Как решать уравнение третьей степени

Справочник по математике Алгебра Кубические уравнения

Как решать уравнение третьей степени

      Целью данного раздела является вывод формулы Кардано для решения уравнений третьей степени (кубических уравнений)

a0x3 + a1x2 ++ a2x + a3= 0, (1)

где a0, a1, a2, a3 – произвольные вещественные числа,

      Вывод формулы Кардано состоит из двух этапов.

      На первом этапе кубические уравнения вида (1) приводятся к кубическим уравнениям, у которых отсутствует член со второй степенью неизвестного. Такие кубические уравнения называют трёхчленными кубическими уравнениями.

      На втором этапе трёхчленные кубические уравнения решаются при помощи сведения их к квадратным уравнениям.

Приведение кубических уравнений к трехчленному виду

      Разделим уравнение (1) на старший коэффициент a0 . Тогда оно примет вид

x3 + ax2 + bx + c = 0, (2)

где a, b, c – произвольные вещественные числа.

      Заменим в уравнении (2) переменную x на новую переменную y по формуле:

(3)

      Тогда, поскольку

Как решать уравнение третьей степениКак решать уравнение третьей степени

то уравнение (2) примет вид

В результате уравнение (2) примет вид

Как решать уравнение третьей степениКак решать уравнение третьей степени (4)

      Если ввести обозначения

Как решать уравнение третьей степениКак решать уравнение третьей степени

  • то уравнение (4) примет вид
  • где p, q – вещественные числа.
  •       Уравнения вида (5) и являются трёхчленными кубическими уравнениями, у которых отсутствует член со второй степенью неизвестного.
  •       Первый этап вывода формулы Кардано завершён.

Сведение трёхчленных кубических уравнений к квадратным уравнениям при помощи метода Никколо Тартальи

      Следуя методу, примененому Никколо Тартальей (1499-1557) для решения трехчленных кубических уравнений, будем искать решение уравнения (5) в виде

Как решать уравнение третьей степени (6)

где   t   – новая переменная.

      Поскольку

то выполнено равенство:

      Следовательно, уравнение (5) переписывается в виде

(7)

      Если теперь уравнение (7) умножить на   t,   то мы получим квадратное уравнение относительно   t :

(8)

Формула Кардано

      Решение уравнения (8) имеет вид:

      В соответствии с (6), отсюда вытекает, что уравнение (5) имеет два решения:

(9)

      В развернутой форме эти решения записываются так:

(10)
(11)

      Покажем, что, несмотря на кажущиеся различия, решения (10) и (11) совпадают.

      Действительно,

      С другой стороны,

  1.       Таким образом,
  2. и для решения уравнения (5) мы получили формулу
(12)

которая и называется «Формула Кардано».

      Замечание. Поскольку у каждого комплексного числа, отличного от нуля, существуют три различных кубических корня, то, для того, чтобы избежать ошибок при решении кубических уравнений в области комплексных чисел, рекомендуется использовать формулу Кардано в виде (10) или (11).

Пример решения кубического уравнения

      Пример. Решить уравнение

x3 – 6×2 – 6x – 2 = 0. (13)

      Решение. Сначала приведем уравнение (13) к трехчленному виду. Для этого в соответствии с формулой (3) сделаем в уравнении (13) замену

  •       Тогда получим
  • x3 – 6×2 – 6x – 2 == (y + 2)3– 6(y + 2)2 –– 6(y + 2) – 2 == y3 + 6y2 + 12y + 8 – 6y2 –– 24y – 24 – 6y – 12 – 2 == y3 – 18y – 30.
  •       Следовательно, уравнение (13) принимает вид
  •       Теперь в соответствии с формулой (6) сделаем в уравнении (15) еще одну замену
(16)

      Тогда поскольку

то уравнение (15) примет вид

(17)

      Далее из (17) получаем:

      Отсюда по формуле (16) получаем:

(18)
  1.       Заметим, что такое же, как и в формуле (18), значение получилось бы, если бы мы использовали формулу
  2. или использовали формулу
  3.       Далее из равенства (18) в соответствии с (14) получаем:
  4.       Таким образом, мы нашли у уравнения (13) вещественный корень

      Замечание 1. У уравнения (13) других вещественных корней нет.

      Замечание 2. Поскольку произвольное кубическое уравнение в комплексной области имеет 3 корня с учетом кратностей, то до полного решения уравнения (13) остается найти еще 2 корня.

Эти корни можно найти разными способами, в частности, применив вариант формулы Кардано для области комплексных чисел.

Однако применение такого варианта формулы Кардано значительно выходит за рамки курса математики даже специализированных математических школ.

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».Запись по телефону (495) 509-28-10

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

подготовительные курсы для школьников 8, 9, 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

индивидуальные занятия с репетиторами по математике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

Источник: https://www.resolventa.ru/spr/algebra/cardano.htm

Решение кубических уравнений, формулы и примеры

Как решать уравнение третьей степени Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Как решать уравнение третьей степени Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?! Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Как решать уравнение третьей степени

Пусть задано кубическое уравнение

    Как решать уравнение третьей степени

Если коэффициенты — целые числа, то целые корни уравнения (1) ищутся среди делителей свободного коэффициента . Когда один из корней найден, то многочлен, стоящий в левой части уравнения (1), необходимо поделить на двучлен . Это можно сделать делением многочлена на многочлен столбиком.

Деление многочленов в столбик — это алгоритм деления многочлена на многочлен , степень которого не превышает степени . Алгоритм представляет собою аналог формы деления чисел столбиком.

  • Для произвольных многочленов и существуют единственные такие многочлены и (причем степень полинома меньше за степени многочлена ), что
  •     Как решать уравнение третьей степени
  • или
  •     Как решать уравнение третьей степени
  • Деление проводится до тех пор, пока степень остатка будет меньшей степени делителя .

