Как найти высоту в правильной пирамиде

Как найти высоту в правильной пирамиде

Высота основания в пирамиде – тема, на которую часто попадаются задачи на экзаменах и в старших классах. Решать такие задачи просто, если понимать принцип решения и знать формулы.

В нашей статье, вы без лишних формул и теории сможете понять, как решать задачи на нахождение высоты в пирамиде. Обратите внимание, что в разделе «формулы» отсутствуют все формулы правильной пирамиды, так как наша цель – научить решать задачи на нахождение высоты.

Содержание этой статьи:

Это интересно: Как оформлять реферат в школе по ГОСТу + образец титульного листа 2019

вернуться к меню ↑

Правильная пирамида имеет в основании многоугольник, а высота проходит через центр основания. Боковые грани – равнобедренные треугольники. Напомним, что в равнобедренном треугольнике две стороны равны, следовательно, боковые ребра в правильной пирамиде тоже равны. Многоугольник в основании правильный, т.е. его стороны равны.

Для решения задач понадобится знать теоремы равнобедренного треугольника:

Как найти высоту в правильной пирамиде

Равнобедренный треугольник

вернуться к меню ↑

1В правильную пирамиду можно вписать и описать сферу, так как при пересечении диагоналей, основание делится на равные части. Сферу нельзя вписать в любую фигуру.

2Площадь боковой поверхности – половина произведения периметра основания на апофему. Апофема есть на каждой грани, а не только на одной.

Как найти высоту в правильной пирамиде

Пирамида

вернуться к меню ↑

В основании – многоугольник; остальные грани – треугольники, соединяющиеся в общей вершине.

Как найти высоту в правильной пирамиде

Четырехугольная пирамида

вернуться к меню ↑

Как решать задачи по математике 5 класс

В качестве основания можно рассматривать любую грань. Вся фигура состоит из треугольников.

Как найти высоту в правильной пирамиде

Треугольная пирамида

вернуться к меню ↑

1Нужно понимать, что из себя представляют треугольники: свойства, формулы, определение. Большинство задач решается через треугольники (боковые грани).

2Понимать, что такое сечение и как оно влияет на геометрическую фигуру.

3Что такое правильные многоугольники: виды, свойства, формулы.

Когда теория закреплена, можно переходить к формулам.

вернуться к меню ↑Как найти высоту в правильной пирамиде

Формулы

Запомните, что маленькая буква h – это апофема, а большая H – высота.

В некоторых задачах, высоту можно найти через объем:

Как найти высоту в правильной пирамиде

Объем пирамиды

вернуться к меню ↑

Нахождение высоты в правильной пирамиде

Ниже будут представлены текстовые решения часто встречающихся задач.

вернуться к меню ↑Как найти высоту в правильной пирамиде

Треугольная пирамида

Задача 1

В правильной треугольной пирамиде DBAC с вершиной D биссектрисы треугольника BAC пересекаются в точке N. Площадь треугольника BAC равна 4; объем пирамиды равен 12. Найдите длину отрезка DN.

  • DN – высота, следовательно, объем фигуры можно выразить по формуле:
  • DN = 3V/S основания = 3*12/4 = 9
  • Ответ: 9
  • Задача 2

DBAC – медианы основания BAC. Они пересекаются в точке N. Площадь ΔBAC равна 18, V = 20; найдите высоту.

  1. Пользуясь формулой объема, получается:
  2. DN = 3V/S ΔBAC = 3*36/18 = 108/18 = 6
  3. Ответ: 6

вернуться к меню ↑Как найти высоту в правильной пирамиде

Четырехугольная пирамида

Задача 1

Найдите высоту пирамиды, если ML = 10, а DC = 12. В основании квадрат.

  • ML – это апофема, сторона нам известна, следовательно, можно применить формулу для нахождения OL:
  • OL = ½*12 = 6
  • Известно, что MOL – прямоугольный угол. Применим теорему Пифагора:
  • MO ² = √ML ² — √OL ² = √100- √36 = √64
  • MO = 8
  • Задача 2
  • Известно, что диагональ AC = 20, ML = 10, а сторона DC = 12; найдите MO правильной четырехугольной пирамиды.
  • Найдем OL

В основании фигуры – квадрат, стороны и углы которого равны. Значит, половина диагонали = 10. Рассмотрим треугольник LOC, он – прямоугольный. Из исходных данный ясно, что LC = 6 (в равнобедренном треугольнике, высота, проведенная из вершины, делит основание на 2 равные части – это свойство р/б треугольника).

  1. Пользуясь теоремой Пифагора, находим OL:
  2. OL² = √OC² — √LC² = √100 – √36 = √64 = 8
  3. Задача 3
  4. Ищем MO
  5. Пользуясь той же теоремой, находим высоту:
  6. MO² = √ML² – √OL² = 100 – 64 = 36
  7. Ответ: 36
  8. Задача 4

Известно, что в основании ABCD, AB=CD=BC=AD. Треугольник DMC имеет площадь 36см, DC = 4, OL = 6. Определите тип фигуры и найдите высоту.

