Как найти боковую сторону равнобедренного треугольника

Как найти боковую сторону равнобедренного треугольника

   Здравствуйте! В состав ЕГЭ входит группа заданий, при решении которых используются формулы площадей параллелограмма и площадей треугольника. Мы их подробно рассмотрели в прошлой статье «Площадь треугольника. Шесть формул!». Задачи простенькие, необходимо знать указанные формулы и уметь производить элементарные алгебраические преобразования. Рассмотрим задания:

Как найти боковую сторону равнобедренного треугольника

Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 300. Боковая сторона треугольника равна 5. Найдите площадь этого треугольника. 

Как найти боковую сторону равнобедренного треугольника

Известен угол С, он равен 30 градусам. Известны стороны АС и ВС, они равны 5.

  • *Известно, что в равнобедренном треугольнике боковые стороны равны.
  • Используем формулу для нахождения площади:
  • Как найти боковую сторону равнобедренного треугольника
  • *Площадь треугольника равна половине произведения двух соседних сторон на синус угла между ними.
  • В данном случае:
  • Как найти боковую сторону равнобедренного треугольника
  • Ответ: 6,25
  • Как найти боковую сторону равнобедренного треугольника

Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 1500. Боковая сторона треугольника равна 24. Найдите площадь этого треугольника.

  1. Как найти боковую сторону равнобедренного треугольника
  2. От предыдущей задачи эта отличается тем, что угол при её вершине тупой. Используем ту же формулу для нахождения площади треугольника:
  3. Как найти боковую сторону равнобедренного треугольника
  4. В данном случае:
  5. Как найти боковую сторону равнобедренного треугольника

*Не забывайте тот факт, что синусы смежных углов равны. Формулы приведения можно посмотреть здесь.

  • Значит
  • Как найти боковую сторону равнобедренного треугольника
  • Ответ: 144
  • Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 40 и 20, а угол между ними равен 300.
  • Известны две стороны и угол между ними. Используем формулу для нахождения площади:
  • В данном случае:
  • Ответ: 200

Площадь треугольника ABC равна 176. DE — средняя линия. Найдите площадь треугольника CDE.

Вспомним, что такое средняя линия в треугольнике, и что нам это даёт. Средняя линия в треугольнике – это отрезок соединяющий середины соседних сторон, она параллельна третьей стороне.

  1. Что ещё известно о ней? 
  2. Средняя линия треугольника равна половине параллельного ему основания, то есть:
  3. Так же можно добавить, что она делит высоту, проведённую к основанию параллельному ей, на два равных отрезка.
  4. Используем формулу:
  5. Площадь треугольника равна половине произведения основания и высоты опущенной на это основание.
  6. В данном случае:
  7. Если мы выразим площадь треугольника DCE относительно АВ и hАВ, то далее без труда вычислим площадь искомого треугольника через отношение площадей.
  8. Выразим площадь треугольника DCE.
  9. Высота  треугольника DCE  в 2 раза меньше высоты треугольника ABC, значит она равна:
  10. Как уже сказано, средняя линия в треугольнике равна половине стороны ей параллельной, значит:
  11. Таким образом:
  12. *Нам  не нужно находить ни длины оснований треугольников, ни высоты.
  13. Вычислим, чему равно отношение площадей треугольников:
  14. То есть площадь треугольника DCE меньше площади треугольника ABC в 4 раза. Таким образом:

*Данный путь решения, конечно, рациональным не является. Просто показано, как такая задача решается с использованием формулы площади и знания свойств средней линии треугольника.

Задача решается устно. Достаточно вспомнить формулу для отношения площадей подобных фигур, информация об этом на сайте имеется. Коэффициент пропорциональности в данном случае равен 0,5. Поэтому решение будет выглядеть следующим образом:

  • Ответ: 44

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 87, а основание равно 126. Найдите площадь этого треугольника.

  1. Известны три стороны, можно воспользоваться формулой Герона:
  2. р – где это полупериметр.
  3. Вычислим его:
  4. Находим площадь:
  5. *Второй вариант.

Основание известно. Построив высоту опущенную на основание, можно найти её из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора и далее воспользоваться формулой площади.

Ответ: 3780

Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 300. Найдите боковую сторону треугольника, если его площадь равна 1444. 

Угол С равен 30 градусам. Площадь равна 1444.

  • Используем формулу площади треугольника:
  • Треугольник равнобедренный, это значит, что его боковые стороны равны, то есть АС = СВ, значит:
  • Боковая сторона треугольника равна 76.
  • *Как извлекать квадратный  корень из большого числа без калькулятора можно посмотреть здесь.
  • Ответ: 76

Площадь остроугольного треугольника равна 90. Две его стороны равны 20 и 18. Найдите угол между этими сторонами. Ответ дайте в градусах.

  1. Нам известна площадь треугольника, и две его стороны. Угол между этими сторонами можем найти использовав формулу площади треугольника:
  2. Выразим sin γ:
  3. Таким образом:

Есть два угла, синус которых равен 0,5. Это угол 30 и 150 градусов. Поэтому будьте предельно внимательны при прочтении условия. В данном случае сказано, что треугольник остроугольный, следовательно ответ будет 300.

