Как найти объём прямоугольного параллелепипеда

Сегодня мы решим одну задачу и найдем объем прямоугольного параллелепипеда. Для начала посмотрим, что это за математический зверь такой — прямоугольный параллелепипед. Вот как он выглядит.

  • Как найти объём прямоугольного параллелепипеда
  • Как найти объём прямоугольного параллелепипеда
  • Как найти объём прямоугольного параллелепипеда
  • Как найти объём прямоугольного параллелепипеда
  • Как найти объём прямоугольного параллелепипеда

Как видите, прямоугольный параллелепипед скорее похож на клетку для зверей, чем на самого зверя. Математики считают, что живет этот параллелепипед в геометрии, в 5 классе. Они просто забыли, что в детском садике параллелепипед был одной из их игрушек. Детский кубик — это тоже прямоугольный параллелепипед, у которого все грани равной длины. У параллелепипеда есть 8 вершин, 12 ребер и 6 граней. Это трехмерная (или объемная) фигура. Двухмерные грани, одномерные ребра и точки вершин обозначают границы трехмерного пространства, которое заключено внутри параллелепипеда. Прямоугольным эту геометрическую фигуру называют потому, что все углы в нем прямые — равные 90 градусов или пи/2. Внутренне пространство этой клетки называется объемом. Кстати, мы очень любим сажать друг друга в клетки параллелепипедов. Или прятаться внутри них — комнаты часто имеют форму параллелепипедов. Стены, пол и потолок — так мы называем грани комнаты. Ребра мы называем углами, нижние ребра мы стыдливо прячем за плинтус, верхние ребра или выставляем на показ, или украшаем потолочным багетом. Точки, в которых пересекаются углы комнаты, являются вершинами параллелепипеда, в котором мы живем. Ой, что-то мы сильно отвлеклись на экскурсию по достопримечательностям параллелепипеда, давайте посмотрим, как нужно считать его объем. Общий объем параллелепипеда состоит из маленьких кубиков единиц измерения объема, который на рисунке измеряется в кубических сантиметрах. Измерять объем можно и в других единицах измерения — кубических метрах (например, объем комнаты), кубических километрах (когда будем мерить планету), литрах (жидкости, но моря и океаны лучше измерять в кубических километрах). Объемы звездных систем и галактик можно мерить в кубических световых годах. Интересно, а в чем лучше измерять объемы разных вселенных? Как вы видите, любой трехмерный объем является умножением трех перпендикулярных единиц измерения длины. У прямоугольного параллелепипеда три ребра всегда перпендикулярны в вершинах. Длина таких ребер называется линейными размерами или измерениями прямоугольного параллелепипеда. Если избрать единицу измерения и количество этих единиц в каждом из трех измерений, тогда легко можно высчитать объем прямоугольного параллелепипеда по формуле — перемножить все три линейных (перпендикулярных) размера. Математики никогда не обращают на это особого внимания, но нужно не забывать, что во всех трех направлениях единицы измерения длины должны быть одинаковыми. Если у какой-то штучки один размер значительно больше двух других размеров, то тогда такую штучку мы меряем в погонных метрах. Например, железнодорожные рельсы лучше измерять в погонных метрах (километрах), а не в единицах измерения объема. С математической точки зрения, один погонный метр — это единица измерения объемных тел, двумя размерами которых можно пренебречь. Как видно из рисунка, одним и тем же единицам измерения длины мы присваиваем разные названия. Этим мы уточняем пространственную ориентацию нашего параллелепипеда. Длина и ширина располагаются внизу, при этом длина обычно больше ширины. Высоту мы отмеряем вверх. Все эти названия являются относительными. Если поставить наш параллелепипед на другую грань, названия сторон могут поменяться — длина или ширина превратится в высоту. Объем параллелепипеда не зависит от названий его размеров, поскольку при нахождении объема используются все три линейных размера.