Примеры решения задач

Еще один способ решения кубических уравнений покажем на следующем примере.

Источник: http://ru.solverbook.com/spravochnik/reshenie-uravnenij/reshenie-kubicheskix-uravnenij/

Как решать уравнение третьей степени

Инструкция

Кубическое уравнение в общем виде выглядит так: ax³ + bx² + cx + d = 0, a не равно 0; a, b, c, d – вещественные числа. Универсальным методом решения уравнения третьей степени является метод Кардано. Для начала приводим уравнение к виду y³ + py + q = 0. Для этого производим замену переменной x на y – b/3a. Подстановку замены смотрите на рисунке. Для раскрытия скобок используются две формулы сокращенного умножения: (a-b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³ и (a-b)² = a² – 2ab + b². Затем приводим подобные слагаемые и группируем по степеням переменной y. Как решать уравнение третьей степени

Теперь, чтобы получить при y³ единичный коэффициент, делим все уравнение на a. Тогда получим следующие формулы для коэффициентов p и q в уравнении y³ + py + q = 0.

Как решать уравнение третьей степени

Затем вычисляем специальные величины: Q, α, β, которые позволят вычислить корни уравнения с y.

Как решать уравнение третьей степени

Тогда три корня уравнения y³ + py + q = 0 вычисляются по формулам на рисунке.

Как решать уравнение третьей степени Если Q > 0, то уравнение y³ + py + q = 0 имеет только один вещественный корень y1 = α + β (и два комплексных, вычислите их по соответствующим формулам, если необходимо).Если Q = 0, то все корни вещественны и по крайней мере два из них совпадают, при этом α = β и корни равны: y1 = 2α, y2 = y3 = -α.Если Q < 0, то корни вещественны, но необходимо умение извлекать корень из отрицательного числа.

После нахождения y1, y2 и y3 подставьте их в замену x = y – b/3a и найдите корни первоначального уравнения.

Полезный совет

Если удается подобрать один из корней кубического уравнения x1, то можно кубический многочлен разделить на (x – x1) и решать получившееся квадратное уравнение.

Источники:

  • Метод решения кубического уравнения
  • уравнение 3 степени

Источник: https://www.kakprosto.ru/kak-16920-kak-reshat-uravnenie-tretey-stepeni

Решение кубических уравнений

Кубическое уравнение, содержащее коэффициенты с действительным корнем, остальные два считаются комплексно-сопряженной парой. Будут рассмотрены уравнения с двучленами и возвратные,  а также с поиском рациональных корней. Вся информация будет подкреплена примерами.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Кубическое уравнение, содержащее двучлен, имеет вид Ax3+B=0 . Его необходимо приводить к x3+BA=0   с помощью деления на А, отличного от нуля. После чего можно применять формулу сокращенного умножения суммы кубов. Получаем, что

x3+BA=0x+BA3x2-BA3x+BA23=0

Результат первой скобки примет вид x=-BA3, а квадратный трехчлен – x2-BA3x+BA23, причем только с комплексными корнями.

Читайте также:  Меняем цвет глаз: как работать в фотошопе

Пример 1

  • Найти корни кубического уравнения 2×3-3=0.
  • Решение
  • Необходимо найти х из уравнения. Запишем:
  • 2×3-3=0x3-32=0
  • Необходимо применить формулу сокращенного умножения. Тогда получим, что
  • x3-32=0x-3326×2+3326x+923=0

Раскроем первую скобку и получим x=3326. Вторая скобка не имеет действительных корней, потому как дискриминант меньше нуля.

Ответ: x=3326.

Решение возвратного кубического уравнения вида Ax3+Bx2+Bx+A=0

Вид квадратного уравнения – Ax3+Bx2+Bx+A=0, где значения А и В являются коэффициентами. Необходимо произвести группировку. Получим, что

Ax3+Bx2+Bx+A=Ax3+1+Bx2+x==Ax+1×2-x+1+Bxx+1=x+1Ax2+xB-A+A

Корень уравнения равен х=-1, тогда для получения корней квадратного трехчлена Ax2+xB-A+A необходимо задействовать через нахождение дискриминанта.

Пример 2

Решить уравнение вида 5×3-8×2-8x+5=0.

Решение

Уравнение является возвратным. Необходимо произвести группировку. Получим, что

  1. 5×3-8×2-8x+5=5×3+1-8×2+x==5x+1×2-x+1-8xx+1=x+15×2-5x+5-8x==x+15×2-13x+5=0
  2. Если х=-1 является корнем уравнения, тогда необходимо найти корни заданного трехчлена 5×2-13x+5:
  3. 5×2-13x+5=0D=(-13)2-4·5·5=69×1=13+692·5=1310+6910×2=13-692·5=1310-6910
  4. Ответ:
  5. x1=1310+6910×2=1310-6910×3=-1

Решение кубических уравнений с рациональными корнями

Если х=0, то он является корнем уравнения вида Ax3+Bx2+Cx+D=0. При свободном члене D=0 уравнение принимает вид Ax3+Bx2+Cx=0. При вынесении х за скобки получим, что уравнение изменится. При решении через дискриминант или Виета оно примет вид xAx2+Bx+C=0.

Пример 3

  • Найти корни заданного уравнения 3×3+4×2+2x=0.
  • Решение
  • Упростим выражение.
  • 3×3+4×2+2x=0x3x2+4x+2=0

Х=0 – это корень уравнения. Следует найти корни квадратного трехчлена вида 3×2+4x+2. Для этого необходимо приравнять к нулю и продолжить решение при помощи дискриминанта. Получим, что

D=42-4·3·2=-8. Так как его значение отрицательное, то корней трехчлена нет.

Ответ: х=0.

