Как найти биссектрису

Справочник по математике Геометрия (Планиметрия) Треугольники

      Напомним, что биссектрисой угла называют луч, делящий угол пополам.

      Определение. Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне (рис 1).

Как найти биссектрису

  • Рис.1
  •       Поскольку в каждом треугольнике имеются три угла, то в каждом треугольнике можно провести три биссектрисы.
  •       На рисунке 1 биссектрисой является отрезок AD.

      Теорема 1. Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

      Доказательство. Продолжим сторону AC треугольника ABC, изображенного на рисунке 1, за точку A. Проведем через точку B прямую, параллельную биссектрисе AD. Обозначим точку пересечения построенных прямых буквой E (рис. 2).

Как найти биссектрисуКак найти биссектрису

Рис.2

      Докажем, что отрезки AB и AE равны. Для этого заметим, что угол EBA равен углу BAD, поскольку эти углы являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых EB и AD.

Заметим также, что угол BEA равен углу DAC, поскольку эти углы являются соответственными при параллельных прямых EB и AD.

Таким образом, угол EBA равен углу BEA, откуда вытекает, что треугольник EAB является равнобедренным, и отрезки AB и AE равны.

      Отсюда, воспользовавшись теоремой Фалеса, получаем:

Как найти биссектрису

что и требовалось доказать.

      Следствие 1. Рассмотрим рисунок 3, на котором изображен тот же треугольник, как и на рисунке 1, но для длин отрезков использованы обозначения

Как найти биссектрису

  1. Рис.3
  2. b = |AC|,   a = |BC|,   c = |AB|,   p = |BD|,   q = |DC|.
  3.       Тогда

Как найти биссектрису

  •       Доказательство. Поскольку
  • то

Как найти биссектрисуКак найти биссектрису

что и требовалось доказать.

      Следствие 2. Рассмотрим рисунок 4, на котором изображены две биссектрисы треугольника, пересекающиеся в точке O.

  1. Рис.4
  2.       Тогда справедлива формула:
  3.       Доказательство. Поскольку
  4. то

что и требовалось доказать.

      Замечание. В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, вписанной в треугольник.

      Теорема 2. Рассмотрим рисунок 5, который практически совпадает с рисунком 2.

  • Рис.5
  •       Тогда для длины биссектрисы справедлива формула:
  •       Доказательство. Из рисунка 5 следует формула
  • |EB| = 2c cos α .
  •       Если воспользоваться этой формулой, то из подобия треугольников ADC и EBC, получаем:

что и требовалось доказать.

      Теорема 3. Длину биссектрисы треугольника (рис.6) можно найти по формуле:

      Доказательство. Рассмотрим рисунок 6

  1. Рис.6
  2. и воспользуемся теоремой косинусов:
  3.       Теперь воспользуемся формулой «Косинус двойного угла»:
  •       Следовательно,
  • откуда с помощью Теоремы 2 получаем:

что и требовалось доказать.

      Задача. Из вершины C треугольника ABC (рис.7) проведена биссектриса CD и высотаCE.

  1. Рис.7
  2. Доказать, что выполнено равенство:
  3.       Решение. Поскольку CD – биссектриса угла ACB, то
  •       Поскольку CE – высота, то
  •       Следовательно,
  1. что и требовалось доказать.
  2.       Из решения этой задачи вытекает простое следствие.
  3.       Следствие. Длины биссектрисы CD и высоты CE связаны следующей формулой:

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».Запись по телефону (495) 509-28-10

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

подготовительные курсы для школьников 8, 9, 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

индивидуальные занятия с репетиторами по математике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

Источник: https://www.resolventa.ru/spr/planimetry/bisector.htm

❶ Как найти биссектрису угла

19 апреля 2011

Автор КакПросто!

Биссектрисой называется такой луч, который, будучи проведенным из вершины угла, делит его пополам. Будучи проведенной из вершины угла, биссектриса становится отрезком, который делит образованный двумя сторонами угол на 2 равные части. Длину этого отрезка можно вычислить разными путями.

Как найти биссектрису

Вам понадобится

  • Данные о сторонах и углах треугольника.

Инструкция

Имеется треугольник ABC, который обладает сторонами a,b,c. Помимо этого, у него есть CK – биссектриса, проведенная из точки С к стороне AB, p – это 1/2 периметра треугольника ABC, AK и KC – отрезки, получившиеся из-за деления биссектрисой стороны AB, ?, ? и ? – углы, принадлежащие вершинам A, B, С соответственно, h – высота, которая проведена из точки C к противолежащей стороне AB. Зная эти данные, вычислить длину биссектрисы можно, используя следующие равенства:1) CK = v(a*b(a+b+c)*(a+b-c))/a+b=v(4*a*b*p(p-c))/a+b;2) CK = v(a*b – AK*KC);3) CK = (2*a*b*cos(?/2))/a+b;

4) CK = h/cos(?-?/2).