  • *Если бы  условии было сказано, что дан тупоугольный треугольник, то ответ был бы 1500.
  • Ответ: 30
  • Следующие три задачи для вас не представит труда решить:

27587. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катеты равны 5 и 8. Ответ: 20.

25588. Площадь прямоугольного треугольника равна 16. Один из его катетов равен 4. Найдите другой катет. Ответ: 8

27617. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 6 и 10. Ответ: 24.

Ещё для самостоятельного решения:

27589. Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 300. Боковая сторона треугольника равна 10. Найдите площадь этого треугольника. 

Посмотреть решение

27590. Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 1500. Боковая сторона треугольника равна 20. Найдите площадь этого треугольника.

Посмотреть решение

27591. Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 8 и 12, а угол между ними равен 300.

Посмотреть решение

27592. Площадь треугольника ABC равна 4. DE — средняя линия. Найдите площадь треугольника CDE.

Посмотреть решение

27619. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 5, а основание равно 6. Найдите площадь этого треугольника.

Посмотреть решение

27620. Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 300. Найдите боковую сторону треугольника, если его площадь равна 25. 

Посмотреть решение

27622. Площадь остроугольного треугольника равна 12. Две его стороны равны 6 и 8. Найдите угол между этими сторонами. Ответ дайте в градусах.

Посмотреть решение

*По поводу данной задачи хочу сказать вам следующее. Условие составлено некорректно, имеется ошибка. Дело в том, что треугольник с такими характеристиками не может быть остроугольным. Оба варианта такого треугольника и при 30 и при 150 градусах между данными сторонами будут тупоугольными. При 1500 понятно почему, а при 300… 

Вы легко убедитесь построив такой треугольник соблюдая размерность сторон и угла между ними и увидите это визуально. Также это можно доказать вычислениями.

Я предполагаю, что во всех аналогичных заданиях  имеется подобная ошибка.

Совет простой: если в условии сказано, что треугольник остроугольный, то в ответе записывайте острый угол; если будет сказано, что он тупоугольный, то в записывайте тупой угол.

На данный момент этот тип задач исключен из открытого банка заданий ЕГЭ, возможно, именно из-за этой некорректности. На сайте РЕШУЕГЭ Дмитрия Гущина на момент написания этой статьи это задание есть. Возможно и на ЕГЭ такая  задача будет.

Приведу пример корректного условия задачи:

Площадь остроугольного треугольника равна 14. Две его стороны равны 7 и 8. Найдите угол между этими сторонами. Ответ дайте в градусах.

На этом всё! Успеха вам, дерзайте и всё будет!

С уважением, Александр Крутицких

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Источник: https://matematikalegko.ru/plocshadi-figur/bokovaya-storona-ravnobedrennogo-treugolnika.html

Равнобедренный треугольник. Подробная теория с примерами

 Как найти боковую сторону равнобедренного треугольника Как найти боковую сторону равнобедренного треугольника Как найти боковую сторону равнобедренного треугольника

Важное замечание! Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Среди всех треугольников есть два особенных вида: прямоугольные треугольники и равнобедренные треугольники. Чем же эти виды треугольников такие уж особенные? Ну, во-первых, такие треугольники чрезвычайно часто оказываются главными действующими «лицами» задач ЕГЭ первой части.

А во-вторых, задачи про прямоугольные и равнобедренные треугольники решаются гораздо легче, чем другие задачи по геометрии. Нужно всего лишь знать несколько правил и свойств. Все самое интересное о прямоугольных треугольниках обсуждается в соответствующей теме, а сейчас рассмотрим равнобедренные треугольники.

И прежде всего, что же такое – равнобедренный треугольник. Или, как говорят математики, каково определение равнобедренного треугольника?

Треугольник называется равнобедренным, если у него есть две равные стороны.

Посмотри, как это выглядит:

Как найти боковую сторону равнобедренного треугольника

Как и у прямоугольного треугольника, у равнобедренного треугольника есть специальные названия для сторон. Две равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона – основанием.

И снова внимание на картинку:

Как найти боковую сторону равнобедренного треугольника

Может быть, конечно, и так:

Как найти боковую сторону равнобедренного треугольника

Так что будь внимательным: боковая сторона – одна из двух равных сторон в равнобедренном треугольнике, а основание – третья сторона.

Чем же так уж хорош равнобедренный треугольник? Чтобы это понять, давай проведём высоту к основанию. Ты помнишь, что такое высота?

Как найти боковую сторону равнобедренного треугольника Это просто линия, проведённая из вершины треугольника перпендикулярно противоположной стороне. Итак, провели высоту.

Что же получилось? Из одного равнобедренного треугольника получилось два прямоугольных.

Это уже хорошо, но так получится в любом, самом «кособедренном» треугольнике.

Смотри:

Как найти боковую сторону равнобедренного треугольника Тоже два прямоугольных….

Чем же отличается картинка для равнобедренного треугольника? Смотри ещё раз:

Как найти боковую сторону равнобедренного треугольника Видишь, два прямоугольных треугольника (  и  ) – одинаковые! Или, как математически любят говорить? равные!

Ну, во-первых, конечно, этим странным математикам мало просто видеть – нужно непременно доказывать. А то вдруг эти треугольники чуть-чуть разные, а мы будем считать их одинаковыми.