Исходя из информации про основание, мы сделали вывод, что перед нами правильная пирамида – стороны основания равны. Следовательно, перед нами четырехугольная правильная пирамида.

https://www.youtube.com/watch?v=HDfThSrvLIs

Из первого вывода следует, что боковые грани – равнобедренные треугольники, а высота и медиана этих треугольников – апофема. Пользуясь формулами, найдем высоту.

Как найти высоту в правильной пирамиде

Площадь равнобедренного треугольника

  • 36 = ½ * 4 *h
  • 36 = 2h
  • H = 18

Теперь у нас есть апофема, а OL нам было уже давно. MOL – прямоугольный треугольник, 2 стороны которого, мы уже знаем. Следовательно, мы можем посчитать высоту.

MO = ML – OL = 18 – 6 = 12

Ответ: 12

вернуться к меню ↑ вернуться к меню ↑

1Как понять, что пирамида правильная, если в условии это не указано?

Часто в задании не указывают какой тип фигуры, чтобы человек сам догадался и применил нужные формулы. Понять какой тип фигуры легко – начните решение задачи с рассмотрения основания и заучивания свойств фигуры.

Зная определения и свойства, определить тип фигуры очень легко.

2Могут ли быть указаны в задании лишние данные?

Чтобы решать задачи, человек должен включать логику, а не подставлять исходные числа в знакомые формулы. С этим расчетом, в некоторых задачах умышленно добавляют лишние данные, которые могут даже не использоваться при решении. Чаще такое встречается в задачах на ЕГЭ.

3Обязательно ли оформлять высоту большой буквой H? Нужно ли выделять апофему?

Для удобства, человек может не выделять отдельно высоту, а сразу писать, например, BE (если B – вершина, а E – основание). То же с апофемой. Важно, чтобы сам человек осознавал, что это за линия и как ее использовать в решении.

4Как можно быстро изучить стереометрию?

Ключ к пониманию стереометрии – умение визуализировать объекты в пространстве. Если в дополнение к этому умению, знать формулы, свойства и теорию – задачи будут решаться быстро и безошибочно.

  1. 4Как искать высоту, если известен объем?
  2. Если выразить высоту через формулу объема, то получится следующее:
  3. H = (3*V)/ S;

Пример: объем пирамиды равен 70 куб. см., а площадь боковых граней – 30см²

H = 3*70/30 = 7см

вернуться к меню ↑ вернуться к меню ↑Незнание темы

Когда человек не знает, где находится апофема и что для нее есть определенные формулы, задачу может и можно решить, но тогда необходимо выполнить в 2 раза большей действий.

То же обстоит с теорией – если человек не знает свойства многоугольников, то и решить задание он не сможет. Для того, чтобы понимать геометрию, не нужно обладать особенными способностями.

Даже при отсутствии способностей к математике, зная теорию, вы будете понимать геометрию.

Отсутствие проверки

Хотите потерять балл на ЕГЭ? – не перепроверяйте решения. Часто, задания решаются хаотично и на листе бумаге разные решения намешаны в кучу. Когда приходит время написать ответ, человек по невнимательности либо забывает выполнить последнее действие, либо вписывает не тот ответ.Решайте задачи по действиям, проставляйте пункты и делайте проверку ответа, каким бы он ни был.

Задачи под копирку

Решая сотни аналогичных задач, человек настолько привыкает, что теряет бдительность, игнорируя многие исходные данные. Придя на экзамен, в задании может быть вопрос с подвохом и человек ошибается в теме, которую он знал идеально. Помните, к каждой задаче нужен индивидуальный подход, как бы хорошо вы в ней не разбирались.

Запись

Структурируйте решения, прописывая каждое действие и каждый полученный вывод. Это необходимо для того, чтобы не запутаться. Решая задания хаотично, можно легко записать неправильное число, не тот ответ, подставить не те числа, и задача уже решена неверно. Обидно получать низкий балл из-за невнимательности.

Подсчеты в уме

На экзамене все нервничают и переживают, а потому зарабатывают баллы ниже, чем планировалось изначально. Когда человек нервничает, уровень концентрации и внимания резко снижается. Он может упустить что-то важное, не поставить запятую или запутаться в ходе размышлений.Считая примеры в столбик, вы обезопасите себя от глупых ошибок.

Незнание структуры экзамена

Очень обидные ошибки допускают люди, пересдающие ЕГЭ через несколько лет, либо обучающиеся в экстернате. Как правило, они плохо знакомы с процедурой заполнения бланков и внесения ответов.Заполнение бланков для части А и С – различно.

Внимательно посмотрите, как необходимо их заполнять, так как неправильное внесение ответа (например, запятая и число в одной клетке) будет приравниваться к ошибке и ответ будет не засчитан.

Также, если вы самостоятельно готовитесь к экзамену, учитесь рассчитывать время на каждое задание.