Видео по теме

Под биссектрисой понимается луч, который делит пополам угол, из которого он опущен. Для того, чтобы рассчитать ее длину, можно использовать несколько подходов

Как найти биссектрису

Вам понадобится

  • Знать, по мере необходимости, все стороны, углы и высоту треугольника.

Инструкция

Допустим, дан треугольник ABC, в котором a, b и с являются его сторонами, lc -это биссектриса, которая проведена к стороне c, p – это половина периметра треугольника ABC, al,bl – это те длины, которые получились в результате разделения биссектрисой стороны AB, α,β,γ – это углы, которые получаются из вершин A,B,C соответственно, а hc – это высота, опущенная из вершины C на сторону AB. Тогда расчет длины биссектрисы можно вести по следующим формулам:1) lc = √(a*b(a+b+c)*(a+b-c))/a+b=√(4*a*b*p(p-c))/a+b;2) lc = √(a*b – al*bl);3) lc = (2*a*b*cos(γ/2))/a+b;

4) lc = hc/cos(α-β/2)

Видео по теме

Делить угол пополам и вычислить длину линии, проведенной из его вершины к противоположной стороне, необходимо уметь раскройщикам, землемерам, монтажникам и людям некоторых других профессий.

Как найти биссектрису

Вам понадобится

  • Инструменты Карандаш Линейка Транспортир Таблицы синусов и косинусов Математические формулы и понятия: Определение биссектрисы Теоремы синусов и косинусов Теорема о биссектрисе

Инструкция

Постройте треугольник необходимой формы и величины, в зависимости от того, что вам дано? дфе стороны и угол между ними, три стороны или два угла и расположенная между ними сторона.

Обозначьте вершины углов и стороны традиционными латинскими буквами А, В и С. Вершины углов обозначают прописными буквами, противолежащие стороны – строчными. Обозначьте углы греческими буквами ?,? и ?

По теоремам синусов и косинусов вычислите размеры углов и сторон треугольника.

Как найти биссектрису Вспомните определение биссектрисы. Биссектриса – прямая, делящая угол пополам. Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на два отрезка, отношение которых равно отношению двух прилежащих сторон треугольника.Проведите биссектрисы углов. Полученные отрезки обозначьте названиами углов, написанными строчными буквами, с нижним индексом l. Сторона с делится на отрезки a и b с индексами l.

Вычислите длины получившихся отрезков по теореме синусов.

Вычислите длину биссектрисы по формуле:

Длина биссектрисы равна квадратному корню из произведения отрезков, на которые биссектриса делит противолежащую углу сторону, вычтенного из произведения прилежащих сторон.

Как найти биссектрису

Видео по теме

Обратите внимание

Длина отрезка, которая одновременно является стороной треугольника, образованного одной из сторон исходного треугольника, биссектрисой и собственно отрезком, вычисляется по теореме синусов. Для того, чтобы вычислить длину другого отрезка этой же стороны, воспользуйтесь соотношением получившихся отрезков и прилежащих сторон исходного треугольника.

Полезный совет

Для того, чтобы не запутаться, проведите биссектрисы разных углов разным цветом.

Распечатать

Как найти биссектрису угла

Источник: https://www.kakprosto.ru/kak-20312-kak-nayti-bissektrisu-ugla

Как найти биссектрису треугольника?

Одной из основ геометрии является нахождение биссектрисы, луча, делящего угол пополам. Биссектриса треугольника представляет собой часть биссектрисы любого угла. Это отрезок от вершины угла до пересечения с противоположной стороной треугольника.

Если вывести биссектрисы из всех углов, то они пересекутся в одной точке, которая называется центр вписанного треугольника.

Вычислить биссектрису можно, если знать длину стороны, которую она делит пополам, или же величины углов треугольника.

Биссектриса равнобедренного треугольника

Поскольку в равнобедренном треугольнике две стороны равны друг другу, то и биссектрисы прилегающих углов будут равными. Т.к. углы треугольника также равны.

При проведении биссектрисы из одного из углов, она будет считаться высотой данного треугольника и его медианой.

Читайте также:  Как посадить кедр

Задачи, как найти биссектрису треугольника, решаются с применением формул.

Для решения данных формул в условии должны быть обозначены значения длин сторон, или величин углов треугольника. Зная их, можно вычислить биссектрису по косинусам, либо по периметру.

Например, берем равнобедренный треугольник ABC и проводим биссектрису AE к основанию BC. Полученный треугольник AEB – прямоугольный. Биссектриса – это его высота, сторона AB – гипотенуза прямоугольного треугольника, а BE и AE – катеты.

Применяется теорема Пифагора – квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Исходя из нее BE = v (AB – AE). Поскольку AE – это медиана треугольника ABC, то катет BE = BC/2. Таким образом, BE = v (AB – (BC /4)).