Но не переживай: в данном случае доказывать почти так же просто, как и видеть.

Начнём? Посмотри внимательно, у нас есть:

Как найти боковую сторону равнобедренного треугольника     (ещё говорят,  — общая)

И, значит,  ! Почему? Да мы просто найдём и  , и   из теоремы Пифагора (помня ещё при этом, что  )

  • Удостоверились? Ну вот, теперь у нас
  • А уж по трём сторонам – самый легкий (третий) признак равенства треугольников.
  • Ну вот, наш равнобедренный треугольник разделился на два одинаковых прямоугольных.
Читайте также:  Как удалить почту на яндексе
Отметим на картинке все одинаковые элементы (углы и стороны).

Видишь, как интересно? Получилось, что:

Как же об этом принято говорить у математиков? Давай по порядку:

  • В равнобедренном треугольнике углы при основании равны  
  • Высота, проведенная к основанию, совпадает с медианой и биссектрисой.    

(Вспоминаем тут, что медиана – линия, проведённая из вершины, которая делит сторону пополам, а биссектриса – угол.)

Ну вот, здесь мы обсудили, что хорошего можно увидеть, если дан равнобедренный треугольник. Мы вывели, что у равнобедренного треугольника углы при основании равны, а высота, биссектриса и медиана, проведенные к основанию, совпадают.

И теперь возникает другой вопрос: а как узнать равнобедренный треугольник? То есть, как говорят математики, каковы признаки равнобедренного треугольника?

И оказывается, что нужно просто «перевернуть» все высказывания наоборот. Так, конечно, не всегда бывает, но равнобедренный треугольник всё-таки отличная штука! Что же получится после «переворачивания»?

I. Если в каком-то треугольнике есть два равных угла, то такой треугольник – равнобедренный (ну и естественно, углы эти окажутся при основании).
II. Если в каком-то треугольнике

  • высота и медиана или
  • высота и биссектриса или
  • биссектриса и медиана

проведённые к какой-то стороне, совпадут, то такой треугольник – равнобедренный, а сторона эта – основание.

  1. Ну вот смотри: Если совпадают высота и медиана, то:

Если совпадают высота и биссектриса, то: Если совпадают биссектриса и медиана, то:

Ну вот, не забывай и пользуйся:

  • Если дан равнобедренный треугольный треугольник, смело проводи высоту, получай два прямоугольных треугольника и решай задачу уже про прямоугольный треугольник.
  • Если дано, что два угла равны, то треугольник точно равнобедренный и можно проводить высоту и ….( Дом, который построил Джек…).
  • Если оказалось, что высота разделена сторону пополам, то треугольник – равнобедренный со всеми вытекающими бонусами.
  • Если оказалось, что высота разделила угол полам – тоже равнобедренный!
  • Если биссектриса разделила сторону пополам или медиана – угол, то это тоже бывает только в равнобедренном треугольнике

Давай посмотрим, как выглядит в задачах.

Задача 1 (самая простая)

В треугольнике   стороны   и   равны, а  . Найти  .

  • Решаем:
  • Сначала рисунок.

Что здесь – основание? Конечно,  .

  1. Вспоминаем, что если  , то и  .
  2. Обновлённый рисунок:

Обозначим   за  . Чему там равна сумма углов треугольника?  ?

Пользуемся:

Вот и ответ:  .

Несложно, правда? Даже высоту проводить не пришлось.

Задача 2 (Тоже не очень хитрая, но нужно повторить тему «Прямоугольный треугольник»)

В треугольнике    ,  . Найти  .

Решаем:

Смотрим внимательно и соображаем, что раз  , то  .

Треугольник-то — равнобедренный! Проводим высоту (это и есть фокус, с помощью которого сейчас все решится).

Вспоминаем, что высота = медиана, то есть  .
  • Теперь «вычёркиваем из жизни»  , рассмотрим только  .
  • Итак, в   имеем:  
  • Вспоминаем табличное значения косинусов (ну, или глядим в шпаргалку…)
  • Осталось найти  :  .
  • Ответ:  .

Заметим, что нам тут очень потребовались знания, касающиеся прямоугольного треугольника и «табличных» синусов и косинусов. Очень часто так и бывает: темы «Прямоугольный треугольник», «Равнобедренный треугольник» и «Основные формулы тригонометрии» в задачках ходят в связках, а с другими темами не слишком дружат.

Равнобедренный треугольник. Средний уровень

Треугольник называется равнобедренным, если у него есть две равные стороны.
  1. Эти две равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона – основание равнобедренного треугольника.
  2. Посмотри на рисунок:   и   – боковые стороны,   – основание равнобедренного треугольника.

Свойства равнобедренного треугольника:

  • Углы при основании равнобедренного треугольника равны (на рисунке:  ).
  • Высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, совпадает с медианой и биссектрисой.

Давай на одном рисунке поймём, почему так выходит. Проведем из точки   высоту  .

Что получилось? Треугольник   разделился на два прямоугольных треугольника   и  . И эти треугольники равны! У них равны гипотенузы и общий катет  .

Значит, у них равны все соответствующие элементы.