Поспешные решения

В случае, если ответ был записан с ошибкой, его можно внести в графе ниже, заменив неправильный ответ на правильный. Однако, клетки для внесения результатов ограничены в количестве, а заданий в общей сложности 19!Несколько раз перепроверьте ответы, прежде чем внести их в бланк ответов.

Незнание степеней числа

Читайте также:  Как проверить счет на карточке сбербанка

В теореме Пифагора будут использованы не только маленькие числа (до 10). В профильной математике, могут быть крупные числа, которые тяжело посчитать в столбик.Также, степени числа могут понадобиться для других заданий. Выучите значение чисел в квадрате и кубе от 1 до 20. Помните, что на профильном экзамене, пользовать методической таблицей нельзя!

вернуться к меню ↑ вернуться к меню ↑

  • Если в задаче указан объем – ищите высоту через него.
  • Делите равнобедренные треугольники на прямоугольные – так быстрее и проще решить задачу.
  • Учите квадратные корни чисел – так, вы будете быстрее справляться с теоремой Пифагора.
  • Не кидайтесь сразу к решению – изучите исходные данные и сделайте правильные выводы.
  • Если в заданиях получаются слишком крупные числа (от 1000), то перепроверьте решение – вероятно, вы допустили ошибку. В заданиях в учебнике и на экзамене практически не используются крупные числа.

6.5 Общий Балл

Чтобы успешно решить задачу для нахождения высоты пирамиды, достаточно знать теорию и формулы. Добавив к своим знаниям немного практики и внимательности, вы легко и быстро будете решать подобные задачи!
Если вы не согласны с рейтингом статьи, то просто поставьте свои оценки и аргументируйте их в комментариях. Ваше мнение очень важно для наших читателей. Спасибо!

Плюсы

  • Благодаря доступной информации можно легко научиться решать задачи по геометрии

Минусы

  • Необходимы знания математики

Добавить свой отзыв

Источник: https://slovami.net/najti-vysotu-v-piramide/

Объём правильной пирамиды

Как найти высоту в правильной пирамиде

Объём правильной пирамиды. Продолжаем рассматривать задачи с пирамидами. На блоге уже рассмотрены задания с правильными пирамидами, в этих статьях шла речь о нахождении элементов и площади поверхности. Здесь разберём примеры связанные с понятием объёма. Для решения подобных заданий обязательно нужно знать формулу объёма пирамиды:

  • Как найти высоту в правильной пирамиде
  • Как найти высоту в правильной пирамиде
  • S – площадь основания пирамиды 
  • h – высота пирамиды

Основанием может быть любой многоугольник. Но в большинстве задач на ЕГЭ речь в условии, как правило, идёт о правильных пирамидах. Напомню одно из её свойств:

Вершина правильной пирамиды проецируется в центр её основания

  1. Посмотрите на  проекцию правильной треугольной, четырёхугольной и  шестиугольной пирамид (ВИД СВЕРХУ):
  2. Как найти высоту в правильной пирамиде
  3. Можете посмотреть ещё одну статью на блоге, где разбирались задачи связанные с нахождением объёма пирамиды. Рассмотрим задачи:
  4. Как найти высоту в правильной пирамиде

27087. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1, а высота равна корню из трёх.

  • Как найти высоту в правильной пирамиде
  • Объём пирамиды вычисляется по формуле:
  • Как найти высоту в правильной пирамиде
  • S – площадь основания пирамиды
  • h – высота пирамиды
  • Найдём площадь основания пирамиды, это правильный треугольник. Воспользуемся формулой – площадь треугольника равна половине произведения соседних сторон на синус угла между ними, значит:
  • Как найти высоту в правильной пирамиде
  • Таким образом, объём пирамиды равен:
  • Как найти высоту в правильной пирамиде
  • Ответ: 0,25
  • Как найти высоту в правильной пирамиде

27088. Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 2, а объем равен корню из трёх.

  1. Такие понятия как высота пирамиды и характеристики её основания связаны формулой объёма:
  2. S – площадь основания пирамиды
  3. h – высота пирамиды

Сам объём нам известен, площадь основания можем найти, так как известны стороны треугольника, который является основанием. Зная указанные величины без труда найдём высоту.

  • Для нахождения площади основания воспользуемся формулой – площадь треугольника равна половине произведения соседних сторон на синус угла между ними, значит:
  • Таким образом, подставив данные значения в формулу объема можем вычислить высоту пирамиды:
  • Высота равна трём.
  • Ответ: 3

27109. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 6, боковое ребро равно 10. Найдите ее объем.

  1. Объём пирамиды вычисляется по формуле:
  2. S – площадь основания пирамиды
  3. h – высота пирамиды

Высота нам известна. Необходимо найти площадь основания. Напомню, что вершина правильной пирамиды проецируется в центр её основания. Основанием правильной четырёхугольной пирамиды является квадрат. Мы можем найти его диагональ. Рассмотрим прямоугольный треугольник (выделен синим):

  • Отрезок соединяющий центр квадрата с точкой В это катет, который равен половине диагонали квадрата. Этот катет можем вычислить по теореме Пифагора:
  • Значит BD = 16. Вычислим площадь квадрата воспользовавшись формулой площади четырёхугольника:
  • Следовательно:
  • Таким образом, объём пирамиды равен:
  • Ответ: 256

27178. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 12, объем равен 200. Найдите боковое ребро этой пирамиды.