Когда коэффициенты уравнения Ax3+Bx2+Cx+D=0 целые, то в ответе можно получить иррациональные корни. Если A≠1, тогда при умножении на A2 обеих частей уравнения проводится замена переменных, то есть у=Ах:

Ax3+Bx2+Cx+D=0A3·x3+B·A2·x2+C·A·A·x+D·A2=0y=A·x⇒y3+B·y2+C·A·y+D·A2

Приходим к виду кубического уравнения. Корни могут быть целыми или рациональными. Чтобы получить тождественное равенство, необходимо произвести подстановку делителей в полученное уравнение. Тогда полученный y1 будет являться корнем. Значит и корнем исходного уравнения вида x1=y1A. Необходимо произвести деление многочлена Ax3+Bx2+Cx+D на x-x1. Тогда сможем найти корни квадратного трехчлена.

Пример 4

  1. Найти корни заданного уравнения 2×3-11×2+12x+9=0.
  2. Решение
  3. Необходимо произвести преобразование с помощью умножения на 22 обеих частей, причем с заменой переменной типа у=2х. Получаем, что
  4. 2×3-11×2+12x+9=023×3-11·22×2+24·2x+36=0y=2x⇒y3-11y2+24y+36=0
  5. Свободный член равняется 36, тогда необходимо зафиксировать все его делители:
  6. ±1,±2,±3,±4,±6,±9,±12,±36
  7. Необходимо произвести подстановку y3-11y2+24y+36=0, чтобы получить тождество вида
  8. 13-11·12+24·1+36=50≠0(-1)3-11·(-1)2+24·(-1)+36=0

Отсюда видим, что у=-1 – это корень. Значит, x=y2=-12.

Далее следует деление 2×3-11×2+12x+9 на x+12 при помощи схемы Горнера:

xi
Коэффициенты многочлена
2 -11 12 9
-0.5 2 -11+2·(-0.5)=-12 12-12·(-0.5)=18 9+18·(-0.5)=0

Имеем, что

2×3-11×2+12x+9=x+122×2-12x+18==2x+12×2-6x+9

После чего необходимо найти корни квадратного уравнения вида x2-6x+9. Имеем, что уравнение следует привести к виду x2-6x+9=x-32, где х=3 будет его корнем.

Ответ: x1=-12, x2,3=3.

Замечание

Алгоритм можно применять для возвратных уравнений. Видно, что -1 – это его корень, значит, левая часть может быть поделена на х+1. Только тогда можно будет найти корни квадратного трехчлена. При отсутствии рациональных корней применяются другие способы решения для разложения многочлена на множители.

Решение кубических уравнений по формуле Кардано

Нахождение кубических корней возможно при помощи формулы Кардано. При A0x3+A1x2+A2x+A3=0 необходимо найти B1=A1A0, B2=A2A0, B3=A3A0.

  • После чего p=-B123+B2 и q=2B1327-B1B23+B3.
  • Полученные p и q в формулу Кардано. Получим, что
  • y=-q2+q24+p3273+-q2-q24+p3273

Подбор кубических корней должен удовлетворять на выходе значению -p3. Тогда корни исходного уравнения x=y-B13. Рассмотрим решение предыдущего примера, используя формулу Кардано.

Пример 5

  1. Найти корни заданного уравнения 2×3-11×2+12x+9=0.
  2. Решение
  3. Видно, что A0=2, A1=-11, A2=12, A3=9.
  4. Необходимо найти B1=A1A0=-112, B2=A2A0=122=6, B3=A3A0=92.
  5. Отсюда следует, что
  6. p=-B123+B2=–11223+6=-12112+6=-4912q=2B1327-B1B23+B3=2·-112327–112·63+92=343108
  7. Производим подстановку в формулу Кордано и получим
  8. y=-q2+q24+p3273+-q2–q24+p3273==-343216+34324·1082-49327·1233+-343216-34324·1082-49327·1233==-3432163+-3432163

-3432163  имеет три значения. Рассмотрим их ниже.

  • -3432163=76cosπ+2π·k3+i·sinπ+2π·k3, k=0, 1, 2
  • Если k=0, тогда -3432163=76cosπ3+i·sinπ3=7612+i·32
  • Если k=1, тогда -3432163=76cosπ+i·sinπ=-76
  • Если k=2, тогда -3432163=76cos5π3+i·sin5π3=7612-i·32
  • Необходимо произвести разбиение по парам, тогда получим -p3=4936.
  • Тогда получим пары: 7612+i·32  и 7612-i·32, -76 и -76, 7612-i·32 и 7612+i·32.
  • Преобразуем при помощи формулы Кордано:
  • y1=-3432163+-3432163==7612+i·32+7612-i·32=7614+34=76y2=-3432163+-3432163=-76+-76=-146y3=-3432163+-3432163==7612-i·32+7612+i·32=7614+34=76
  • Значит,
  • x1=y1-B13=76+116=3×2=y2-B13=-146+116=-12×3=y3-B13=76+116=3
  • Ответ: x1=-12,  x2,3=3

При решении кубических уравнений можно встретить сведение к решению уравнений 4 степени методом Феррари.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/systems/reshenie-kubicheskih-uravnenij/

Решения кубических уравнений с вещественными коэффициентами. Универсальные методы. Дискриминант кубического уравнения. Формула Виета для кубического уравнения

Кубическим уравнением называется уравнение вида

  • ax3 + bx2 + cx +d = 0 , (1)
  • где a, b,c ,d – постоянные коэффициенты, а х – переменная.

Мы рассмотрим случай, когда коэффициенты являются веществеными числами.

Корни кубического уравнения. Нахождение корней (решение) кубического уравнения.

Число х называется корнем кубического уравнения (1), если при его подстановке уравнение (1) обращается в верное равенство.