В случае, если задан угол основания ABC, то биссектриса треугольника AEB, AE = AB/sin(ABC). Угол основания AEB, BAE = BAC/2. Поэтому биссектриса AE = AB/cos (BAC/2).

Как найти биссектрису треугольника, вписанного в другой треугольник?

В равнобедренном треугольнике ABC проведем к стороне АС сторону ВК. Этот отрезок не будет являться ни биссектрисой треугольника, ни его медианой. Здесь применятся формула Стюарта.

По ней вычисляется периметр треугольника – сумма длин всех его сторон. Для ABC вычисляем полупериметр. Это периметр треугольника, деленный пополам.

Р = ( АВ+ ВС+ АС)/2. По этой формуле высчитываем биссектрису, проведенную к стороне. ВК = v(4*ВС*АС*Р (Р-АВ)/ (ВС+АС).

По теореме Стюарта можно также увидеть, что биссектриса, проведенная к другой стороне треугольника, будет равна ВК, т.к. эти две стороны треугольника равны между собой.

Биссектриса прямоугольного треугольника

Для того чтобы знать, как находиться биссектриса в прямоугольном треугольнике, нужно также пользоваться формулами. Не стоит забывать, что в прямоугольном треугольнике один угол обязательно прямой, т.е. равный 90 градусам. Таким образом, если биссектриса начинается из прямого угла, даже если в условии не будет указан синус или косинус угла, можно их узнать по величине угла.

  • Находится биссектриса по формуле Стюарта. Если имеется треугольник АВК, и его полупериметр высчитывается, как Р = ( АВ+ ВК+ АК)/2. Исходя из полученного, высчитываем биссектрису АЕ = v(4*ВК*АК*Р (Р-АВ)/ (ВК+АК).
  • Длина биссектрисы определяется еще таким образом. АЕ = v (ВК*АК) – (ЕВ*ЕК), где ЕВ и ЕК – отрезки, на которые биссектриса АЕ делит сторону ВК.
  • Либо можно воспользоваться косинусами углов прямоугольного треугольника, если они известны. Биссектриса будет равна (2*аb*(cos c/2))/(a+b).
  • Либо находить биссектрису так. По формуле (cos а) – (cos b)/2, найдите необходимый в дальнейшем делитель. Далее высота, проведенная к стороне с, делится на полученное значение. Для получения косинусов нужно знать величину углов. Либо вычислить их, исходя из величины единственно известного угла – прямого, в 90 градусов.

Равносторонний треугольник

В таком треугольнике все стороны равны между собой, соответственно и углы. Поэтому все биссектрисы и медианы также будут равными. Если некоторые значения сторон будут неизвестными, то нужным будет значение одной стороны. Т.к. стороны равны. И величины углов также. Поэтому для нахождения биссектрисы по формуле косинусов, нужно знать либо вычислить значение лишь одного из углов.

  • Длина медианы и биссектриса треугольника равна – L.
  • Стороны треугольника равны – а.
  • L = (аv3)/2.
  • В треугольнике АВС, биссектриса АЕ = (АВСv3)/2.
  • По этой же формуле вычисляются высота и медиана равностороннего треугольника.

Разносторонний треугольник

В таком треугольнике все стороны имеют разные значения, поэтому и биссектрисы не равны между собой.

Берется треугольник с произвольными значениями сторон. Если некоторые значения сторон неизвестны, то они вычисляются по формуле периметра треугольника.

После того, как биссектрисы углов будут проведены, стоит прибавить к их обозначениям нижний индекс1. Отрезки, на которые биссектриса делит противоположную сторону, обозначаются также с нижним индексом 1.

Длины этих отрезков вычисляются по теореме синусов.

Длина же биссектрисы вычисляется как L = v аb – а1b1, где аb – прилежащие к отрезкам стороны, а а1b1 – произведение отрезков. Формула применяется ко всем сторонам разностороннего треугольника. Главное, это знать длины сторон, либо вычислить их, зная величины прилегающих к ним углов.

Источник: https://elhow.ru/ucheba/geometrija/planimetrija/kak-najti-bissektrisu-treugolnika