Высота пирамиды и её и объём известны, значит можем найти площадь квадрата, который является основанием. Зная площадь квадрата, мы сможем найти его диагональ. Далее рассмотрев прямоугольный треугольник по теореме Пифагора  вычислим боковое ребро:

  1. Найдём площадь квадрата (основания пирамиды):
  2. Вычислим диагональ квадрата. Так как его площадь равна 50, то сторона будет равна корню из пятидесяти и по теореме Пифагора:
  3. Точка О делит диагональ BD пополам, значит катет прямоугольного треугольника ОВ = 5.
  4. Таким образом, можем вычислить чему равно боковое ребро пирамиды:
  5. Ответ: 13

245353. Найдите объем пирамиды, изображенной на рисунке. Ее основанием является многоугольник, соседние стороны которого перпендикулярны, а одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания и равно 3.

  • Как уже неоднократно было сказано –  объём пирамиды вычисляется по формуле:
  • S – площадь основания пирамиды
  • h – высота пирамиды
  • Боковое ребро перпендикулярное основанию равно трём, это означает, что высота пирамиды равна трём. Основания пирамиды –  это многоугольник, площадь которого равна:
  • Таким образом:
  • Ответ: 27

27086. Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 3 и 4. Ее объем равен 16. Найдите высоту этой пирамиды.

Посмотреть решение

27110. Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 600. Высота пирамиды равна 6. Найдите объем пирамиды.

Посмотреть решение

27111. Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно 3. Найдите объем пирамиды.

Посмотреть решение

27113. Объем треугольной пирамиды SABC, являющейся частью правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF, равен 1. Найдите объем шестиугольной пирамиды.

Посмотреть решение

27114. Объем правильной четырехугольной пирамиды SABCD равен 12. Точка E — середина ребра SB. Найдите объем треугольной пирамиды EABC.

Посмотреть решение

27176. Найдите объем пирамиды, высота которой равна 6, а основание — прямоугольник со сторонами 3 и 4.

Посмотреть решение

27179. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 2, боковое ребро равно 4. Найдите объем пирамиды.

Посмотреть решение

27181. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 4, а угол между боковой гранью и основанием равен 450. Найдите объем пирамиды.

Посмотреть решение

На этом всё. Успеха Вам!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Источник: https://matematikalegko.ru/piramidi/obyom-pravilnoj-piramidy.html

Как найти высоту в правильной пирамиде

Пирамида представляет собой многогранник, в основании которого лежит многоугольник, а грани его представляют собой треугольники, обладающие общей вершиной.

Для правильной пирамиды справедливо то же определение, но в основании ее лежит правильный многоугольник.

Под высотой пирамиды подразумевается отрезок, который проведен от вершины пирамиды к основанию, и этот отрезок перпендикулярен ему. Найти высоту в правильной пирамиде очень легко.

Вам понадобится

  • В зависимости от ситуации, знать объем пирамиды, площадь боковых граней пирамиды, длину ребра, длину диаметра многоугольника в основании.

Инструкция

Одним из способов найти высоту пирамиды, и не только правильной – это выразить ее через объем пирамиды. Формула, с помощью которой можно узнать ее объем, выглядит так:V = (S*h)/3, где S – площадь всех боковых граней пирамиды в сумме, h – высота данной пирамиды.Тогда из этой формулы можно вывести другую, для нахождения высоты пирамиды:h = (3*V)/S

К примеру, известно, что площадь боковых граней пирамиды 84 см², а объем пирамиды равен 336 куб.см. Тогда найти высоту можно так:

h = (3*336)/84 = 12 см

Ответ: высота данной пирамиды 12 см

Рассматривая правильную пирамиду, в основании которой лежит правильный многоугольник, можно прийти к выводу, что треугольник, образованный высотой, половиной диагонали и одной из граней пирамиды, представляет из себя прямоугольный треугольник (например, это треугольник АEG на рисунке выше). Согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (a² = b² + c²). В случае с правильной пирамидой, гипотенуза – это грань пирамиды, один из катетов – половина диагонали многоугольника в основании, а другой катет – высота пирамиды. В таком случае, зная длину грани и диагонали, можно вычислить и высоту. В качестве примера можно рассмотреть треугольник AEG:AE² = EG²+GA²Отсюда высоту пирамиды GA можно выразить так:

Читайте также:  Как развестись в загсе в 2017 году

GA = √(AE²-EG²).