Кубическое уравнение имеет не более трех корней (над комплексным полем всегда три корня, с учетом кратности) . И всегда имеет хотя бы 1 (вещественный) корень. Все возможные случаи состава корней легко определить с помощью знака дискриминанта кубического уравнения, т.е.:

Δ= -4b3d + b2c2 – 4ac3 + 18abcd – 27a2d2  (Да, это дискриминант кубического уравнения)

Итак, возможны только 3 следующих случая:

  • Δ > 0 – тогда уравнение имеет 3 различных корня. (Для продвинутых – три различных вещественных корня)
  • Δ < 0 - уравнение имеет лишь 1 корень. (1 вещественный и пару комплексно сопряженных корней)
  • Δ = 0 – хотя бы 2 корня уравнения совпадают. Т.е. мы имеем дело либо с уравнением с 2умя совпадающими корнями, и еще 1ним отличным от них, либо с уравнением с 3емя совпадающими корнями. (В любом случае все корни вещественные. И уравнение имеет 3 совпадающих корня, тогда и только тогда, когда результант его и его второй производной равен нулю)

На практике часто , решение кубических уравнений упирается в разложении их на множители. Т.е. алгоритм приблизительно следующий: угадываем один корень, пусть это будет корень α. Затем делим многочлен на (х- α), (если α корень, то он должен поделиться без остатка).

Ну а дальше мы имеем дело с обычным квадратным уравнением. Но угадать можно только рациональный корень, и то, если коэффициенты подобраны удачным образом, так что этот корень просто угадывается. Мы же рассмотрим универсальные методы решения кубичесих уравнений.

Формула Кардано решения кубических уравнений (нахождения корней)

Это формула для нахождения корней канонической формы кубического уравнения. (Над полем комлексных чисел).

Канонической формой кубического уравнения называется уравнение вида

y3 + py + q = 0 (2)

К такому виду можно привести любое кубическое уравнение вида (1) с помощью следующей замены:

  • x= y – b/3a (3)
  • p= – b2/3a2 + c/a
  • q= 2b3/27a3 – bc/3a2 + d/a

Итак, приступим к вычислению корней. Найдем следующие величины:

  • Q=(p/3)3 + (q/2)2
  • α = (-q/2 + Q1/2)1/3
  • β = (-q/2 – Q1/2)1/3

Дискриминант уравнения (2) в этом случае равен

Δ = – 108Q

Дискриминант исходного уравнения (1) будет иметь тот же знак , что и вышеуказанный дискриминант. Корни уравнения (2) выражаются следующим образом:

  • y1= α + β
  • y2= – (α + β)/2 + (31/2(α – β)/2)i
  • y3 =- (α + β)/2 – (31/2(α – β)/2)i

Соответственно, если Q>0, то уравнения (2) и (1) будут иметь лишь 1 (вещественный) корень, y1. Подставим его в (3) и найдем х для уравнения (1). (если вас интересуют также мнимые корни, то просто вычислите еще и y2, y3 и подставьте их в (3).

Если Q0, то вычисляем

φ=(arccos(R/Q3/2))/3

И наше уравнение имеет 3 корня (вещественных):

  • x1= – 2(Q)1/2cos(φ) – a/3
  • x2= – 2(Q)1/2cos(φ+2π/3) – a/3
  • x3= – 2(Q)1/2cos(φ-2π/3) – a/3

б) Если S

Источник: https://dpva.ru/Guide/GuideMathematics/Equations/cubeEquationsUniversalMethods/

VI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся Старт в науке

Ткаченко  Г.Р. 11МБОУ «Лицей № 9 имени К.Э. Циолковского» г. Калуги
Рылова  И.Г. 11МБОУ «Лицей № 9 имени К.Э. Циолковского» г. Калуги

Текст работы размещён без изображений и формул. Полная версия работы доступна во вкладке “Файлы работы” в формате PDF

ВВЕДЕНИЕ

П.Л. Чебышев, величайшийрусский математик и механик, основоположник петербургской математической школы, уроженец Калужской губернии, писал в статье «О втором томе «Истории» Полевого» о людях, способных угадать и схватить суть явлений:

«Ум человеческий, по простонародному выражению, не пророк, а угадчик, он видит общий ход вещей и может выводить из оного глубокие предположения, часто оправданные временем…».

В 1838 году, участвуя в студенческом конкурсе, П.Л. Чебышев получил серебряную медаль за работу по нахождению корнейуравнения n-ной степени. Оригинальная работа была закончена уже в 1838 году и сделана на основеалгоритма Ньютона.

Гипотеза: решение неполного уравнения третьей степени, корни которого не являются целыми, решается с помощью формулы П.Л. Чебышева рациональным способом.

  • Цель исследования: решить неполное уравнение третьей степени с помощью нескольких способов и определить наиболее рациональный из них.
  • Задачи исследования:
  • -ознакомиться с определением производной первого и второго порядка;
  • -научиться строить графики функций-многочленов третьей степени;

-применить к решению неполногоуравнения третьей степени формулу П.Л. Чебышева;

  1. -применить к решению неполногоуравнения третьей степени известные способы;
  2. -применить алгоритм уточнения корней многочлена, если известны грубо приближенно два значения его корня;
  3. -из полученных способов решения выбрать наиболее рациональный.
  4. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ
  5. Производная функции
  6. Предел функции в заданной точке, предельной для области определения функции – такая величина, к которой стремится значение рассматриваемой функции при стремлении ее аргумента к данной точке.
Читайте также:  Как растопить шоколад на водяной бане

Производная функции — понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции в данной точке. Определяется как предел отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).

Определение производной функции через предел.

Пусть в некоторой окрестности точки {displaystyle x_{0}in mathbb {R} } определена функция {displaystyle fcolon U(x_{0})subset mathbb {R} to mathbb {R} .} .Производной функции {displaystyle f} fв точке {displaystyle x_{0}}называется предел, если он существует,

Производная от первой производной называется производной второго порядка или второй производной.