То есть:

  •   ( Вот – углы при основании равны)
  •   (  оказалась биссектрисой)
  •   (  оказалась медианой)

Всё! Одним махом (высотой  ) доказали сразу все утверждения.

И ты запомни: чтобы решить задачу про равнобедренный треугольник часто бывает очень полезно опустить высоту на основание равнобедренного треугольника и разделить его на два равных прямоугольных треугольника.

Признаки равнобедренного треугольника

Верны и обратные утверждения:

  • Если в некотором треугольнике два угла равны, то он – равнобедренный.
  • Если в некотором треугольнике совпадают: а) высота и биссектриса или б) высота и медиана или в) медиана и биссектриса,проведённые к одной стороне, то такой треугольник – равнобедренный.

Почти все из этих утверждений снова можно доказать «одним махом».

1. Итак, пусть в   оказались равны   и  .

Проведём высоту  . Тогда

  – как прямоугольные по катету и острому углу.

Значит,  .

Доказали, что   – равнобедренный.

2. a) Теперь пусть в каком–то треугольнике совпадают высота и биссектриса.

Тогда снова   по катету и острому углу. Значит, опять  .

2. б) А если совпадают высота и медиана? Все почти так же, ничуть не сложнее!

  — по двум катетам  

2. в) А вот если нет высоты, которая опущена на основание равнобедренного треугольника, то нет и никаких изначально прямоугольных треугольников. Плохо!

  • Но выход есть – читай его в следующем уровне теории, поскольку тут доказательство посложнее, а пока просто запомни, что если медиана и биссектриса совпали, то треугольник тоже окажется равнобедренным, и высота всё-таки тоже совпадёт с этими биссектрисой и медианой.
  • Подытожим:
  1. Если треугольник равнобедренный, то углы при основании равны, и высота, биссектриса и медиана, проведенные к основанию, совпадают.
  2. Если в каком-то треугольнике найдутся два равных угла, или какие-то две из трех линий (биссектриса, медиана, высота) совпадут, то такой треугольник – равнобедренный.

Равнобедренный треугольник. Краткое описание и основные формулы

Равнобедренный треугольник — треугольник, у которого есть две равные стороны.

  •   — боковые стороны,
  •   — основание.

Свойства равнобедренного треугольника:

  • Углы при основании равнобедренного треугольника равны:  
  • Высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, совпадает с медианой и биссектрисой:   — высота, медиана и биссектриса.

Признаки равнобедренного треугольника:

  1. Если в некотором треугольнике два угла равны, то он – равнобедренный.
  2. Если в некотором треугольнике совпадают: а) высота и биссектриса или б) высота и медиана или в) медиана и биссектриса, проведённые к одной стороне, то такой треугольник – равнобедренный.

P.S. ПОСЛЕДНИЙ БЕСЦЕННЫЙ СОВЕТ 🙂

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.

Почему?

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

  1. Проблема в том, что этого может не хватить…
  2. Для чего?
  3. Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.
  4. Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это — не главное.

Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю…

Но, думай сам…

  • Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?
  • НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.
  • На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.
  • Тебе нужно будет решать задачи на время.  

И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.

  1. Это как в спорте — нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.  
  2. Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!
  3. Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.
  4. Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.
  5. Как? Есть два варианта:
  6. Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.
  7. Доступ ко всем скрытым задачам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

И в заключение…

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” — это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Удачи!

Источник: https://youclever.org/book/ravnobedrennyj-treugolnik-1

Высота равнобедренного треугольника

Равнобедренным треугольником называется такой треугольник, у которого две из трех сторон равны между собой. Равные стороны считаются боковыми сторонами а, а третья сторона в называется основанием равнобедренного треугольника.

Соответственно, в таком треугольнике можно провести три высоты, две из которых будут равны между собой, аналогично сторонам — это высоты, опущенные на боковую сторону треугольника а, а третья высота опускается на основание. Высота треугольника проводится из угла треугольника к противолежащей стороне под прямым углом. Большинство задач с высотой треугольника решаются через прямоугольные треугольники, которые она образует.

Рассмотрим каждый случай по отдельности.

Высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание, обладает рядом индивидуальных свойств, присущих только ей и не распространяющихся на другие высоты в таком треугольнике.

В частности, высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, совпадает с медианой и биссектрисой, проведенным к основанию, следовательно, она не только образует прямой угол с основанием, но и делит его на две равные части, как медиана, и аналогично делит угол пополам, как биссектриса.

В итоге, высота является своеобразной осью симметрии треугольника и разделяет его на два конгруэнтных прямоугольных треугольника. В таком треугольнике высота является катетом, и чтобы найти ее длину необходимо соотнести стороны равнобедренного треугольника со сторонами прямоугольного.

Боковая сторона равнобедренного треугольника становится гипотенузой, а чтобы определить второй катет, основание равнобедренного треугольника нужно разделить пополам, по свойству медианы.

Длина высоты равнобедренного треугольника равна по теореме Пифагора квадратному корню из суммы квадрата боковой стороны равнобедренного треугольника и четверти квадрата основания равнобедренного треугольника:

Как найти боковую сторону равнобедренного треугольника

Второй случай, когда условиями задачи нужно найти высоту, опущенную на боковую сторону равнобедренного треугольника, раскрывается проще всего через площадь треугольника.