Чтобы было более понятно, как находить высоту правильной пирамиды, можно рассмотреть пример: в правильной пирамиде длина грани 12 см, длина диагонали многоугольника в основании – 8 см. Исходя из этих данных, требуется найти длину высоты этой пирамиды.Решение: 12² = 4² + c², где с – неизвестный катет (высота) данной пирамиды (прямоугольного треугольника).144 = 16 + 128

Таким образом, высота данной пирамиды √128 или, приблизительно, 11.3 см

Источники:

  • правильная четырехугольная пирамида найти высоту
  • Решение заданий С2 ЕГЭ по математике

Пирамида – сложное геометрическое тело. Оно образовано плоским многоугольником (основание пирамиды), точкой, не лежащей в плоскости этого многоугольника (вершина пирамиды) и всех отрезков, которые соединяют точки основания пирамиды с вершиной. Как же найти площадь пирамиды?

Как найти высоту в правильной пирамиде

Вам понадобится

  • линейка, карандаш и бумага

Инструкция

Площадь боковой поверхности любой пирамиды равна сумме площадей её боковых граней.

Т.к. все боковые грани пирамиды треугольники, то надо найти сумму площадей всех этих треугольников. Площадь треугольника вычисляется путем умножения длины основания треугольника на длину его высоты.

Как найти высоту в правильной пирамиде Основанием пирамиды является многоугольник. Если данный многоугольник поделить на треугольники, то площадь многоугольника просто вычислить как сумму площадей получившмхся при делении треугольников по уже известной нам формуле. Найдя сумму площадей боковой поверхности пирамиды и основания пирамиды, можно найти общую площадь поверхности пирамиды. Для вычислений площади правильной пирамиды пользуются специальной формулой.Пример:

Перед нами правильная пирамида. В основании находится правильный n-угольник со стороной а. Высота боковой грани – h (кстати, имеет название апофема пирамиды). Площадь каждой боковой грани равна 1/2ah.

Вся боковая поверхность пирамиды имеет площадь n/2ha, вычисляем путем сложения площадей боковых граней. na – это периметр основания пирамиды.

Площадь этой пирамиды найдем так: произведение апофемы пирамиды и половины периметра её основания равно площади боковой поверхности правильной пирамиды.

Что касается площади полной поверхности, то просто к боковой прибавляем площадь основания, по принципу, рассмотренному выше.

Источники:

  • http://www.pm298.ru/stereom.php

Пирамида представляет собой многогранник, в основании которого лежит многоугольник, в то время как все остальные грани представляют собой треугольники, у которых есть общая вершина.Объем пирамиды рассчитывается по общей формуле.

Как найти высоту в правильной пирамиде

Вам понадобится

  • -Площадь грани – основания пирамида;
  • -Высота пирамиды.

Инструкция

Пускай в основании пирамиды лежит многоугольник площадью S, а высота, опущенная из вершины пирамиды к ее основанию, будет равна h. Тогда объем пирамиды будет рассчитан по формуле:V = (S*h)/3.

Пример. Дана пирамида ABCDE, в основании которой лежит четырехугольник ABCD площадью 36 кв.см., а длина высоты EK 20 см. Тогда, пользуясь формулой объема пирамиды, ее объем составит:V = (36*20)/3 = 240 кубических сантиметров.

Видео по теме

Пирамида – это один из частных случаев конуса. Эта пространственная фигура образуется боковыми поверхностями, одна из которых (основание) может иметь любое число углов.

Все остальные грани полноразмерной, то есть не усеченной пирамиды, представляют собой треугольники, имеющие с основанием две, а с любой другой боковой гранью не меньше одной общей вершины.

Объем пространства, ограниченного такой геометрической фигурой, можно рассчитать несколькими способами.

Как найти высоту в правильной пирамиде

Инструкция

Если в исходных условиях задачи присутствуют данные о площади основания пирамиды (S) и ее высоте (h), то вам повезло – есть возможность воспользоваться самой простой из формул вычисления объема (V) этой объемной фигуры. Перемножьте оба известных значения, а результат поделите на три: V= S*h. Если площадь основания не известна, то определите ее, исходя из формул для соответствующих многогранников. Для определения площади основания правильной треугольной формы рассчитайте четверть от произведения квадратного корня из тройки на возведенную в квадрат длину ребра (a) основания. Полученный результат умножьте на треть от высоты (h) пирамиды и ее объем (V) будет найден: V = ¼*√3*a²*⅓*h = √3*a²*h/12.

Если в основании этой объемной фигуры лежит прямоугольник, то сначала найдите его площадь, перемножив длины двух смежных ребер (a и b) основания. Затем, как обычно, умножьте площадь основания на треть от высоты (h) этого многогранника и получите его объем (V): V=⅓*a*b*h.

Используйте такой же алгоритм для нахождения объемов пирамид с основаниями любой другой геометрической формы – вычисляйте площадь основания и умножайте его не одну третью часть высоты фигуры.

Для вычисления объема усеченной пирамиды вам необходимо вычислить площади как основания этой фигуры (S₁), так и ее сечения (S₂). Полученные результаты сложите между собой, а затем прибавьте квадратный корень из произведения этих двух площадей.

В заключение получившееся число умножьте на треть высоты (h) пирамиды – на этом нахождение объема (V) будет завершено.