Таким образом, объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению его длины, ширины и высоты (произведению трех линейных размеров). Как бы мы этот параллелепипед не крутили. Числовое выражение объема зависит от тех единиц измерения, в которых мы выражаем размеры этой геометрической фигуры. В полном соответствии с теоремой Пифагора, все единицы измерения размеров должны быть одинаковы. Возможно, это и звучит, как нравоучение несмышлёным детишкам, но математики считают математику абстрактной наукой именно потому, что они не всегда понимают, что именно, когда и как они делают.

Как найти объём прямоугольного параллелепипеда

На этой картинке представлена другая формула. Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту. Точнее, площади одной грани умноженной на перпендикулярный размер. Покрутите параллелепипед — у вас основанием каждый раз будет какая-то другая грань, при этом высота так же будет меняться. Крутить параллелепипед совсем не обязательно, достаточно вычислить площадь любой его грани (основания, боковой или торцевой грани) и умножить на перпендикулярный размер: основание на высоту, боковую площадь на ширину, торцевую площадь на длину. Во всех случаях результат будет одинаковым. Нахождение объема через площадь грани и перпендикулярный размер не является каким-то научным открытием. Это всего лишь констатация того факта, что мы не можем одновременно выполнить два математических действия умножения между тремя размерами. Сперва мы берем два перпендикулярных размера и умножаем их между собой — получается площадь. Потом эту площадь мы умножаем на третий размер — получается объем. Переместительный закон (или коммутативность) умножения и порядок выполнения математических действий являются родителями второй формулы вычисления объема параллелепипеда. (При этом важно отличать линейные размеры от их симметричных отражений. Умножив площадь основания на один из размеров этого основания, вы получите единицы измерения объема, но не получите объем самого параллелепипеда.) Когда эта формула важна? Ну, например, ваши разведчики во вражеском тылу выкрали сверхсекретное значение площади основания параллелепипеда. Теперь вам просто нужно продолжить вычисление — умножить эту площадь на высоту. Тот объем, который известен врагам, теперь знаете и вы. А если серьезно, то площадь боковой грани можно найти по другой формуле площади прямоугольника — по длине диагонали и синусу угла между ними. Вам уже не нужно находить размеры этой грани, умножаете площадь на третий размер и объем у вас в руках. Этот принцип можно использовать при нахождении объемов любых геометрических фигур с любым количеством измерений. Достаточно четко понимать,на каком этапе вычислений вы находитесь и что вам ещё осталось сделать. Например, зная трехмерный объем, для нахождения объема шестимерного, вам нужно будет умножить его еще на три длины в недостающих измерениях. Ваши метры кубические превратятся в метры в шестой степени. При путешествии в шестимерное пространство не забывайте, что ваше собственное тело имеет всего три измерения. Нельзя в такое путешествие отправляться голышом, даже если вы одеты. Вам понадобится скин 3/4 для перехода в четырехмерное пространство, скин 4/5 для перехода из четырехмерного в пятимерное пространство и скин 5/6 для завершения перемещения в шестимерное пространство. В этом случае вы будете чувствовать себя приятно и комфортно в пространстве шести измерений. Правда, одновременное пребывание сразу в трех скинах может сопровождаться весьма своеобразными ощущениями. Коль мы говорим о прямоугольном параллелепипеде, возможно, вам пригодятся некоторые другие сведения о нем.

Как найти объём прямоугольного параллелепипеда

На этой картинке прямоугольный параллелепипед обзывается прямоугольной призмой. В математике главное не название, а смысл. Под призмой подразумевается два параллельных основания и высота, под параллелепипедом — три линейных размера. Для трехмерной фигуры не имеет принципиального значения, каким образом получается её объем, главное — что он есть. Площадь боковой поверхности призмы равна периметру основания на высоту. А вот в этом случае крутить параллелепипед (он же прямая прямоугольная призма), категорически не рекомендуется. Для разных оснований будет разное значение площади боковой поверхности. Возможны три размера оснований и три значения площади боковой поверхности. Полная площадь поверхности параллелепипеда равна удвоенной сумме площадей его перпендикулярных граней, по которым определяются линейные размеры. У параллелепипеда таких граней три — основание, боковая, торцевая.