Формула П.Л. Чебышева

  • Способы решения алгебраических уравнений высших степеней
  • Уравнения третьей (и выше) степеней могут быть решены способами:
  • -графическим, который становится тем сложнее, чем степень многочлена выше, так как график построить иногда труднее, чем найти соответствующие корни;

-оперативным, часто приближенный, но дающий возможность находить корни с большой точностью. Графический способ при оперативном способе является подсобным.

Теорема 1. Если имеется целый корень многочлена с целыми коэффициентами, когда при старшем члене коэффициент единица, то он является делителем свободного члена.

Теорема 2. Всякий многочлен нечетной степени на множестве действительных чисел имеет по крайней мере один действительный корень.

Номограммы

Номограмма (греч.νομοσ — закон) — графическое представление функции от нескольких переменных, позволяющее с помощью простых геометрических операций (например, прикладывания линейки) исследовать функциональные зависимости без вычислений. Например, решать квадратное уравнение без применения формул.

Номография (от греч. nómos — закон и …графия), раздел математики, объединяющий теорию и практические методы построения номограмм – специальных чертежей, являющихся изображениями функциональных зависимостей.

Особенность номограмм заключается в том, что каждый чертеж изображает заданную область изменения переменных и каждое из значений переменных в этой области изображено на номограмме определенным геометрическим элементом (точкой или линией); изображения значения переменных, связанных функциональной зависимостью, находятся на номограмме в определенном соответствии, общем для номограмм одного и того же типа.

Номограммы для решения уравнений. Для решения уравнений х α + рх ß + q = 0 используют номограммы из выравненных точек.

Получить такую номограмму можно так: Нарисуем две вертикальные параллельные прямые – ось р с началом отсчётаА и ось q с началом отсчёта В (Рис.

1); на этом рисунке отрезок АВ перпендикулярен осям p,q, но это вовсе необязательно).

Рис. 1

Возьмём произвольные числа α, ß и положительное число а. На оси р возьмём точку Сс координатой –а α-ß на оси р – точку D с координатой α . Пусть ADBC=E.

Проведём через Е произвольную прямую, не параллельную осям р, q. Обозначим координату пересечения М это прямой с осью р через р, пересечения N с осью q – через q.

Тогда аα + р α ß + q = 0 (1), т.е. число а является корнем уравнения х α + рх ß + q= 0 (2).

Прямая MN может пересекаться с осями р, q одним из трёх способов: р< 0, q> 0 (рис.1); р> 0, q< 0 (рис. 2); р0 < 0, q< 0 (рис.3).

Рис. 2 Рис. 3

Докажем равенство (1) для случая, изображённого на рис. 1 (остальные два случая рассматриваются аналогично). Из подобия треугольников AEC и BED имеем

  1. , откуда
  2. Далее из подобия треугольников AEM и NED следует
  3. ,

что и даёт (1). Зафиксируем произвольные α, ß и рассмотрим всевозможные уравнения х α+ рхß + q = 0 .

Номограмма для отыскания положительных корней таких уравнений рисуется следующим образом: 1) параметру а придаются разные положительные значения и для каждого из них строится точкаЕ так, как рассказано выше; 2) полученные точки, помеченные соответствующими значениями параметра, соединяются плавной кривой Г (рис.4).

Рис. 4

Теперь при помощи этой номограммы приближённо можно найти положительные корни конкретного уравнения хα + рх ß+ q0 = 0, для этого надо на оси р взять точку M с координатой р, на оси q – точку N с координатой q и провести прямую MN. Каждая точка пересечения прямой MN с кривой Г даёт, в силу (1), положительный корень уравнения (2). Точки, соответствующие коэффициентам p, q уравнения, и точки, соответствующие искомым положительным корням уравнения хα+ рхß + q =0, лежат на одной прямой.

  • Алгоритм уточнения корней многочлена, если известны грубо приближенно два значения его корня
  • Теорема. Зная два приближенных значения и многочлена , можно получать улучшенные приближенные значения по рекуррентной формуле:
  • РЕШЕНИЕ НЕПОЛНОГО УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕЙ СТЕПЕНИ
  • Пример решения уравнения третьей степени
  • Пусть дано уравнение
  • Решение 1.

Так как левая часть уравнения-многочлен третьей (нечетной) степени, то на множестве действительных чисел имеет по крайней мере один действительный корень, т.е. эти числа являются делителями свободного члена 1.

Имеем 13-5 1+1=-3 и значит, целых корней нет.

Может быть, рациональный корень? Нет, так как многочлен с коэффициентом при старшем члене 1 не имеет и целых корней.

  1. Значит, предположение неверное – корень иррациональный, найдем его приближенно, установив интервал, в котором он находится.
  2. Составим таблицу 1, давая значения переменной х и вычисляя значения функции у:
  3. Таблица 1
  4. Уже найден интервал , имеем корень отрицательный, заключенный в границах:
  5. .
  6. Второй интервал , имеем корень положительный, заключенный в границах
  7. Третий интервал , имеем положительный корень, заключенный в границах
  8. .
  9. Больше находить корни не следует, так как уравнение третьей степени не может иметь более трех корней.
  10. Функция непрерывна на Rи дифференцируема на R.
  11. График функции пересекает ось Оу в точке .
  12. Производная функции равна
  13. Критические точки 1 рода:
  14. Исследуем функцию на монотонность:
  15. Рис. 5
  16. Применили формулу Бернулли для вычисления приближенного значения
  17. Дадим графическое изображение функции , (Рис. 6) которое несколько уточняет значение иррациональных корней, давая рациональные приближения:
  18. Рис. 6
  19. Ответ:
  20. Решение 2.
  21. Преобразуем исходное уравнение к виду:
  22. Решим это уравнение графическим способом.
  23. Введем две функции:
  24. Построим графики данных указанных функций (Рис. 7):
  25. Рис. 7
  26. Ответ:
  27. Решение 3.