В общем виде формулу нахождения объема усеченной пирамиды при известных площадях двух ее параллельных плоскостей можно записать так: V=⅓*h*√(S₁+S₂+(S₁*S₂)).

Под площадью пирамиды обычно понимается площадь ее боковой или полной поверхности. В основании данного геометрического тела лежит многоугольник. Боковые грани имеют треугольную форму. У них есть общая вершина, которая одновременно является и вершиной пирамиды.

Как найти высоту в правильной пирамиде

Вам понадобится

  • – лист бумаги;
  • – ручка;
  • – калькулятор;
  • – пирамида с заданными параметрами.

Инструкция

Рассмотрите данную в задании пирамиду. Определите, правильный или неправильный многоугольник лежит в ее основании. У правильного все стороны равны. Площадь в этом случае равна половине произведения периметра на радиус вписанной окружности. Найдите периметр, умножив длину стороны l на количество сторон n, то есть P=l*n. Выразить площадь основания можно формулой Sо=1/2P*r, где P – периметр, а r – радиус вписанной окружности. Периметр и площадь неправильного многоугольника вычисляются иначе. Стороны имеют разную длину. Чтобы посчитать периметр, необходимо сложить все отрезки, ограничивающие основание. Для вычисления площади выполните дополнительное построение. Разделите неправильный многоугольник на фигуры, параметры которых вам известны, а площадь вы легко можете найти, используя наиболее распространенные формулы и тригонометрические функции. Боковая поверхность пирамиды представляет собой сумму всех боковых граней. У правильной пирамиды высота падает в центр лежащего в основании правильного многоугольника. Для наглядности очень полезно построить высоты самой пирамиды и одной из ее боковых сторон. Точку пересечения второй высоты с нижней гранью соедините с центром основания. У вас в любом случае получится прямоугольный треугольник, в котором вам необходимо вычислить гипотенузу, одновременно являющуюся и высотой боковой грани. Сделайте это, используя известные вам параметры (например, высоту пирамиды и радиус вписанной в многоугольник основания окружности). Как найти высоту в правильной пирамиде

Зная высоту боковой грани правильной пирамиды, вычислите площадь боковой поверхности. Она равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани, то есть вычислить ее можно по формуле Sб=1/2P*h, где P – уже известный вам периметр, а h – высота боковой грани.

Вычисление боковой поверхности неправильной пирамиды потребует от вас несколько больших затрат времени. Она равна сумме площадей всех боковых граней. Вспомните, чему равна площадь треугольника. Ее можно найти по формуле S=1/2l*h, то есть полупроизведению основания треугольника на его высоту.

Найдите площадь полной поверхности пирамиды. Для этого сложите уже известные вам площади основания и боковой поверхности.

Задачи на определение каких-либо параметров многогранников, конечно, могут вызвать затруднение. Но, если немного подумать, становится понятно, что решение сводится к рассмотрению свойств отдельных плоских фигур, из которых и состоит данное геометрическое тело.

Как найти высоту в правильной пирамиде

Инструкция

Пирамида – это многогранник, в основании которого лежит многоугольник. Боковые грани представляют собой треугольники с общей вершиной, которая является одновременно вершиной пирамиды. Если в основании пирамиды лежит правильный многоугольник, т.е. такой, у которого все углы и все стороны равны, то пирамида называется правильной. Поскольку в условии задачи не указывается, какой именно многогранник следует рассматривать в данном случае, можно считать, что имеет место правильная n-угольная пирамида.

В правильной пирамиде все ребра равны между собой, все грани – равные равнобедренные треугольники. Высотой пирамиды является перпендикуляр, опущенный из вершины на ее основание.

Нахождение высоты пирамиды зависит от того, что дано в условии задачи. Применяйте формулы, в которых для нахождения каких–либо параметров пирамиды используется ее высота. К примеру, дано: V – объем пирамиды; S – площадь основания. Используйте формулу нахождения объема пирамиды V=SH/3, где H – высота пирамиды. Отсюда следует: H=3V/S.

Двигаясь в том же направлении, следует отметить, что если площадь основания не дана, ее в некоторых случаях можно найти по формуле нахождения площади правильного многоугольника.

Введите обозначения:р – полупериметр основания (полупериметр легко найти, если известно число сторон и величина одной стороны);h – апофема многоугольника (апофемой называется перпендикуляр, опущенный из центра многоугольника на любую из его сторон); а – сторона многоугольника;n – число сторон.Таким образом, p=an/2, а S=ph= (an/2)h. Откуда следует: H=3V/ (an/2) h.

Читайте также:  Как научиться работать с компьютером

Разумеется, существует множество других вариантов. К примеру, дано:h – апофема пирамиды;n – апофема основания;H – высота пирамиды.Рассмотрите фигуру, образованную высотой пирамиды, ее апофемой и апофемой основания.

Она представляет собой прямоугольный треугольник. Решите задачу с помощью всем известной теоремы Пифагора. Применительно к данному случаю можно записать: h²=n²+H², откуда H²=h²-n².