Формулы для треугольника, как найти сторону, биссектрису, медиану, высоту, угол

Формулы для треугольника, как найти сторону, биссектрису, медиану, высоту, угол…

  • Найти длину биссектрисы в треугольнике
  • L – биссектриса, отрезок |OB|, который делит угол ABC пополам
  • a, b – стороны треугольника
  • с – сторона на которую опущена биссектриса
  • de – отрезки полученные делением биссектрисы
  • γ – угол ABC, разделенный биссектрисой пополам
  • p – полупериметр, p=(a+b+c)/2
  • Длина биссектрисы через две стороны и угол, (L):
  • Длина биссектрисы через полупериметр и стороны, (L):
  • Длина биссектрисы через три стороны, (L):
  • Длина биссектрисы через стороны и отрезки d, e, (L):
  • Точка пересечения всех трех биссектрис треугольника ABC, совпадает с центром О, вписанной окружности.
  • Биссектриса прямоугольного треугольника
  • 1. Найти по формулам длину биссектрисы из прямого угла на гипотенузу:
  1. L – биссектриса, отрезок ME ,  исходящий из прямого угла (90 град)
  2. a, b – катеты прямоугольного треугольника
  3. с – гипотенуза
  4. α – угол прилежащий к гипотенузе
  5. Формула длины биссектрисы через катеты, ( L):
  6. Формула длины биссектрисы через гипотенузу и угол, ( L):
  7. 2. Найти по формулам длину биссектрисы из острого угла на катет:
  • – биссектриса, отрезок ME ,  исходящий из острого угла
  • a, b – катеты прямоугольного треугольника
  • с – гипотенуза
  • α, β – углы прилежащие к гипотенузе
  • Формулы длины биссектрисы через катет и угол, (L):
  • Формула длины биссектрисы через катет и гипотенузу, (L):
  • Длина биссектрисы равнобедренного треугольника
  • Формулы для вычисления высоты, биссектрисы и медианы.
  • В равнобедренном треугольнике: высота, биссектриса и медиана, исходящие из угла образованного равными сторонами, один и тот же отрезок.
  • L – высота=биссектриса=медиана
  • a – одинаковые стороны треугольника
  • b – основание
  • α – равные углы при основании
  • β – угол вершины
  • Формулы высоты, биссектрисы и медианы, через сторону и угол, (L):
  • Формула высоты, биссектрисы и медианы, через стороны, (L):
  • Найти медиану=биссектрису=высоту равностороннего треугольника
  • Формула для вычисления высоты= биссектрисы= медианы.

В равностороннем треугольнике: все высоты, биссектрисы и медианы, равны. Точка их пересечения, является центром вписанной окружности.

  1. L – высота=биссектриса=медиана
  2. a –  стороны треугольника
  3. Формула длины высоты, биссектрисы и медианы равностороннего треугольника, (L):
  4. Найти длину медианы треугольника по формулам

Медиана – отрезок |AO|, который выходит из вершины A и делит противолежащею сторону  c пополам. Медиана делит треугольник ABC на два равных по площади треугольника AOC и ABO.

  • M – медиана, отрезок |AO|
  • c – сторона на которую ложится медиана
  • a , b – стороны треугольника
  • γ – угол CAB
  • Формула длины медианы через три стороны, (M):
  • Формула длины медианы через две стороны и угол между ними, (M):
  • Длина медианы прямоугольного треугольника

Медиана, отрезок |CO|, исходящий из вершины прямого угла BCA и делящий гипотенузу c, пополам. Медиана в прямоугольном треугольнике (M), равна, радиусу описанной окружности (R).

  1. M – медиана
  2. R – радиус описанной окружности
  3. O – центр описанной окружности
  4. с – гипотенуза
  5. a, b – катеты
  6. α – острый угол CAB
  7. Медиана равна радиусу и половине гипотенузы, (M):
  8. Формула длины через катеты, (M):
  9. Формула длины через катет и острый угол, (M):
  10. Найти длину высоты треугольника

Высота– перпендикуляр выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне (или ее продолжению, для треугольника с тупым углом). Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется – ортоцентр.

  • H – высота треугольника
  • a – сторона, основание
  • bc – стороны
  • β, γ – углы при основании
  • p – полупериметр, p=(a+b+c)/2
  • R – радиус описанной окружности
  • S – площадь треугольника
  • Формула длины высоты через стороны, (H):
  • Формула длины высоты через сторону и угол, (H):
  • Формула длины высоты через сторону и площадь, (H):
  • Формула длины высоты через стороны и радиус, (H):
  • Формулы высоты прямого угла в прямоугольном треугольнике

В прямоугольном треугольнике катеты, являются высотами. Ортоцентр – точка пересечения высот, совпадает с вершиной прямого угла.