Применим формулу П.Л. Чебышева

  • Используем график функции (Рис. 6)
  • Видно, что один из корней уравнения расположен близко к
  • Найдём производные первого и второго порядка данной функции:
  • Произведем вычисления:
  • Применим формулу:
  • Остальные корни проще найти, используя свойства многочленов:

1). Если корень многочлена , то делится на .

2). При делении многочлена на получается остаток, равный значению этого многочлена при .

3). Схемой Горнера, где (Таблица 2):

Коэффициенты 1 0 -5 1
Вычисления 1 0+0,2*1 -5+0,2*(0,2) 1+(-4,96)*0,2
Результат 1 0,2 -4,96 0,008
  1. Таблица 2
  2. Получили остаток деления 0,008 .
  3. Делитель приравниваем к нулю:
  4. Ответ: -2,33; 0,2; 2,13.
  5. Решение 4.
  6. Решим данное уравнение при помощи этой номограммы (Рис. 8), выполнив соответствующие расчёты:

Построим отрезок . Он пересечет полученный график в точках с координатами .

  • Для получения третьего корня изменим знак х на –х, получаем
  • Найдем отрицательный корень уравнения, построив отрезок , он пересекает график функции в точке .
  • Рис. 8
  • Ответ: -2,3; 0,25; 2,2.
  • Проверим полученные корни с помощью Интернет ресурсов: сайта
  • Решение уравнений бесплатно – Калькулятор Онлайн Обычные уравнения

Ответы продемонстрированы на Рис. 9 и Рис. 10:

  1. Рис. 9
  2. Рис. 10
  3. Ответ: 0,2; 2,13; -2,33.
  4. Уточним один из корней многочлена, полученные в Решении 4 с помощью алгоритма уточнения корней многочлена, если известны грубо приближенно два значения его корня.
  5. , ,

Можно продолжить уточнение приближенного значения корня. Примем за приближенного значения корня число .

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проанализируем использованные способы решения уравнения (Таблица 3):

Способ решения Недостатки Преимущества
Построение графика функции и определение приближенного значения нулей функции с помощью таблицы зависимости х оту. Времяемкий, встречается проблема оценивания значения иррационального числа. Погрешность в нахождении одного из трех корней. Наглядный.Интересно оценивание корней с помощью свойства непрерывных функций (знакопостоянство и нули функции). Может быть применен к большинству алгебраических уравнений.
Графический способ решения уравнения Неточный. Погрешность в нахождении одного из трех корней. Наглядный, дает право выбора введения вспомогательных функций.
Применение формулы П.Л. Чебышева Громоздкие вычисления, чтобы их избежать прибегли к теории многочленов для нахождения двух корней. Корни найдены достаточно точно.
Применение номограммы Времяемкий, требует точности в построении графика функции, в масштабе, аккуратности. Корни найдены достаточно точно.

Таблица 3

Итак, наиболее рациональным оказался способ с применением формулы Чебышева.

Из анкетирования, проведенного в 11 классе, было выяснено, что формула Чебышева и номограммама – это понятия, незнакомые выпускникам, учащимся физико-математического профиля. Оценивание корней уравнения с помощью таблицы с применением свойстванепрерывности функции оказалось новым для 80% учащихся.

Таким образом, умение решать неполное алгебраическое уравнение, имеющего нерациональные корни, является актуальным и, как показала практика, проблематичным.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ

Читайте также:  Как изменить разрешение картинки

Источник: https://school-science.ru/6/7/36071

Кубическое уравнение

Сегодня выполняем запрос пользователя Решение кубического уравнения.
Канонический вид кубического уравнения:

Решать кубическое уравнение мы будем по формуле Виета.
Формула Виета — способ решения кубического уравнения вида

Соответственно, чтобы привести к этому виду оригинальное уравнение первым шагом все введенные коэффициенты делятся на коэффициент а:

Калькулятор ниже, а описание формулы Виета — под ним

Точность вычисления

Знаков после запятой: 2

Кстати сказать, на других сайтах почему-то для решения кубических уравнений используют формулу Кардано, однако я согласен с Википедией в том, что формула Виета более удобна для практического применения. Так что почему везде формула Кардано — непонятно, разве что лень людям Гиперболические функции и Обратные гиперболические функции реализовывать. Ну мне не лень было.

  • Итак, формула Виета (из Википедии)
  • Обратите внимание, что по представлению формулы Виета а — второй коэффициент, а коэффициент перед x3 всегда считается равным 1. Калькулятор позволяет ввести а как коэффициент перед х3, но сразу же на него и делит уравнение, чтобы получить 1
  • Вычисляем:
  1. Если S < 0, то заменяем тригонометрические функции гиперболическими. Здесь возможны два случая в зависимости от знака Q
  2. Q > 0:
  3. (действительный корень)
  4. (пара комплексных корней)
  5. Q < 0:
  6. (действительный корень)
  7. (пара комплексных корней)
  8. Если S = 0, то уравнение вырождено и имеет меньше 3 различных решений (второй корень кратности 2):

По этим формулам калькулятор и работает. Решает вроде правильно, хотя решения с мнимой частью не проверял. Если что, пишите.

Источник: https://planetcalc.ru/1122/

Кубическое уравнение

Кубическим уравнением является полиномиальное уравнение третьей степени. Общий вид ax3+bx2+cx+d=0, где a ≠ 0.

Кубическое уравнение имеет вид ax3 + bx2 + сх + d = 0. В уравнение должно присутствовать х3, в противном случае уравнение не будет кубическим, но некоторые или все из В, С и D могут быть равны нулю. Бесплатный онлайн калькулятор для расчета уравнения третьей степени, используется для нахождения корней кубического уравнения.