Вам остается лишь извлечь квадратный корень из выражения h²-n².

Распечатать

Как найти высоту в правильной пирамиде

Источник: https://www.kakprosto.ru/kak-59728-kak-nayti-vysotu-v-pravilnoy-piramide

Высота пирамиды: определение, формулы, расчеты

Одной из объемных фигур, изучаемых в курсе пространственной геометрии, является пирамида. Важной характеристикой этой фигуры является ее высота. В статье дадим определение высоты пирамиды и приведем формулы, через которые она связана с другими линейными характеристиками.

Что собой представляет пирамида

Под пирамидой понимают геометрическую фигуру пространственную, которая получается в результате соединения всех углов многоугольника с одной точкой пространства. Рисунок ниже демонстрирует расположение линий (ребер) для четырехугольной и пятиугольной пирамид.

Как найти высоту в правильной пирамиде

Многоугольная грань фигуры называется ее основанием. Точка, где все треугольные грани соединяются, называется вершиной. Для определения высоты пирамиды отмеченные элементы являются важными.

Высота фигуры

Высотой пирамиды называется перпендикуляр, который из ее вершины опущен на плоскость основания. Важно понимать, что из каждой вершины, принадлежащей основанию фигуры, тоже можно провести перпендикуляр к соответствующей треугольной грани, однако он высотой не будет являться. Высота пирамиды – это единственный перпендикуляр, который является одной из важных ее линейных характеристик.

Каждому школьнику известно, что любая плоская фигура обладает геометрическим центром (в физике ему соответствует центр масс).

Например, геометрический центр для произвольного треугольника определяется точкой пересечения его медиан, для параллелограмма – точкой пересечения диагоналей.

Если высота пирамиды пересекает ее основание в геометрическом центре, то фигура называется прямой. Пирамида прямая, имеющая в основании многоугольник с одинаковыми сторонами и углами, называется правильной.

Как найти высоту в правильной пирамиде

Рисунок выше показывает, чем отличается неправильная пирамида от правильной. Видно, что высота неправильной фигуры лежит за пределами ее основания, в то время как у правильной шестиугольной пирамиды высота находится внутри фигуры, пересекая ее основание в центре геометрическом.

Важными свойствами всех правильных пирамид являются следующие:

  • все боковые грани представляют собой равнобедренные треугольники и равны друг другу;
  • длины боковых ребер и апофем являются одинаковыми.

Формулы для высоты правильной пирамиды

Существует четыре основных линейных характеристики для любой пирамиды правильной:

  • сторона основания;
  • боковое ребро;
  • апофема боковой грани;
  • высота фигуры.

Все они связаны математически друг с другом. Обозначим длину стороны основания символом a, высоту – h, апофему – hb и ребро – b. Формулы, которые эти величины связывают, имеют индивидуальный вид для соответствующей n-угольной пирамиды. Например, для правильной пирамиды четырехугольной высоту можно определить по формулам:

h = √(ab2 – a2/4);h = √(b2 – a2/2).

Эти формулы следуют из теоремы Пифагора при рассмотрении соответствующих прямоугольных треугольников внутри пирамиды.

Если рассматривается фигура с треугольным основанием, тогда справедливы следующие формулы для высоты правильной пирамиды:

h = √(ab2 – a2/12);h = √(b2 – a2/3).

Решение задачи с шестиугольной пирамидой

Предположим, что нам дана пирамида правильная с шестиугольным основанием. Известно, что высота основания пирамиды равна 13 см. Зная, что длина ее бокового ребра равна 10 см, необходимо вычислить объем и высоту правильной шестиугольной пирамиды.

Рисунок ниже показывает, как выглядит правильный шестиугольник.

Как найти высоту в правильной пирамиде

Расстояние между любыми его двумя параллельными сторонами называется высотой. Не сложно показать, что эта высота ha связана с длиной стороны фигуры следующей формулой:

ha = a*√3

Подставляя в выражение значение ha, находим, что сторона основания a равна 7,51 см.

Как найти высоту в правильной пирамиде

Высоту h фигуры можно определить, если рассмотреть прямоугольный треугольник, находящийся внутри пирамиды и состоящий из двух катетов (высота пирамиды и половина диагонали шестиугольного основания) и гипотенузы (боковое ребро). Тогда значение h будет равно:

h = √(b2 – a2) = √(100 – 56,4) = 6,6 см.

Объем пирамиды определяется как третья часть от произведения высоты фигуры на площадь ее основания. Площадь правильного шестиугольника равна:

S6 = n/4*a2*ctg(pi/n) = 6/4*a2*ctg(pi/6) = 3*√3/2*a2 = 3*√3/2*56,4 ≈ 146,53 см2.

Использованная для вычисления S6 формула является универсальной для произвольного правильного n-угольника.

Для определения объема фигуры остается подставить в соответствующую формулу найденные параметры:

V = 1/3*h*S6 = 1/3*6,6*146,53 = 322,366 см3.