Площадь любого треугольника можно найти несколькими способами — например, через три стороны треугольника по формуле Герона, или через высоту, умножив ее на половину стороны, на которую она опущена.

И тем, и другим способом получаются одинаковые значения площади, следовательно обе эти формулы можно друг к другу приравнять и отсюда вывести окончательную формулу высоты, опущенную на боковую сторону равнобедренного треугольника.

Формула Герона для равнобедренного треугольника будет иметь несколько упрощенный вид за счет того, что значения боковых сторон повторяются:

Как найти боковую сторону равнобедренного треугольника

Площадь равнобедренного треугольника через высоту, опущенную к боковой стороне

Как найти боковую сторону равнобедренного треугольника

  • Эту же формулу можно применять для нахождения любой высоты в равнобедренном треугольнике, если поменять в формуле соответствующие стороны местами.
  • Формула высоты равнобедренного треугольника через боковую сторону и угол при основании α: h=a sin⁡α
  • Формула через боковую сторону и угол напротив основания β:

  • Формула через основание и угол при нем α:

  • через основание и угол противолежащий ему β:

Вам помог этот калькулятор?

Предложения и пожелания пишите на allcalc.ru@gmail.com

  1. Поделитесь этим калькулятором на форуме или в сети!
  2. Это помогает делать новые калькуляторы.
  3. НЕТ

Источник: https://allcalc.ru/node/994

Как найти боковую сторону равнобедренного треугольника зная основание | Помощь школьнику

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется путем удвоения сумм площадей трех сторон этого параллелепипеда, формула нахождения площади выглядит таким образом: S= 2(Sa+Sb+Sc)= 2(ab+ bc+ ac), для решения подставляем известные значения в формулу и.

Как найти боковую сторону равнобедренного треугольника

Инструкция от Людмила, добавлена 12 февраля 2012 | нет комментариев

Равнобедренный треугольник является таким, у которого между собой равны две стороны, а третья считается основанием. Чтобы определить размер боковой стороны, необходимо знать радиус окружности, описанной вокруг него, или один из углов и длину другой стороны.

В зависимости от того, какая величина известна, необходимо использовать соответствующие формулы, которые, в свою очередь, вытекают из Теоремы косинуса или Синуса, или из теоремы о проекциях.

Если Вы не знаете, как найти боковую сторону равнобедренного треугольника, прочитайте перечисленные ниже способы ее нахождения.

Необходимо:

Инструкция:

    Допустим, что наш треугольник имеет основание b и угол α, который лежит между боковой стороной a и основанием. Предположим, что вокруг него описана окружность с R радиусом. В этом случае длина боковой стороны будет рассчитана таким образом: a=2R*sinα. Иными словами, она будет равна произведению синуса угла у основания на два радиуса описанной окружности вокруг треугольной фигуры. Если Вы знаете длину основания b и угол α между боковой стороной и ним, то Вы сможете легко узнать длину a – боковой стороны, воспользовавшись формулой: a=b/2cosα. Иными словами, длина боковой стороны равнобедренного треугольника будет равна частному основания на удвоенный синус угла α. Зная площадь и формулы для ее нахождения (S=(a*b/2)*(sinα/2) или S=(a*b/2)*(cosβ/2)), можно выразить длину a – боковой стороны: a=(2S/(sinα/2))*b или a=(2S/(cosβ/2))*b. Иными словами, длина будет равна произведению основания на отношение двух площадей на 1/2 синуса угла между основанием и боковой стороной или 1/2 косинуса угла между боковыми сторонами. Если известен периметр P и основание b, то, чтобы найти боковую сторону а, можно воспользоваться формулой a=(P-b)/2. Иными словами, она будет равна 1/2 разности периметра и основания. Если дана высота h равнобедренного треугольника, проведенная к основанию b, которое Вам известно, то боковую сторону а можно найти по Тереме Пифагора: a=(h^2+b^2/4)^1/2. Иными словами, Вам необходимо будет найти квадратный корень. Если даны углы α при основании, угол β при вершине и основание b, боковую сторону можно найти из теоремы синусов: a=b*sinα/sinβ.

Сферические фигуры окружают нас практически везде, однако, мы настолько к ним привыкли, что не придаем этому.

Квадрат — это геометрическая фигура, представляющая собой четырехугольник все углы и стороны которого.

Тангенс — это одна из тригонометрических функций. Изначально тригонометрические функции выражают.

Трапецией называется геометрическая фигура, которая является четырехугольником, в котором две стороны.

Решение задач по математике 5 класс

Биквадратное уравнение

Периметр прямоугольника

Средняя квадратичная скорость

Радиус описанной окружности

Итак, решение купить собаку принято, осталось только определить, как именно это лучше воплотить.

Все майки тут http://mayki-na-dom. vsemaykishop. ru/ всемайки ру в новосибирске заказ с всемайки отзывы о.

Просьба придумать подпись на фамилия Кулешов.

Как найти боковую сторону равнобедренного треугольника зная основание

Как найти основание равнобедренного треугольника?

Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого 2 стороны равны. Равные стороны — это рёбра, а 3 сторона — основание.