Длина диагонали параллелепипеда определяется по основному тригонометрическому тождеству для многомерных пространств (или теореме Пифагора). Квадрат диагонали равен сумме квадратов линейных размеров параллелепипеда.

Наконец-то мы добрались до нашей задачи про нахождение объема. Нужно найти объем прямоугольного параллелепипеда, если площади трех граней у него равны 12, 15 и 20 сантиметров квадратных.

  1. Как найти объём прямоугольного параллелепипеда
  2. Как найти объём прямоугольного параллелепипеда
  3. Как найти объём прямоугольного параллелепипеда

Поскольку все площади граней разные, значит по ним можно определить линейные размеры. Пойдем традиционным путем. Составляем уравнения площадей этих граней. Получаем систему трех уравнений с тремя неизвестными. Решаем эту систему, находим линейные размеры прямоугольного параллелепипеда, затем вычисляем его объем. Как следует из решения, точно такой прямоугольный параллелепипед мы рассматривали на картинках выше. Но лично мне нравится другое, более простое и изящное, решение. Если мы возведем объем в квадрат и извлечем из него квадратный корень — объем останется прежним. Распишем объем в виде произведения линейных размеров. Используем коммутативность умножения и перегруппируем сомножители. Видите, под квадратным корнем оказывается произведение данных нам по условию площадей. Если мы перемножим площади, мы получим сантиметры в шестой степени — то шестимерное пространство, для прогулки по которому нам необходимо аж три скина. Если мы из сантиметров в шестой степени извлечем квадратный корень, мы получим нужный нам объем прямоугольного параллелепипеда. Этот фокус можно использовать при определении объемов фигур с любым количеством измерений. Объем многомерной геометрической фигуры можно определять по составляющим её элементам с меньшим количеством измерений. Главное, необходимо следить, чтобы линейные размеры получались в одинаковой степени. Например, четырехмерный объем гиперкуба можно определить как произведение четырех его линейных размеров abcd, произведение двух двумерных площадей (ab)(cd), корень кубический из произведения четырех трехмерных объемов (abc)(bcd)(abd)(cda) и так далее.

Картинки нагло взяты с сайта 900 игр, да простит меня Математика.

Если вам понравилась публикация и вы хотите знать больше, помогите мне в работе над другими материалами.

Источник: https://www.webstaratel.ru/2012/03/obem-prjamougolnogo-parallelepipeda.html

Объём прямоугольного параллелепипеда. Видеоурок. Математика 5 Класс

Прямоугольник – одна из самых простых плоских фигур, а прямоугольный параллелепипед – такая же простая фигура, но в пространстве (рис. 1). Они очень похожи.

Читайте также:  Как стать футболистом

Так же похожи, как круг и шар.

Как найти объём прямоугольного параллелепипеда

Рис. 1. Прямоугольник и параллелепипед

Разговор про площади начинают с площади прямоугольника, а про объемы – с объема прямоугольного параллелепипеда.

Если мы умеем находить площадь прямоугольника, то это нам позволяет найти площадь любой фигуры.

Вот эту фигуру мы можем разбить на 3 прямоугольника и найти площадь каждого, а значит, и всей фигуры. (Рис. 2.)

Как найти объём прямоугольного параллелепипеда

Рис. 2. Фигура

Как найти объём прямоугольного параллелепипеда

Рис. 3. Фигура, площадь которой равна семи прямоугольникам

Даже если фигура не разбивается точно на прямоугольники, это можно сделать с любой точностью и площадь посчитать приблизительно.

Площадь этой фигуры (рис. 3) примерно равна сумме площадей семи прямоугольников. Неточность получается за счет верхних маленьких фигур. Если увеличить число прямоугольников, то неточность уменьшится.

То есть прямоугольник – это инструмент для вычисления площадей любых фигур.

Такая же ситуация, когда речь идет об объемах.