  1. H – высота из прямого угла
  2. ab – катеты
  3. с – гипотенуза
  4. c1 , c2 – отрезки полученные от деления гипотенузы, высотой
  5. αβ – углы при гипотенузе
  6. Формула длины высоты через стороны, (H):
  7. Формула длины высоты через гипотенузу и острые углы, (H):
  8. Формула длины высоты через катет и угол, (H):
  9. Формула длины высоты через составные отрезки гипотенузы , (H):
  10. Как найти неизвестную сторону треугольника
  11. Вычислить длину стороны треугольника: по стороне и двум углам или по двум сторонам и углу.
  12. abc – стороны произвольного треугольника
  13. αβγ – противоположные углы
  14. Формула  длины через две стороны и угол (по теореме косинусов), (a):
  15. *Внимательно, при подстановке в формулу, для тупого угла ( α>90),сosα, принимает отрицательное значение
  16. Формула  длины через сторону и два угла (по теореме синусов), (a):
  17. Формулы сторон равнобедренного треугольника
  18. Вычислить длину неизвестной стороны через любые стороны и углы
  19. b – сторона (основание)
  20. a – равные стороны
  21. α – углы при основании
  22. β – угол образованный равными сторонами
  23. Формулы длины стороны (основания), (b):
  24. Формулы длины равных сторон , (a):
  25. Как узнать сторону прямоугольного треугольника
  26. Есть следующие формулы для определения катета или гипотенузы
  27. a, b – катеты
  28. c – гипотенуза
  29. αβ – острые углы
  30. Формулы для катета, (a):
  31. Формулы для катета, (b):
  32. Формулы для гипотенузы, (c):
  33. Формулы сторон по теореме Пифагора, (c, a, b):
Читайте также:  Как убрать ржавчину с автомобиля

Источник: http://ifreestore.net/2774/

Как найти биссектрису треугольника?

Биссектрисой называется линия, которая делит угол на две равные части, то есть пополам. Учитывая выше изложенное, можно сделать вывод, что в треугольнике может быть три биссектрисы, поскольку в треугольнике три угла, и каждая из них делит свой угол треугольника пополам.

Биссектриса треугольника, это отрезок биссектрисы любого угла от вершины до пересечения с противоположной стороной. Три биссектрисы треугольника всегда пересекаются в одной точке всегда внутри треугольника, эта точка является центром вписанного круга. Биссектриса угла A обозначается ?a

Пусть – стороны треугольника, – биссектриса треугольника проведенная к стороне . Елена, спасибо огромное за данный материал! В нашем регионе (Рязань) на районных олимпиадах дают задания на доказательство некоторых утверждений, которые используются в С4 ЕГЭ. Это одна из таких задач. Будем работать с учениками. С уважением, Елена.

Калькулятор длины биссектрисы треугольника. Смотрим рисунок. Вершины треугольника обычно обозначают заглавными буквами A, B, C, а строчными буквами a, b, c — длины противоположных сторон. То есть, сторона AB — c, AC — b, BC — a. Формула длины биссектрисы L угла при вершине C:

1 § 5. Как находить высоты и биссектрисы треугольника? 2

ПРИМЕР 1. Катеты прямоугольного треугольника равны 15 и 8. Найдите высоту, опущенную на гипотенузу. ПРИМЕР 2. Дан треугольник со сторонами а, b и b. Найдите высоту, опущенную на сторону, равную Ь.

Подробнее: www.myshared.ru

Однією з основ геометрії є знаходження бісектриси, променя, яка розділяє кут навпіл. Бісектриса трикутника є частиною бісектриси будь-якого кута. Це відрізок від вершини кута до перетину з протилежною стороною трикутника. Якщо вивести бісектриси з усіх кутів, то вони перетнуться в одній точці, яка називається центр вписаного трикутника.

Подробнее: faqukrstory.ru

Биссектриса прямоугольного треугольника, исходящая из прямого угла, делит его на две части, равные 45° каждая. Применяя теорему Пифагора, становится возможным вывести более простую и компактную формулу для такой биссектрисы из выражения биссектрисы для произвольного треугольника. Раскрывая скобки в формуле, воспользуемся равенством a2+b2=c2, и сократим подобные слагаемые:

Одной из основ геометрии является нахождение биссектрисы, луча, делящего угол пополам. Биссектриса треугольника представляет собой часть биссектрисы любого угла. Это отрезок от вершины угла до пересечения с противоположной стороной треугольника. Если вывести биссектрисы из всех углов, то они пересекутся в одной точке, которая называется центр вписанного треугольника.

Подробнее: novpedkolledg2.ru

Для решения задач по геометрии, связанных с треугольниками, важно усвоить одну простую, но важную истину.

Существует третий признак равенства треугольников («по трем сторонам»), из которого следует, что не существует двух различных треугольников с одинаковыми сторонами.

Следовательно, зная длины всех сторон треугольника, можно узнать об этом треугольнике все, что нужно. В том числе длины его медиан, биссектрис и высот. Разберем более подробно, каким образом это можно сделать.

Подробнее: yourtutor.info

Биссектриса треугольника обладает рядом свойств. Если правильно их использовать, можно решать задачи разного уровня сложности. Но даже имея данные обо всех трех биссектрисах, нельзя построить треугольник. Что такое биссектрисаИзучение свойств… Медиана, высота и биссектриса и их свойства

Исследование треугольника занимало математиков на протяжении веков. Большая часть свойств и теорем, связанных с треугольниками, использует особые линии фигуры: медиану, биссектрису и высоту. Медиана и ее свойстваМедиана – это одна из основных…

Одной из основ геометрии является нахождение биссектрисы, луча, делящего угол пополам. Биссектриса треугольника представляет собой часть биссектрисы любого угла. Это отрезок от вершины угла до пересечения с противоположной стороной треугольника. Если вывести биссектрисы из всех углов, то они пересекутся в одной точке, которая называется центр вписанного треугольника.