Мы получили значение высоты пирамиды и рассчитали ее объем. Таким образом, поставленная задача решена.

Источник: https://www.navolne.life/post/vyisota-piramidyi-opredelenie-formulyi-raschetyi

Как найти высоту пирамиды?

Треугольная пирамида – это пирамида, в основе которой находится треугольник. Высота этой пирамиды – это перпендикуляр, который опущен из вершины пирамиды на ее основания.

Нахождение высоты пирамиды

Как найти высоту пирамиды? Очень просто! Для нахождения высоты любой треугольной пирамиды можно воспользоваться формулой объема: V = (1/3)Sh, где S – это площадь основания, V – объем пирамиды, h – ее высота.

Из этой формулы вывести формулу высоты: для нахождения высоты треугольной пирамиды, нужно умножить объем пирамиды на 3, а потом поделить получившееся значение на площадь основания, это будет: h = (3V)/S. Поскольку основание треугольной пирамиды – это треугольник, можно воспользоваться формулой подсчета площади треугольника.

Если нам известны: площадь треугольника S и его сторона z, то по формуле площади S=(1/2)γh: h = (2S)/γ, где h – это высота пирамиды, γ – это ребро треугольника; угол между сторонами треугольника и сами две стороны, то по такой формуле: S = (1/2)γφsinQ, где γ, φ – это стороны треугольника, находим площадь треугольника.

Значение синуса угла Q нужно посмотреть в таблице синусов, которая есть в Интернете. Далее подставляем значение площади в формулу высоты: h = (2S)/γ. Если в задании требуется вычислить высоту треугольной пирамиды, то объем пирамиды уже известен.

Правильная треугольная пирамида

Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, то есть пирамиды, в которой все грани – это равносторонние треугольники, зная величину ребра γ. В этом случае ребра пирамиды – это стороны равносторонних треугольников. Высота правильной треугольной пирамиды будет: h = γ√(2/3), где γ – это ребро равностороннего треугольника, h – это высота пирамиды.

  Если площадь основания (S) неизвестна, а даны лишь: длина ребра (γ) и объем (V) многогранника, то необходимую переменную в формуле из прежнего шага нужно заменить ее эквивалентом, который выражен через длину ребра. Площадь треугольника (правильного) равна 1/4 от произведения длины стороны этого треугольника, возведенную в квадрат на квадратный корень из 3.

Подставляем эту формулу вместо площади основания в предыдущую формулу, и получаем такую формулу: h = 3V4/(γ2√3) = 12V/(γ2√3). Объем тетраэдра можно выразить через длину его ребра, то из формулы для вычисления высоты фигуры можно убрать все переменные и оставить только сторону треугольной грани фигуры.

Объем такой пирамиды можно вычислить, поделив на 12 из произведения возведенную в куб длину его грани на квадратный корень из 2.

Подставляем это выражение в предыдущую формулу, получаем такую формулу для вычисления: h = 12(γ3√2/12)/(γ2√3) = (γ3√2)/(γ2√3) = γ√(2/3) = (1/3)γ√6. Также правильную треугольную призму можно вписывать в сферу, и зная только радиус сферы (R) можно найти и саму высоту тетраэдра. Длина ребра тетраэдра равна: γ = 4R/√6.

Заменим переменную γ этим выражением в предыдущей формуле и получаем формулу: h = (1/3)√6(4R)/√6 = (4R)/3.  Такую же формулу можно иметь, зная радиус (R) окружности, вписанной в тетраэдр. В таком случае длина ребра треугольника будет равна 12 соотношениям между квадратным корнем из 6 и радиусом.

Подставляем это выражение в предыдущую формулу и имеем: h = (1/3)γ√6 = (1/3)√6(12R)/√6 = 4R.

Как найти высоту правильной четырехугольной пирамиды

Чтобы ответить на вопрос, как найти длину высоты пирамиды, необходимо знать, сто такое правильная пирамида. Четырехугольная пирамида – это пирамида, в основе которой находится четырехугольник.

Если в условиях задачи мы имеем: объем (V) и площадь основания (S) пирамиды, то формула для вычисления высоты многогранника (h) будет такая – разделить объем, умноженный на 3 на площадь S: h = (3V)/S.

При квадратном основании пирамиды с известными: заданным объемом (V) и длиной стороны γ, замените площадь (S) в предыдущей формуле на квадрат длины стороны: S = γ2; H = 3V/γ2. Высота правильной пирамиды h = SO проходит как раз через центр окружности, которая описанная около основания.

Поскольку основание данной пирамиды – это квадрат, то точка О – это точка пересечения диагоналей AD и BC. Мы имеем: OC = (1/2)BC = (1/2)AB√6. Далее, мы в прямоугольном треугольнике SOC находим (по теореме Пифагора): SO = √(SC2-OC2). Теперь Вы знаете, как найти высоту правильной пирамиды.

Источник: https://elhow.ru/ucheba/geometrija/stereometrija/kak-najti-vysotu-piramidy

Ссылка на основную публикацию