Любую фигуру можно выложить прямоугольными параллелепипедами, кирпичиками. Чем мельче будут эти кирпичики, тем точнее мы сможем посчитать объем (рис. 4, рис.5).

Как найти объём прямоугольного параллелепипеда

Рис. 4. Вычисление площади с помощью прямоугольных параллелепипедов

Прямоугольный параллелепипед является инструментом для вычисления объемов любых фигур.

Как найти объём прямоугольного параллелепипеда

Рис. 5. Вычисление площади с помощью маленьких параллелепипедов

Давайте немного вспомним.

Квадрат со стороной 1 единица (рис. 6) имеет площадь в 1 квадратную единицу. Исходная линейная единица может быть любой: сантиметр, метр, километр, миля.

Например, 1 см2 – это площадь квадрата со стороной 1 см.

Как найти объём прямоугольного параллелепипеда

Рис. 6. Квадрат и прямоугольник

Площадь прямоугольника – это количество таких квадратов, которые в него поместятся. (Рис. 6.)

Уложим единичные квадраты в длину прямоугольника в один ряд. Получилось 5 штук.

В высоту помещается 3 квадрата. Значит, всего помещается три ряда, в каждом по пять квадратов.

Как найти объём прямоугольного параллелепипеда

Понятно, что нет нужды каждый раз внутри прямоугольника размещать единичные квадраты.

Достаточно умножить длину одной стороны на длину другой.

Как найти объём прямоугольного параллелепипеда

  • Или в общем виде:
  • Очень похоже обстоят дела с объемом прямоугольного параллелепипеда.

Объем куба со стороной 1 единица – это 1 кубическая единица. Опять же, исходные линейные величины могут быть любыми: миллиметры, сантиметры, дюймы.

Например, 1 см3 – это объем куба со стороной 1 см, а 1 км3 – это объем куба со стороной 1 км.

Найдем объем прямоугольного параллелепипеда со сторонами 7 см, 5 см, 4 см. (Рис. 7.) 

Как найти объём прямоугольного параллелепипеда

Рис. 7. Прямоугольный параллелепипед

Решение

Объем нашего прямоугольного параллелепипеда – это количество единичных кубов, помещающихся в него.

Уложим на дно ряд единичных кубиков со стороной 1 см вдоль длинной стороны. Поместилось 7 штук. Уже по опыту работы с прямоугольником мы знаем, что на дно поместится всего 5 таких рядов, по 7 штук в каждом. То есть всего:

Как найти объём прямоугольного параллелепипеда

Назовем это слой. Сколько таких слоев мы можем уложить друг на друга?

Это зависит от высоты. Она равна 4 см. Значит, укладывается 4 слоя в каждом по 35 штук. Всего:

А откуда у нас появилось число 35? Это 75. То есть количество кубиков мы получили перемножением длин всех трех сторон.

  1. Но это и есть объем нашего прямоугольного параллелепипеда.
  2. Ответ: 140  

Теперь мы можем записать формулу и в общем виде. (Рис. 8.) 

Рис. 8. Объем параллелепипеда

  • Объем прямоугольного параллелепипеда со сторонами , ,  равен произведению всех трех сторон.
  • Если длины сторон даны в сантиметрах, то объем получится в кубических сантиметрах (см3).
  • Если в метрах, то объем в кубических метрах (м3).

Аналогично объем может быть измерен в кубических миллиметрах, километрах и т. д.

Стеклянный куб со стороной 1 м наполнен водой целиком. Какова масса воды? (Рис. 9.)

Рис. 9. Куб

Решение

Куб является единичным. Сторона – 1 м. Объем – 1 м3.

  1. Если мы знаем, сколько весит 1 кубический метр воды (сокращенно говорят кубометр), то задача решена.
  2. Но если мы этого не знаем, то нетрудно посчитать.
  3. Длина стороны .
  4. Посчитаем объем в дм3.

Но 1 дм3 имеет отдельное название, 1 литр. То есть у нас 1000 литров воды.

