим площади некоторых из них.
  • В основании лежит треугольник.
  • Площадь треугольника.
  • $S={a·h_a}/{2}$, где $h_a$ — высота, проведенная к стороне $а$.
  • $S={a·b·sin⁡α}/{2}$, где $a,b$ — соседние стороны, $α$ — угол между этими соседними сторонами.
  • Формула Герона $S=√{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $р$ — это полупериметр $p={a+b+c}/{2}$.
  • $S=p·r$, где $r$ — радиус вписанной окружности.
  • $S={a·b·c}/{4R}$, где $R$ — радиус описанной окружности.
  • Для прямоугольного треугольника $S={a·b}/{2}$, где $а$ и $b$ — катеты прямоугольного треугольника.
  • Для равностороннего треугольника $S={a^2√3}/{4}$, где $а$ — длина стороны. 
Читайте также:  Как узнать, изменяет ли ваша девушка

В основании лежит четырехугольник.

  1. Прямоугольник. $S=a·b$, где $а$ и $b$ — смежные стороны.
  2. Ромб. $S={d_1·d_2}/{2}$, где $d_1$ и $d_2$ — диагонали ромба.

    $S=a^2·sin⁡α$, где $а$ — длина стороны ромба, а $α$ — угол между соседними сторонами.

  3. Трапеция. $S={(a+b)·h}/{2}$, где $а$ и $b$ — основания трапеции, $h$ — высота трапеции.
  4. Квадрат. $S=a^2$, где $а$ — сторона квадрата.
  1. Пример:
  2. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $C, A_1, B_1, C_1, D_1$ параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$, у которого $AB=8, AD=12, AA_1=4$.
  3. Решение:

Изобразим прямоугольный параллелепипед и на нем отметим вершины многогранника $C, A_1, B_1, C_1, D_1$, получим в итоге четырехугольную пирамиду. В основании пирамиды лежит прямоугольник, так основание пирамиды и прямоугольного параллелепипеда совпадают.

  • Объем пирамиды, в основании которой лежит прямоугольник
  • $V={S_{прямоугольника}·h}/{3}={a·b·h}/{3}$, где $a$ и $b$ — стороны прямоугольника.
  • Для нашего рисунка стороны прямоугольника – это $А_1В_1$ и $A_1D_1$.
  • В прямоугольном параллелепипеде противоположные ребра равны и параллельны, следовательно, $AB=А_1В_1=8; AD=A_1D_1=12$.
  • Высотой в пирамиде $CA_1B_1C_1D_1$ будет являться ребро $СС_1$, так как оно перпендикулярно основанию (из прямоугольного параллелепипеда).
  • $СС_1=АА_1=4$
  • $V={А_1В_1·A_1D_1·СС_1}/{3}={8·12·4}/{3}=128$
  • Ответ: $128$

Теорема Пифагора.

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

$АС^2+ВС^2=АВ^2$

Источник: https://examer.ru/ege_po_matematike/teoriya/pryamiugolnyi_parallelepiped

Большая Энциклопедия Нефти и Газа

  • Cтраница 3
  • Даны длина, ширина Рё диагональ прямоугольного параллелепипеда; найти его высоту.  [31]
  • Момент четвертой пары равен РїРѕ модулю диагонали прямоугольного параллелепипеда, построенного РїСЂРё точке Рћ РЅР° отрицательных частях осей РћС…, РћСѓ Рё РћРі СЃРѕ сторонами, равными соответственно 1, 2, 3, Рё имеет направление диагонали, проходящей через точку Рћ.  [32]

Так как этот вектор совпадает СЃ диагональю прямоугольного параллелепипеда ( СЂРёСЃ. 18), то его длина равна длине этой диагонали.  [33]

  1. Даны перспектива Рё вторичная проекция РѕРґРЅРѕР№ РёР· диагоналей прямоугольного параллелепипеда, основание которого расположено РЅР° предметной плоскости, Р° передняя грань параллельна плоскости картины.  [34]
  2. Даны перспектива Рё вторичная проекция РѕРґРЅРѕР№ РёР· диагоналей прямоугольного параллелепипеда, основание которого расположено РЅР° предметной плоскости, Р° передняя грань параллельна плоскости картины.  [35]
  3. Даны перспектива Рё вторичная проекция РѕРґРЅРѕР№ РёР· диагоналей прямоугольного параллелепипеда, основание которого расположено РЅР° предметной плоскости, Р° передняя грань параллельна плоскости картины.  [36]
  4. Р�Р· элементарной геометрии известно, что квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен СЃСѓРјРјРµ квадратов длин трех его измерений.  [37]
  5. Как известно РёР· элементарной геометрии, квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен СЃСѓРјРјРµ квадратов длин трех его смежных сторон.  [38]
  6. Как известно РёР· элементарной геометрии, квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен СЃСѓРјРјРµ квадратов длин трех его смежных сторон.  [39]
  7. Так как эти векторы взаимно перпендикулярны, то абсолютное ускорение изображается диагональю прямоугольного параллелепипеда, построенного РЅР° этих векторах.  [40]
  8. Формула ( 13) — это теорема Пифагора РІ пространстве: квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен СЃСѓРјРјРµ квадратов трех его измерений.  [41]
  9. Посмотрите, РІ предложенной задаче РјС‹ имеем дело СЃ пространственной фигурой, речь идет Рѕ диагонали прямоугольного параллелепипеда.  [42]

Вектор силы F, из ( 58) и ( 59), по величине и направлению представляет диагональ прямоугольного параллелепипеда с ребрами X, Y, Z.

Точно также можно РІСЃСЏРєСѓСЋ произвольно направленную силу РїРѕ тому же закону разложить РЅР° три действующие РїРѕ направлениям осей координат силы.  [43]

Так как составляющие силы направлены РїРѕ трем взаимно перпендикулярным прямым, то полная сила давления РЅР° резец изобразится диагональю прямоугольного параллелепипеда, построенного РЅР° ее составляющих.  [44]

Силу R можно рассматривать как равнодействующую трех взаимно перпендикулярных составляющих, равных РїРѕ модулю ее проекциям РЅР° пространственные РѕСЃРё координат С…, Сѓ Рё Рі. Р’ этом случае РѕРЅР° представляется диагональю прямоугольного параллелепипеда, сторонами которого являются эти составляющие.  [45]

Страницы:      1    2    3    4

Источник: https://www.ngpedia.ru/id000933p3.html

Ссылка на основную публикацию