  • Если известно, чему равна боковая сторона, а также высота, опущенная на основание.
  • Как известно, высота перпендикулярна основанию, а в случае с равнобедренным треугольником она разбивает его на 2 равных прямоугольных треугольника.
  • Можно по теореме Пифагора найти половину основания, а затем это значение умножить на 2.
  • Если известно, чему равна боковая сторона и один из углов.
  • Нужно воспользоваться теоремой синусов:
  • A/sinα = b/sinβ = c/sinγ.
  • Так как в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то легко можно найти 2 оставшихся угла, исходя из того, что сумма 3 углов равна 180 градусов.

Для того, чтобы найти основание равнобедренного треугольника? нам необходимо знать или один из углов, или же высоту треугольника, которая проводится к его основанию. Основание можно вычислить по следующей, вполне легкой формуле:

  1. B — длина основания треугольника;
  2. A — длина стороны треугольника;
  3. B — это угол, который противоположен основанию.
  4. Что бы найти основание равнобедренного треугольника я делаю так — сумму сторон делю на три, потом умножаю на два и из суммы всех сторон вычисляю сумму боковых сторон.

Как найти боковую сторону равнобедренного треугольника зная основание

Как найти боковую сторону равнобедренного треугольника

Инструкция от Людмила, добавлена 12 февраля 2012 | нет комментариев

Равнобедренный треугольник является таким, у которого между собой равны две стороны, а третья считается основанием. Чтобы определить размер боковой стороны, необходимо знать радиус окружности, описанной вокруг него, или один из углов и длину другой стороны.

В зависимости от того, какая величина известна, необходимо использовать соответствующие формулы, которые, в свою очередь, вытекают из Теоремы косинуса или Синуса, или из теоремы о проекциях.

Если Вы не знаете, как найти боковую сторону равнобедренного треугольника, прочитайте перечисленные ниже способы ее нахождения.

Необходимо:

Инструкция:

    Допустим, что наш треугольник имеет основание b и угол α, который лежит между боковой стороной a и основанием. Предположим, что вокруг него описана окружность с R радиусом. В этом случае длина боковой стороны будет рассчитана таким образом: a=2R*sinα. Иными словами, она будет равна произведению синуса угла у основания на два радиуса описанной окружности вокруг треугольной фигуры. Если Вы знаете длину основания b и угол α между боковой стороной и ним, то Вы сможете легко узнать длину a – боковой стороны, воспользовавшись формулой: a=b/2cosα. Иными словами, длина боковой стороны равнобедренного треугольника будет равна частному основания на удвоенный синус угла α. Зная площадь и формулы для ее нахождения (S=(a*b/2)*(sinα/2) или S=(a*b/2)*(cosβ/2)), можно выразить длину a – боковой стороны: a=(2S/(sinα/2))*b или a=(2S/(cosβ/2))*b. Иными словами, длина будет равна произведению основания на отношение двух площадей на 1/2 синуса угла между основанием и боковой стороной или 1/2 косинуса угла между боковыми сторонами. Если известен периметр P и основание b, то, чтобы найти боковую сторону а, можно воспользоваться формулой a=(P-b)/2. Иными словами, она будет равна 1/2 разности периметра и основания. Если дана высота h равнобедренного треугольника, проведенная к основанию b, которое Вам известно, то боковую сторону а можно найти по Тереме Пифагора: a=(h^2+b^2/4)^1/2. Иными словами, Вам необходимо будет найти квадратный корень. Если даны углы α при основании, угол β при вершине и основание b, боковую сторону можно найти из теоремы синусов: a=b*sinα/sinβ.

Сферические фигуры окружают нас практически везде, однако, мы настолько к ним привыкли, что не придаем этому.

Квадрат — это геометрическая фигура, представляющая собой четырехугольник все углы и стороны которого.

Тангенс — это одна из тригонометрических функций. Изначально тригонометрические функции выражают.

Трапецией называется геометрическая фигура, которая является четырехугольником, в котором две стороны.

Решение задач по математике 5 класс

Биквадратное уравнение

Периметр прямоугольника

Средняя квадратичная скорость

Радиус описанной окружности

Итак, решение купить собаку принято, осталось только определить, как именно это лучше воплотить.

Все майки тут http://mayki-na-dom. vsemaykishop. ru/ всемайки ру в новосибирске заказ с всемайки отзывы о.

Просьба придумать подпись на фамилия Кулешов.

Как найти боковую сторону равнобедренного треугольника

Источник: https://poiskvstavropole.ru/2018/01/15/kak-najti-bokovuyu-storonu-ravnobedrennogo-treugolnika-znaya-osnovanie/

Стороны равнобедренного треугольника

Равнобедренный треугольник имеет две равные по значению боковые стороны a и основание b. Это позволяет рассчитать любые параметры треугольника, необходимые для решения задачи. Периметр равнобедренного треугольника равен удвоенной боковой стороне в сумме с основанием. (рис.88.1)
P=2a+b

Высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, делит его на два конгруэнтных прямоугольных треугольника, с половиной основания в качестве второго катета и боковой стороной как гипотенузой. Такая высота одновременно является и медианой и биссектрисой. Найти ее можно по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника. (рис.88.2)
h_b=m_b=l_b=√(a^2-(b/2)^2 )=√(4a^2-b^2 )/2