Нам всем известно, что масса одного литра воды равна 1 кг. То есть у нас 1000 кг воды, или 1 тонна.

  • Понятно, что такой куб, наполненный водой, не под силу передвинуть ни одному обычному человеку.
  • Ответ: 1 т.

Рис. 10. Холодильник

Холодильник имеет высоту 2 метра, ширину 60 см и глубину 50 см. Найти его объем.

  1. Решение
  2. Прежде чем мы воспользуемся формулой объема – произведение длин всех сторон – необходимо перевести длины в одинаковые единицы измерения.
  3. Мы можем перевести все в сантиметры.
  4. Соответственно, и объем мы получим в кубических сантиметрах.
  5. Ответ:
  6. Думаю, вы согласитесь, что в кубических метрах объем более понятен.
  7. Человек на глаз плохо отличает число с пятью нулями от числа с шестью нулями, а ведь одно в 10 раз больше, чем другое.

Часто нам нужно перевести одну единицу объема в другую. Например, кубометры в кубические дециметры. Тяжело запомнить все эти соотношения. Но этого и не нужно делать. Достаточно понять общий принцип.

Например, сколько кубических сантиметров в кубическом метре?

Давайте посмотрим, сколько кубиков со стороной 1 сантиметр поместится в куб со стороной 1 м. (Рис. 11.)

Рис. 11. Куб

  • В один ряд укладывается 100 штук (ведь в одном метре 100 см).
  • В один слой укладывается 100 рядов или  кубиков.
  • Всего помещается 100 слоев.
  • Всего
  • Таким образом,

То есть если линейные величины связаны соотношением «в одном метре 100 см», то чтобы получить соотношение для кубических величин, нужно возвести 100 в 3 степень (). И не нужно каждый раз чертить кубы.

Заодно мы увидели соотношение и для единиц площади. В одном квадратном метре  квадратных сантиметров. В одном слое у нас было 10 000 кубиков.

  1. Сколько в одном кубическом километре кубических метров?
  2. Ответ: 1 млрд м3.

Каждый кубометр воды весит 1 т. Значит, кубический километр воды весит 1 млрд тонн. Такими единицами пользуются при измерении количества воды в морях и океанах.

  • Какова масса одного кубического сантиметра воды?
  • Мы знаем массу одного литра, это 1 кг, но 1 литр – это кубический дециметр.
  • Так как , то . Но это значит, что 1  весит:
  • Для одной тысячной существует приставка «милли-» (помним, что миллиметр – это одна тысячная метра), эту приставку используют и здесь.
  • То есть иными словами мы можем сказать, что один миллилитр воды имеет массу 1 г.

Сегодня на уроке мы узнали, как найти площадь и объем. А также научились переводить одну единицу объема в другую.

Список литературы

  1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И. Учебник по математике 5 класс. – 2008.
  2. Зубарева И.И., Мордкович А.Г. Математика. 5 класс. – М.: Мнемозина, 2013.
  3. Никольский С.М., Потапов М.К. Учебник по математике 5 класс. – 2012.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Домашнее задание

  1. Как найти объем параллелепипеда?
  2. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, если его длина, ширина и высота соответственно равны: 5 м, 6 м, 7 м.

Источник: https://interneturok.ru/lesson/matematika/5-klass/bplowadi-i-obyomyb/ob-yom-pryamougolnogo-parallelepipeda

Объем параллелепипеда: формула, примеры решения задач

Любое геометрическое тело можно охарактеризовать площадью (S) поверхности и объемом (V). Площадь и объем совсем не одно и то же. Объект может иметь сравнительно небольшой V и большую S, например, так устроен мозг человека. Вычислить данные показатели для простых геометрических фигур гораздо проще.

Параллелепипед: определение, виды и свойства

Параллелепипед – это четырехугольная призма, в основании которой находится параллелограмм.

Для чего же может потребоваться формула нахождения объема фигуры? Подобную форму имеют книги, упаковочные коробки и еще множество вещей из повседневной жизни.