Например, Введите a=1, b=8, c=16 3 + bx2 + cx + d = 0

Формула кубического уравнения:

discriminant(Δ) = q3 + r2

  • q = (3c- b2)/9
  • r = -27d + b(9c-2b2)
  • s = r + √(discriminant)
  • t = r — √(discriminant)
  • term1 = √(3.0)*((-t + s)/2)
  • r13= 2 * √(q)
  • x1=(- term1 + r13*cos(q3/3) )
  • x2=(- term1 + r13*cos(q3+(2*∏)/3) )
  • x3=(- term1 + r13*cos(q3+(4*∏)/3) )

Кубическое уравнение:

ax3 + bx2 + cx + d = 0,

где,

  • a = коэффициент  x3
  • b = коэффициент x2
  • c = коэффициент x
  • d = constant.

Формула:

  • x1 = -term1 + r13 * cos(q3 / 3)
  • x2 = -term1 + r13 * cos(q3 + (2 * ∏) / 3)
  • x3 = -term1 + r13 * cos(q3 + (4 * ∏) / 3)

term1 и r13 формула:

  1. q = (3c — b2) / 9
  2. r = (-27d + b(9c — 2b2)) / 54
  3. discriminant(Δ) = q3 + r2
    r13 = 2 * √ (q)
  4. Если discriminant(Δ) > 0 term1 = (b/3.0)
  5. еще
  • s = r + √ discriminant(Δ)
  • t = r — √ discriminant(Δ)
  • term1 = √ (3.0) * ((-t + s) / 2)

Пример:

Вычислить корни (x1, x2, x3) уравнения третьей степени, x 3 — 4×2 — 9x + 36 = 0

Шаг 1:

Из приведенного выше уравнения, значение a = 1, b = — 4, c = — 9 и d = 36.

Шаг 2:

  • Найдем значения q и r
  • q = ((3*-9) — (-4)2) / 9 = -4.77778
  • r = (-27*36+(-4)*(9*(-9)-2*(-4)2))/54 = -9.62963

Шаг 3:

Найдем значение дискриминанта, обозначается как знак дельта (Δ)

discriminant(Δ)= q3 + r2

discriminant(Δ) = (-4.77778)3 + (-9.62963)2 = -16.3333

Значение дискриминанта меньше  0

Шаг 4:

Найдем term1 и r13

Если Δ< 0, term1 = (b/3.0) = -4 / 3 = -1.33333

  1. term1 = -1.33333
  2. r13 = 2 * √(q)
  3. где, q = -q = 4.77778

r13 = 2 * √ 4.77778 = 4.371626

Шаг 5:

Подставляем значения term1 и r13  в формулу кубического уравнения

x1 = -term1 + r13 * cos(q3 / 3)

x1 = 1.33333 + 4.371626 x cos(4.777783 / 3) = 4

x2 = -term1 + r13 * cos(q3 + (2 * ∏) / 3)

x2 = 1.33333 + 4.371626 x cos(4.777783 + (2 * ∏)/ 3) = -3

x3 = -term1 + r13 * cos(q3 + (4 * ∏) / 3)

x3 = 1.33333 + 4.371626 x cos(4.777783 + (4 * ∏)/ 3) = -3

Шаг 6:

Мы получили корни уравнения, x1 = 4, x2 = -3 и x3 = -3.

Источник: https://wpcalc.com/matematicheskoe-uravnenie-tretej-stepeni-rasschitat-onlajn/

5. Уравнения третьей и четвёртой степени

  • Заадача№1
  • Решить
    уравнение третьей степени по формуле
    Кардано:
  • x3-3×2-3x-1=0.
  • Решение
    :Приведём уравнение к виду , не содержащему
    второй степени неизвестного. Для этого
    воспользуемся формулой
  • x
    = y
    –,
    где а коэффициент при x2.
  • Имеем
    : x=y+1.
  • (y+1)3-3(y+1)2-3(y+1)-1=0.
  • Раскрыв
    скобки и приведя подобные члены ,получим:
  • y3-
    6y-6=0.
  • Для
    корней кубического уравнения y
    3+py+q=0
    имеется формула Кардано:
  • yi=
    (i=1,2,3,),где

    значение радикала

  • ,=.
  • Пусть
    α1 –одно /любое/ значение радикала α.
    Тогда два других значения находятся
    следующим образом:
  • α2=
    α1ε1
    , α3=
    α1ε2,

    где ε1=

    + i,
    ε2=

    – i
    – корень третьей степени из единицы.

  • Если
    положить β1=
    – ,
    то получим β2=
    β1ε2,
    β3=
    β1ε1
  • Подставляя
    полученные значение в формулу yi
    = αi+βi,найдём
    корни уравнения
  • yi+py+q
    =0:
  • y1=
    α1+β1,
  • y2=
    -1/2(α1+β1)
    + i(
    α1-β1),
  • y3=
    -1/2(α1+β1)
    – i(
    α1-β1),
  • В
    нашем случае p
    = -6, q=
    – 6.
  • α=

    =

Одно
из значений этого радикала равно .

Поэтому положим α1=.
Тогда β1=

= – =,

  1. y1=,
  2. y2=
    ) + i
    ),
  3. y2=
    ) – i
    ).
  4. Наконец,
    находим значение x
    по формуле x
    = y+1.
  5. x1=
  6. x2=
    ) + i
    ) + 1,
  7. x3=

    ) – i
    ) + 1.

  8. Задача№2
  9. Решить
    способом Феррари уравнение четвёртой
    степени :
  10. x4-4×3+2×2-4x+1=0.
  11. Решение:
    Перенесём три последних члена в правую
    часть и оставшиеся два члена дополним
    до полного квадрата .
  12. x4-4×3=-2×2+4x-1,
  13. x4-4×3+4×2=4×2-2×2+4x-1,
  14. (x2-2x)2=2×2+4x-1.
  15. Введём
    новое неизвестное следующим образом:
  16. (x2-2x+)2=2×2+4x-1+(x2-2x)y+,
  17. (x2-2x+)2=(2+y)x2+(4-2y)x+() /1/.