Остальные две высоты равны друг другу и считаются через формулу с произведением разностей полупериметров и сторон, где приравнены боковые стороны. (рис.88.8)
h_a=(b√((4a^2-b^2)))/2a

  • Зная высоту, найти площадь равнобедренного треугольника можно, подставив полученное выражение в формулу, по которой площадь равна половине основания, умноженной на его высоту.
    S=hb/2=(b√(4a^2-b^2 ))/4
  • Углы в равнобедренном треугольнике распределяются следующим образом – углы при основании друг другу конгруэнтны, также как и боковые стороны, а в сумме все три угла дают 180 градусов, поэтому найти их можно двумя видами разности.
    α=(180°-β)/2
    β=180°-2α
  • Если ни один из углов не дан, но есть все стороны, то можно воспользоваться теоремой косинусов, чтобы найти любой угол.
    cos⁡α=(b^2+c^2-a^2)/2bc=(b^2+a^2-a^2)/2ba=b^2/2ba=b/2a
    cos⁡β=(a^2+a^2-b^2)/(2a^2 )=(2a^2-b^2)/(2a^2 )

Медиана и биссектриса, опущенные на основание, вычисляются по формуле высоты, приведенной выше, а оставшиеся две медианы (равно как и две биссектрисы) равны друг другу, поскольку строятся на равных боковых сторонах. Вычислить медиану можно, упростив формулу произвольного треугольника. (рис. 88.3)
m_a=√(2a^2+2b^2-a^2 )/2=√(a^2+2b^2 )/2

В формуле биссектрисы аналогично приравниваются боковые стороны, и ее становится возможным вычислить по упрощенной схеме. (рис. 88.4)
l_a=√(ab(2a+b)(a+b-a) )/(a+b)=(b√(a(2a+b) ))/(a+b)

Средняя линия равнобедренного треугольника, параллельная основанию, равна его половине, а средние линии, параллельные боковым сторонам, равны между собой и также равны половинам самих боковых сторон. (рис. 88.5)
M_b=b/2
M_a=a/2

Радиус окружности, вписанной в равнобедренной треугольник, является производной формулы для произвольного треугольника, и рассчитать его можно, зная боковую сторону и основание. (рис. 88.6)
r=b/2 √((2a-b)/(2a+b))

Радиус окружности, описанной вокруг равнобедренного треугольника, также выводится из общей формулы и выглядит упрощенно следующим образом. (рис. 88.7)
R=a^2/√(4a^2-b^2 )

Источник: https://geleot.ru/education/math/geometry/calc/triangle/isosceles_triangle_sides

Площадь равнобедренного треугольника

В данном уроке размещены формулы и задачи на нахождение площади равнобедренного треугольника. Формулы снабжены пояснениями и комментариями. На отдельном рисунке приведено соответствие условных обозначений формул и элементов равнобедренного треугольника. Далее приведен раздел с примерами решения задач.

  • Свойства равнобедренного треугольника
  • Площадь произвольного треугольника. 

Буквенные обозначения сторон и углов на приведенном рисунке соответствуют обозначениям, которые указаны в формулах. Таким образом, это поможет Вам сопоставить их с элементами равнобедренного треугольника. Из условия задачи определите, какие элементы известны, найдите на чертеже их обозначения и подберите подходящую формулу.

Далее приведены формулы нахождения площади равнобедренного треугольника: через стороны, боковую сторону и угол между ними, через боковую сторону, основание и угол при вершине, через сторону основания и угол при основании и т.д. Просто найдите наиболее подходящую на рисунке слева. Для самых любопытных в тексте справа поясняется, почему формула явяляется правильной и как именно с ее помощью находится площадь.      

  1. Площадь равнобедренного треугольника можно найти, зная его сторону и основание. Данное выражение было получено путем упрощения более общей, универсальной формулы. Если за основу взять формулу Герона, а затем принять во внимание, что две стороны треугольника равны меду собой, то выражение упрощается до формулы, представленной на картинке. Пример использования такой формулы приведен на примере решения задачи ниже.
  2. Вторая формула позволяет найти его площадь через боковые стороны и угол между ними — это половина квадрата боковой стороны, умноженная на синус угла между боковыми сторонами Если мысленно опустить высоту на боковую сторону равнобедренного треугольника, заметим, что ее длина будет равна a * sin β. Поскольку длина боковой стороны нам известна, высота, опущенная на нее теперь известна, половина их произведения и будет равна площади данного равнобедренного треугольника (Пояснение: полное произведение дает площадь прямоугольника, что очевидно. Высота делит этот прямоугольник на два малых прямоугольника, при этом стороны треугольника являются их диагоналями, которые делят их ровно пополам. Таким образом, площадь равнобедренного треугольника и будет равна половине произведения боковой стороны на высоту). См. также Формулу 5
  3. Третья формула показывает нахождение площади через боковую сторону, основание и угол при вершине.  Строго говоря, зная один из углов равнобедренного треугольника, можно найти и остальные, поэтому применение данной или предыдущей формулы — вопрос вкуса (кстати, поэтому можно запомнить только одну из них).