Комнаты в жилых и офисных домах, как правило, являются прямоугольными параллелепипедами. Для установки вентиляции, кондиционеров и определение количества обогревательных элементов в комнате необходимо рассчитать объем помещения.

Как найти объём прямоугольного параллелепипеда

У фигуры 6 граней – параллелограммов и 12 ребер, две произвольно выбранные грани называют основаниями. Параллелепипед может быть нескольких видов. Различия обусловлены углами между смежными ребрами. Формулы для нахождения V-ов различных многоугольников немного отличаются.

Как найти объём прямоугольного параллелепипеда

Если 6 граней геометрической фигуры представляют собой прямоугольники, то ее тоже называют прямоугольной. Куб – это частный случай параллелепипеда, в котором все 6 граней представляют собой равные квадраты. В этом случае, чтобы найти V, нужно узнать длину только одной стороны и возвести ее в третью степень.

Для решения задач понадобятся знания не только готовых формул, но свойств фигуры. Перечень основных свойств прямоугольной призмы невелик и очень прост для понимания:

  1. Противолежащие грани фигуры равны и параллельны. Это значит, что ребра расположенные напротив одинаковы по длине и углу наклона.
  2. Все боковые грани прямого параллелепипеда – прямоугольники.
  3. Четыре главные диагонали геометрической фигуры пересекаются в одной точкой, и делятся ею пополам.
  4. Квадрат диагонали параллелепипеда равен суме квадратов измерений фигуры (следует из теоремы Пифагора).

Теорема Пифагора гласит, что сумма площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника, равна площади треугольника, построенного на гипотенузе того же треугольника.

Доказательство последнего свойства можно разобрать на изображении представленном ниже. Ход решения поставленной задачи прост и не требует подробных объяснений.

Как найти объём прямоугольного параллелепипеда

Формула объема прямоугольного параллелепипеда

Формула нахождения для всех видов геометрической фигуры одна: V=S*h, где V- искомый объем, S – площадь основания параллелепипеда, h – высота, опущенная из противоположной вершины и перпендикулярная основанию. В прямоугольнике h совпадает с одной из сторон фигуры, поэтому чтобы найти объем прямоугольной призмы необходимо перемножить три измерения.

Как найти объём прямоугольного параллелепипеда

Объем принято выражать в см3. Зная все три значения a, b и c найти объем фигуры совсем не сложно. Наиболее часто встречающийся тип задач в ЕГЭ – это поиск объема или диагонали параллелепипеда. Решить многие типовые задания ЕГЭ без формулы объема прямоугольника – невозможно. Пример задания и оформления его решения приведен на рисунке ниже.

Читайте также:  Как уволиться по собственному желанию

Примечание 1. Площадь поверхности прямоугольной призмы можно найти, если умножить на 2 сумму площадей трех граней фигуры: основания (ab) и двух смежных боковых граней (bc + ac).

Примечание 2. Площадь поверхности боковых граней легко узнать умножив периметр основания на высоту параллелепипеда.

Как найти объём прямоугольного параллелепипеда

Исходя из первого свойства параллелепипедов AB = A1B1, а грань B1D1 = BD. Согласно следствиям из теоремы Пифагора сумма всех углов в прямоугольном треугольнике равна 180°, а катет, лежащий против угла в 30°, равен гипотенузы. Применив данные знания для треугольника, легко находим длину сторон AB и AD. Затем перемножаем полученные значения и вычисляем объем параллелепипеда.

Формула для нахождения объема наклонного параллелепипеда

Чтобы найти объем наклонного параллелепипеда необходимо площадь основания фигуры умножить на высоту, опущенную на данное основание из противоположного угла.

Как найти объём прямоугольного параллелепипеда

Таким образом, искомый V можно представить в виде h — количества листов с площадью S основания, так объем колоды складывается из V-ов всех карт.