9) Биссектриса делит угол пополам. Чтобы были более понятны последующие выкладки, я сразу приведу готовый чертёж с результатом: Из свойств биссектрисы внутреннего угла следует соотношение длин следующих отрезков: Таким образом: . Координаты точки найдём по формулам деления отрезка в данном отношении. Да, параметр «лямбда» получился просто сказочным, а кому сейчас легко?

Одной из основ геометрии является нахождение биссектрисы, луча, делящего угол пополам. Биссектриса треугольника представляет собой часть биссектрисы любого угла. Это отрезок от вершины угла до пересечения с противоположной стороной треугольника. Если вывести биссектрисы из всех углов, то они пересекутся в одной точке, которая называется центр вписанного треугольника.

Примеры решения задач по теории вероятностей и математической статистике. Типовые задачи. Самые доступные методы решения. Помощь студентам по высшей математике онлайн. Совет 1: Как найти длину биссектрисы в треугольнике Как найти длину биссектрисы в треугольнике Как найти биссектрису Как найти биссектрису угла Медианы, биссектрисы и высоты треугольника
Совет 2: Как найти длину биссектрисы

Классические определения звучат так :

Подробнее: poiskvstavropole.ru

Одной из основ геометрии является нахождение биссектрисы, луча, делящего угол пополам. Биссектриса треугольника представляет собой часть биссектрисы любого угла. Это отрезок от вершины угла до пересечения с противоположной стороной треугольника. Если вывести биссектрисы из всех углов, то они пересекутся в одной точке, которая называется центр вписанного треугольника.

Математика, как известно, – царица наук. Неслучайно это выражение так любят учителя, особенно старой формации.

Математика открывается исключительно тем, кто умеет, во-первых, логически мыслить, а во-вторых, тем, кто любит всегда добиваться ответа, оперируя изначальными условиями, не жульничая, а основывая решения на анализе, построение опять-таки логических связей.

Эти качества, вынесенные со школьной скамьи, способны модулироваться и к взрослой серьезной жизни как в рабочих, так и в иных сложных моментах.

Подробнее: obrazovanie.guru

      Напомним, что биссектрисой угла называют луч, делящий угол пополам.       Определение. Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне (рис 1).

Подробнее: www.resolventa.ru

Исследование треугольника занимало математиков на протяжении веков. Большая часть свойств и теорем, связанных с треугольниками, использует особые линии фигуры: медиану, биссектрису и высоту. Медиана и ее свойстваМедиана – это одна из основных… Как найти биссектрису прямого угла

Один из углов прямоугольного треугольника прямой, то есть составляет 90?. Это несколько упрощает работу по сравнению с обычным треугольником, так как существует множество закономерностей и теорем, позволяющих легко выражать одни величины через…

Подробнее: www.progurukak.ru

Источник: http://www.chsvu.ru/kak-najti-bissektrisu-treugolnika/

Что такое биссектриса треугольника в геометрии: как найти по формуле и каковы ее свойства

Треугольник в геометрии — основная фигура, которую нельзя разделить на составляющие. Отрезок прямой линии, соединяющий вершину с противоположной стороной, при условии разделения угла пополам, — это биссектриса треугольника. Так как данная фигура содержит 3 угла, соответственно, из каждого можно провести линию, делящую его на равные компоненты.

Свойства биссектрисы

Равносторонняя треугольная фигура характеризуется не только равенством сторон, но внутренние углы также одинаковы, при этом они составляют 60° каждый.

Поэтому проведенная биссектриса одновременно является высотой, медианой. Она обладает не только своими качествами, но и характеристиками высоты, медианы треугольника:

  • делит противоположные стороны на равные части;
  • перпендикулярна к противолежащей стороне;
  • в точке пересечения 3 линий каждый отрезок делится в соотношении 2:1, считая от вершины (свойство медианы);
  • из центра пересечения можно одновременно провести окружность внутри и вокруг фигуры;
  • линии, делящие на равные части внешние углы правильного треугольника, параллельны противоположно расположенным сторонам фигуры;
  • все 3 отрезка, проведенные из вершин, равны по длине.
Читайте также:  Как отстирать ржавчину с одежды

Это интересно! Урок геометрии: как найти по формуле периметр треугольника

Наиболее простая формула, определяющая, как найти биссектрису треугольника, выражается через радиус вписанной (r) или описанной (R) окружности:

Характеристика внутренних линий

Основное свойство биссектрисы треугольника с равными боковинами: отрезок, опущенный из вершины, одновременно является медианой, высотой.

При этом, кроме разделения угла на 2 равные части, линия характеризуется следующими качествами:

  • делит нижнее основание пополам;
  • служит перпендикуляром к противолежащей стороне;
  • отрезок луча, разделяющий внешний угол вершины с равными боковинами, параллелен основанию.