Подберём
y
так, чтобы и правая часть равенства была
полным квадратом .Это будет тогда ,когда
B2-4AC=0,
где A=2+y,
B=4-2y,
C=
-1.

  • Имеем:B2-4AC=16-16y+4y2-y3-2y2+4y+8=0
  • Или
    y3-2y2+12y-24=0.
  • Мы
    получили кубическую резольвенту ,одним
    из корней которой является y=2.
    Подставим полученное значение y=2
    в /1/,

Получим
(x2-2x+1)2=4×2.Откуда
(x2-2x+1)2-(2x)2=0
или (x2-2x+1-2x)
(x2-2x+1+2x)=0.

  1. Мы
    получим два квадратных уравнения:
  2. x2-4x+1=0 и x2+1=0.
  3. Решая
    их, находим корни первоначального
    уравнения:
  4. x1=2-, x2=2+, x3=-I, x4=i.

6.Рациональные корни многочлена

  • Задача№1
  • Найти
    рациональные корни многочлена
  • f(x)=8×5-14×4-77×3+128×2+45x-18.
  • Решение
    :Для того, чтобы найти рациональные
    корни многочлена ,пользуемся следующими
    теоремами.

Теорема
1.

Если
несократимая дробь является
корнем многочлена f(x)
с целыми коэффициентами ,то p
есть делитель свободного члена, а q-
делитель старшего коэффициента многочлена
f(x).

Замечание:
Теорема
1 даёт необходимое условие для того,
чтобы рациональное число
.

Было корнем многочлена ,но этого условия
недостаточно , т.е. условие теоремы 1
может выполняться и для такой дроби ,
которая не является корнем многочлена.

Теорема
2:
Если
несократимая дробь
является корнем многочлена f(x)
с целыми коэффициентами, то при любом
целом m
,отличном от ,
число f(m)
делится на число p-qm,
т.е
целое число.

В
частности полагая m=1,
а затем m=-1,
получим:

если
корень многочлена, не равный ±1,то f(x)
(p-q)
и f(-x):.(p+q)
, т.е. –
целые числа.

Замечание: Теорема
2 даёт ещё одно необходимое условие для
рациональных корней многочлена. Это
условие удобно тем, что оно легко
проверяется практически.

Находим сначала
f(1)
и f(-1),
а затем для каждой испытываемой дроби проверяем указанное условие. Если хотя
бы одно из чисел

png” width=”67″>
дробное, то корнем многочлена f(x)
не является.

  1. Решение:
    По теореме 1 корни данного многочлена
    следует искать среди несократимых
    дробей, числители которых являются
    делителями 18, а знаменателями 8.
    Следовательно, если несократимая дробь

    есть корень f(x),
    то p
    равно одному из чисел : ±1, ±2, ±3, ±6, ±9,
    ±18; q
    равно одному из чисел

  2. ±1,
    ±2,±4, ±8.
  3. Учитывая,
    что
    =

    ,
    =

    ,
    знаменатели дробей будем брать лишь
    положительными.
  4. Итак,
    рациональными корнями данного многочлена
    могут быть следующие числа: ±1, ±2, ±3, ±6,
    ±9, ±18, ±,
    ±,
    ±,
    ±,
    ±,
    ±,
    ±,
    ±,
    ±.
  5. Воспользуемся
    вторым необходимым.

Так
как f(1)=72, f(-1)=120,отсюда
в частности следует, что 1 и -1 не являются
корнями f(x).
Теперь для каждой возможной дроби будем проверять условия теоремы 2 при
m=1
и m=-1, т. е.

будем устанавливать, целыми или
дробными являются числа :
= и

png” width=”31″>
=

Результаты
сведём в таблицу, где буквы”ц” и “д”
означают соответственно, целым или
дробным является число или

P 2 -2 3 -3 6 -6 9 -9 18 -18 1 -1 3 -3 9 -9 1 -1 3 -3 9 -9 1 -1 3 -3 9 -9
Q 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 4 4 8 8 8 8 8 8
ц ц ц ц д д ц д д д ц ц ц д д д ц д ц д д д д ц д д ц д
ц ц ц ц ц ц ц ц ц д д д

Из
полученной таблицы видно, что и

png” width=”23″> являются целыми лишь в тех случаях,
когда равно одному из чисел: 2, -2, 3, -3, ,

jlKy/img-piB9l4.png” width=”21″>,
,
.

8 -14 -77 128 45 -18
2 8 2 -73 -18 9 0
2 8 18 -37 -92 -172≠0

2
– корень.

Отсюда
имеем : x=2
– простой корень f(x).
Остальные корни данного многочлена
совпадают с корнями многочлена.

F1(x)
= 8×4+2×3-73×2-18x+9.

Аналогично
проверим остальные числа.

8 2 -73 -18 9
-2 6 -14 -45 72 -139≠0
3 8 26 5 -3 0
3 8 50 155 462≠0
-3 8 2 -1 0
-3 8 -22 65≠0
9 8 74 665≠0
½ 8 6 2≠0
-1/2 8 -2 0
-1/2 8 6≠0
3/2 8 10≠0
1/4 8 0

-2
– не корень, 3 – корень, -3 –корень, 9 –
не корень, ½ – не корень , -1/2 –корень, 3/2
– не корень, ¼ – корень.

Итак,
многочлен f(x)=
8×5-14×4-77×3+128×2+45x-18 имеет пять рациональных корней:{2, 3,
-3, -1/2, ¼}.

Источник: https://StudFiles.net/preview/5358202/page:4/

Ссылка на основную публикацию