Примеры решения задач

Задания единого экзамена должны быть выполнены за определенное время. Типовые задачи, как правило, не содержать большого количества вычислений и сложных дробей. Часто школьнику предлагают как найти объем неправильной геометрической фигуры. В таких случаях следует помнить простое правило, что общий объем равен сумме V-ов составных частей.

Как найти объём прямоугольного параллелепипеда

Как видно из примера на изображении выше, ничего сложного в решении подобных задач нет. Задания из более сложных разделов предполагают знания теоремы Пифагора и ее следствий, а так же формулу длины диагонали фигуры. Для успешного решения заданий тестов достаточно заранее ознакомится с образцами типовых задач.

Источник: https://karate-ege.ru/matematika/obem-parallelepipeda.html

Как правильно с помощью формул найти объем прямоугольного параллелепипеда?

Прямоугольный параллелепипед, с точки зрения математики, является объемной фигурой с шестью гранями. Увидеть его можно, если посмотреть на прямоугольный бассейн, кирпич или спичечный коробок.

Эта фигура очень часто встречается в повседневной жизни, однако, нередко возникает необходимость узнать ее объем, что для многих представляет некоторые трудности. Например, какого объема необходим бак для воды на дачном участке, или каким размером делать бассейн.

Во многих других ситуациях возникает проблема, как найти объем параллелепипеда правильно.

Между тем вычислить это значение очень просто. Достаточно лишь знать ширину, длину и высоту предмета или объекта. И также необходимо знать формулу, с помощью которой и находят объем данной геометрической фигуры.

Основные особенности и формула для расчета

Для того чтобы найти объем параллелепипеда необходимо:

  • определить длину, высоту и ширину объекта;
  • и после этого перемножить данные значения друг на друга;
  • получившиеся данные и будут объемом.

Это все предельно просто и не таит никаких подводных камней. Главное — это знать требуемые значения, без которых выполнить расчет будет невозможно.

При этом важно знать, что определить параметр можно в сантиметрах, кубометрах, дециметрах и некоторых других размерностях в зависимости от требований. Если говорить о Международной системе единиц (СИ), параметр рассчитывают в сантиметрах. Это оптимальный вариант. Но при желании всегда можно перевести значение в требуемые размерности.

Как найти объём прямоугольного параллелепипеда

Формула расчета в двух вариантах

Итак, для расчета по формуле нужно знать длину, ширину и высоту измеряемого предмета. Эти данные следует обозначить соответственно как А, B и C, а объем обычно представляют буквой V. Формула для определения объема прямоугольного параллелепипеда при этом будет выглядеть следующим образом: V = A x B x C.

Если определятся объем бассейна, то необходимо его длину, ширину и глубину перемножить. Для более простого восприятия давайте разберем правила расчета объема параллелепипеда на примере. Допустим, что его длина составляет 10 метров, ширина достигает 3 метров, а глубина — 1,5. В этом случае объем этого объекта определяется следующим образом: 10x3x1,5=45 кубометров, или 45 кубических метров.

Можно выделить и другую формулу, которая имеет некоторое отличие. Она представляет собой произведение площади основания на высоту. Формула выглядит следующим образом: V = S x h. Здесь h — высота параллелепипеда. S — площадь основания, которая представлена произведением двух сторон основания. Обычно их обозначают, как a и b: S = a x b.

При расчете можно пользоваться любой из двух приведенных формул. Обе являются верными и позволяют получить точные данные. Последний вариант удобен, когда уже известна площадь основания. Если же она неизвестна, проще перемножать сразу три линейных размера, исключая необходимость в лишней процедуре.

Как найти объём прямоугольного параллелепипеда

О чем еще следует знать для правильности расчета?

Для вычисления объема параллелепипеда необходимо понять, что это за фигура. Она представляет собой призму, основание которой — параллелограмм. Параллелепипед имеет 6 граней, каждый из которых является параллелограммом. При этом выделяют несколько видов фигур. Принцип расчета не имеет конкретных отличий, но сами фигуры внешне отличаются. Итак, можно выделить такие виды:

  1. Прямоугольный параллелепипед. Эта фигура представляет собой параллелепипед, который имеет все грани в виде прямоугольников.
  2. Прямым параллелепипедом является фигура, у которой 4 боковые грани — прямоугольники.
  3. Куб — это еще один вид параллелепипеда. Он представляет собой прямоугольный параллелепипед, все стороны которого равны между собой. Другими словами, все шесть граней такой фигуры, как куб — это равные квадраты.