Важно! Биссектрисы равных углов у основания также равны между собой по длине.

При этом верно обратное утверждение: когда 2 биссектрисы равны между собой, то треугольник считается равнобедренным.

Если вершина содержит 90° (прямой угол), то отрезки, опущенные на катеты, пересекаются под 45°. В этом случае определить размер искомого отрезка помогает теорема Пифагора.

Это интересно! Что значит вертикально и как выглядит вертикальная линия

Пример

В треугольнике АВС вершина А содержит 90°. Отрезок АД служит высотой, биссектрисой и медианой одновременно. Образованы 2 прямоугольные трехсторонние фигуры: АВД и АСД, у которых равны основания (ВД=СД). Требуется найти длину отрезка АД.

По теореме Пифагора АД2 = АВ2-ВД2. Отсюда АД = √АВ2-ВД2.

Это интересно! Изучаем символы: как обозначается в математике площадь

Соотношение со сторонами треугольника

Слово, в переводе с латинского языка, обозначает «сечение поперек».

Чем отличается биссектриса от других главных и второстепенных отрезков треугольной фигуры, было известно еще Архимеду, который в своих трудах активно использовал ее свойства для определения сторон многоугольников. При этом количество сторон должно быть кратным трем.

Классическая теорема о биссектрисе гласит, что линия разделяет противоположную сторону на 2 отрезка, отношение которых друг к другу такое же, как соотношение двух соприкасающихся к основанию сторон.

Пример

Дан треугольник АВС. Из вершины А проведена биссектриса АД, разделяющая сторону ВС на 2 отрезка (ДВ и ДС). Смысл теоремы сводится к равенству нескольких величин: ВД/АВ=СД/АС и ВД/ДС=АВ/АС. Лучше понять формулу помогает фото треугольника с проведенной линией.

Характеристика линий:

  • любая биссектриса, выпущенная из вершины неправильного треугольника, расположена между медианой и высотой, выходящей из этого же места;
  • все точки, расположенные на отрезке, удалены от сторон по бокам вершины на одинаковое расстояние;
  • лучи, разделяющие пополам внешний и внутренний угол треугольной фигуры, перпендикулярны между собой;
  • все отрезки, делящие на равные части внутренние углы, пересекаются в строго определенной точке, которая служит центром вписанной в эту фигуру окружности;
  • если две биссектрисы равны по длине, то фигура – равнобедренная, если все одинакового размера, треугольник – правильный.

Способы построения

Зная, что такое биссектриса, легко определить расположение отрезка в треугольной фигуре. Для построения применяется несколько способов:

  1. Известен угол, из которого исходит прямая, делящая его на равные сегменты. Значение делится пополам. На рисунке с помощью транспортира строится нужный отрезок.
  2. Если параметры угла неизвестны, его измеряют транспортиром, делят пополам, затем проводят искомую линию.
  3. Оригинальный способ построить нужный отрезок с помощью карандаша, линейки и циркуля. Из любой вершины проводится окружность произвольного радиуса. Главное, что величина должна быть меньше, чем прилегающая сторона. Место пересечения с каждой стороной считается центром для еще двух окружностей с таким же шагом циркуля. Нарисовать еще два круга, которые пересекаются между собой два раза. Через полученные точки и вершину под линейку проводится прямая, которая и есть настоящая биссектриса внутреннего угла.
  4. Построить треугольник по известной длине трех отрезков (АВ, ВС, АС) можно с помощью линейки и циркуля. На произвольной прямой линии обозначить сегмент, равный АВ. Из точки А провести окружность с шагом циркуля равным АС, а затем аналогично из точки В провести окружность с шагом ВС. Точка пересечения – вершина искомой треугольной фигуры (С), в которой легко определяются биссектрисы, учитывая их характеристики.

Важно! Если известны только размеры биссектрис, то построить по данным параметрам возможно бесконечное количество подобных фигур.

Источник: https://znaniya.guru/matematika/bissektrisa-treugolnika.html

§ 5. Как находить высоты и биссектрисы треугольника?

  1. § 5. Как находить высоты и биссектрисы треугольника?

  2. ПРИМЕР 1.Катеты прямоугольного треугольника равны 15 и 8. Найдите высоту, опущенную на гипотенузу. ПРИМЕР 2. Дан треугольник со сторонами а, bи b. Найдите высоту, опущенную на сторону, равную Ь.