    У третьей формулы также есть еще одна интересная особенность — произведение a sin α  даст нам длину высоты, опущенной на основание. В результате мы получим простую и очевидную формулу 5.

  4. Площадь равнобедренного треугольника можно также найти через сторону основания и угол при основании (углы при основании равны) как квадрат основания, деленный на четыре тангенса половины угла, образованного его боковыми сторонами. Если присмотреться внимательнее, то станет очевидно, что половина основания (b/2) умноженная на tg(β/2) даст нам высоту треугольника. Поскольку высота в равнобедренном треугольнике является, одновременно, биссектрисой и медианой, то tg(β/2) — это отношение половины основания (b/2) к высоте — tg(β/2) = (b/2)/h.  Откуда h = b / (2 tg(β/2) ). В итоге формула снова будет сведена к более простой Формуле 5, которая вполне очевидна.
  5. Разумеется, площадь равнобедренного треугольника можно найти, опустив высоту из вершины на основание, в результате чего получится два прямоугольных треугольника. Далее — все очевидно. Половина произведения высоты на основание и есть искомая площадь. Пример использования данной формуле см. в задаче ниже (2-й способ решения)
  6. Эта формула получается, если попытаться найти площадь равнобедренного треугольника с помощью теоремы Пифагора. Для этого выразим высоту из предыдущей формулы, которая одновременно, является катетом прямоугольного треугольника, образованного боковой стороной, половиной его основания и высотой, через теорему Пифагора. Боковая сторона является гипотенузой, поэтому из квадрата боковой стороны (а) вычтем квадрат второго катета. Поскольку он равен половине основания (b/2) то его квадрат будет равен b2/4. Извлечение корня из данного выражения и даст нам высоту. Что и видно в Формуле 6. Если числитель и знаменатель умножить на два, а потом двойку числителя внести под знак корня, получим второй вариант той же самой формулы, который написан через знак «равно». Кстати, самые сообразительные могут увидеть, что если в Формуле 1 раскрыть скобки, то она превратиться в Формулу 6. Или наоборот, разность квадратов двух чисел, разложенная на множители, даст нам исходную, первую.
  • Обозначения, которые были применены в формулах на рисунке:
  • a — длина одной из двух равных сторон треугольника 
  • b — длина основания 
  • α — величина одного из двух равных углов при основании 
  • β — величина угла между равными сторонами треугольника и противолежащего его основанию
  • h — длина высоты, опущенная из вершины равнобедренного треугольника на основание

Важно. Обратите внимание на обозначения переменных! Не перепутайте α и β, а также a и b!

См. также: другие формулы и свойства равнобедренного треугольника

Примечание. Это часть урока с задачами по геометрии (раздел площадь равнобедренного треугольника). Здесь размещены задачи, которые вызывают трудности при решении.

Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет — пишите об этом в форуме.

Для обозначения действия извлечения квадратного корня в решениях задач используется символ √  или sqrt(), при чем в скобках указано подкоренное выражение

Задача

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 13 см, а основание равно 10 см. Найдите площадь равнобедренного треугольника. Решение.

1-й способ. Применим формулу Герона. Поскольку треугольник равнобедренный, то она примет более простой вид (см. формулу 1 в списке формул выше):

где а — длина боковых сторон, а b — длина основания. Подставив значения длин сторон треугольника из условия задачи, получим:

S = 1/2 * 10 * √ ((13 + 5 )( 13 — 5 )) = 5 √ (18 * 8) = 60 см2

2-й способ. Применим теорему Пифагора

Предположим, что мы не помним формулу, использованную в первом способе решения. Поэтому опустим из вершины B на основание AC высоту BK. Поскольку высота равнобедренного треугольника делит его основание пополам, то длина половины основания будет равна AK = AC / 2 = 10 / 2 = 5 см .

Высота с половиной основания и стороной равнобедренного треугольника образует прямоугольный треугольник ABK. В этом треугольнике нам известна гипотенуза AB и катет AK. Выразим длину второго катета через теорему Пифагора.

Соответственно, высота будет равна:

h = √ ( 132 — 52 ) = √144 = 12 см

Площадь исходного равнобедренного треугольника ABC будет равна площади двух прямоугольных треугольников ABK и CBK, образованных боковыми сторонами, высотой и половинами основания равнобедренного треугольника. Оба прямоугольных треугольника равны между собой.

Гипотенузы — это стороны равнобедренного треугольника, поэтому они равны, один из катетов — общий, а, поскольку, BK одновременно является и биссектрисой и высотой, то, соответствующие углы также равны.

Поэтому нам будет достаточно найти площадь одного из них и умножить полученное число на два.

Применив формулу площади прямоугольного треугольника, получим: S = AK * BK / 2

S = 5 * 12 / 2 = 30 см2

Поскольку в составе треугольника ABC два равных прямоугольных треугольника ABK и CBK, то общая площадь равнобедренного треугольника ABC составит: 

Как видно, оба способа решения дают один и тот же результат.    

Ответ: Площадь равнобедренного треугольника составляет 60 см2 .

Источник: https://profmeter.com.ua/communication/learning/course/course7/lesson221/

Ссылка на основную публикацию