  3. ПРИМЕР 3.Дан треугольник со сторонами 13,14,15. Найдите высоту, проведённую к большей стороне. 1способ «площадной» подход

  4. ПРИМЕР 3.Дан треугольник со сторонами 13,14,15. Найдите высоту, проведённую к большей стороне. 2способ Уравнение на основе теоремы Пифагора x 15-x

  5. ПРИМЕР 3.Дан треугольник со сторонами 13,14,15. Найдите высоту, проведённую к большей стороне. 3способ По теореме косинусов + основное тригонометрическое тождество + формула площади по двум сторонам и углу между ними 4 способ По теореме косинусов + решение прямоугольного треугольника АВН

  6. Задача 5 из диагностической работы Две стороны треугольника равны 3 и 6, а угол между ними равен 60°. Найдите биссектрису треугольника, проведённую из вершины этого угла. «площадной» подход 1 способ =

  7. Задача 5 из диагностической работы Две стороны треугольника равны 3 и 6, а угол между ними равен 60°. Найдите биссектрису треугольника, проведённую из вершины этого угла. 2 способ +- 2AC·AB·cosA ∆ABC-прямоугольный =>∆ADC-прямоугольный

  8. Задача 5 из диагностической работы Две стороны треугольника равны 3 и 6, а угол между ними равен 60°. Найдите биссектрису треугольника, проведённую из вершины этого угла. 3 способ CD:DB=AC:AB – свойство биссектрисы треугольника +теорема косинусов +- 2AC·AB·cosA

  9. Задача 5 из диагностической работы Две стороны треугольника равны 3 и 6, а угол между ними равен 60°. Найдите биссектрису треугольника, проведённую из вершины этого угла. 4 способ Метод координат + уравнение прямой 5 способ Уравнение прямой ВС по координатам двух точек Уравнение прямой AD по началу координат и угловому коэффициенту AD=

  10. Задача 5 из диагностической работы Две стороны треугольника равны 3 и 6, а угол между ними равен 60°. Найдите биссектрису треугольника, проведённую из вершины этого угла. Доделать??? ? способ Метод координат + уравнение прямой Уравнение вс ПРИ У=0

  11. Задача 5 из диагностической работы Две стороны треугольника равны 3 и 6, а угол между ними равен 60°. Найдите биссектрису треугольника, проведённую из вершины этого угла. К 6 способ дополнительные построения + подобие треугольников 1. ∆ACK- равнобедренный => AK 2. ∆CDK~ ∆ADB, k=0,5 => AD

  12. ПРИМЕР 4. Стороны треугольника равны а и Ь, а угол между ними равен у. Найдите биссектрису треугольника, проведённую из вершины этого угла.

  13. ПРИМЕР 5.Вычислите биссектрису треугольника ABC, проведённую из вершины А, если ВС = 18, АС = 15, АВ = 12. Свойство биссектрисы + теорема косинусов 18 Ответ: 10

  14. ПРИМЕР 5.Вычислите биссектрису треугольника ABC, проведённую из вершины А, если ВС = 18, АС = 15, АВ = 12. 2 способ по формуле для квадрата биссектрисы. Утверждение. Квадрат биссектрисы треугольника равен произведению сторон, её заключающих, без произведения отрезков третьей стороны, на которые она разделена биссектрисой. 18 Ответ: 10

  15. Утверждение. Квадрат биссектрисы треугольника равен произведению сторон, её заключающих, без произведения отрезков третьей стороны, на которые она разделена биссектрисой.

  16. ПРИМЕР 5.Вычислите биссектрису треугольника ABC, проведённую из вершины А, если ВС = 18, АС = 15, АВ = 12. 2 способ ВК=12/27 от18; BK= 8. СК = ВС — ВК = 18 — 8 = 10. По формуле для квадрата биссектрисы треугольника находим, что АК² =АВ·АС-ВК·СК= 12·15-8·10 = 180-80= 100. 18 Ответ: 10

  17. 8 подготовительных задач5.1. Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 12 и 20 соответственно. Найдите высоту, проведённую из вершины прямого угла. 5.2.

    Найдите высоту прямоугольного треугольника, опущенную на гипотенузу, если известно, что основание этой высоты делит гипотенузу на отрезки, равные 1 и 4. 5.3.

    Высота равнобедренного треугольника, опущенная на боковую сторону, разбивает её на отрезки, равные 2 и 1, считая от вершины треугольника. Найдите эту высоту.

  18. 8 подготовительных задач5.4. Стороны треугольника равны 10,17 и 21. Найдите высоту треугольника, проведённую из вершины наибольшего угла.5.5. В треугольнике ABC известно, что АВ = а, АС = b, ABAC = 120°. Найдите биссектрису AM. 5.6. Катеты прямоугольного треугольника равны а и Ь. Найдите биссектрису треугольника, проведённую из вершины прямого угла.

  19. 8 подготовительных задач5.7. В треугольнике ABC известно, что АВ = 8, АС = 6, ∠BAC = 60°. Найдите биссектрису AM.5.8. Найдите высоту трапеции, боковые стороны которой равны 6 и 8, а основания равны 4 и 14.

Источник: https://www.slideserve.com/hope-meyers/5

Ссылка на основную публикацию