И также важно помнить о том, что в процессе выполнения расчета у каждой составляющей формулы должна быть одна и та же размерность. Если опустить это простое правило, получить верный результат не удастся.

Если вы выполняете расчеты просто на уроках математики, проблемой могут стать только неудовлетворительные оценки. А при проектировании и наличии ошибок в расчетах проблемы могут быть более серьезными.

Не стоит думать, что основные математические формулы по определению объемов геометрических фигур встречаются исключительно на уроках математики.

В большинстве случаев они пригодятся и в последующей жизни. В частности, во время ремонтных или строительных работ, при проектировании и декорированию интерьера, а также в ряде других случаев.

Именно тогда без правильной формулы обойтись не удастся.

Можно подвести итог: объем параллелепипеда равен произведению трех линейных размеров — длины, ширины, высоты. Параметр напрямую зависит от трех единиц измерения при любом вращении и повороте. Результат будет неизменным.

Видео

Видео поможет вам научиться находить объем прямоугольного параллелепипеда.

Источник: https://LivePosts.ru/articles/education-articles/matematika/kak-najti-obem-pryamougolnogo-parallelepipeda

Объем прямоугольного параллелепипеда

В школьном курсе математики за 5 класс, ученики знакомятся с темой прямоугольного параллелепипеда. Это одна из первых фигур курса, имеющих объем. Именно об объеме и формуле его нахождения пойдет речь сегодня.
Как найти объём прямоугольного параллелепипеда

Прямоугольным параллелепипедом называется фигура, в основании которой находится прямоугольник. Фигура имеет шесть граней. Грани, пресекаясь, образовывают ребра, их 12.

Прямоугольный параллелепипед имеет четыре боковые грани. В жизни мы часто сталкиваемся с данной фигурой: шкаф, холодильник, коробка – все они имею форму прямоугольного параллелепипеда.

Рис. 1. Прямоугольный параллелепипед

Объем куба (фигуры, в основании которого находится квадрат) со стороной 1 единица называется 1 кубическая единица.

Рис. 2. Единичный куб

Если дно чтобы заложить такими кубиками дно фигуры в длину понадобится 4 куба, а в ширину 3.

Как найти объём прямоугольного параллелепипеда

Рис. 3. Прямоугольный параллелепипед, который заполнен шаром кубов

  • Таким образом, для заполнения основания необходимо:
  • 3 х 4 =12 – так мы вычисляли площадь.
  • Чтобы заполнить всю фигуру и узнать объем, необходимо посчитать, сколько поместится в высоту таких слоев кубов, к примеру, если это будет 2, то объем составит:
  • 3 х 4 х 2 = 24 кубов

Так, если учесть что длина основания фигуры 4 единицы, ширина – 3, высота – 2, то для того чтобы вычесть объем прямоугольного параллелепипеда необходимо найти произведение этих величин или измерений. Фигура, которая имеет три измерения, называется трехмерной либо объемной.

  1. Для обозначения объема используют букву V.
  2. Формула объема прямоугольного параллелепипеда имеет вид:
  3. $$V = a · b · c$$
  4. При необходимости все данные в задании необходимо перевести в одни единицы измерения.

Единицами измерения является $мм^3, см^3, дм^3$ и так далее. Важно правильно читать: $1 м^3$ и так далее.

Английский иллюзионист провел 44 дня в стеклянном прямоугольном параллелепипеде, который был подвешен над рекой Темза. В его распоряжении была только вода, подушка, матрас и письменные принадлежности.

Задание: Вычесть объем фигура, ширина которой 4 дм., длина 50 мм., а высота 10 см.

Решение: Для начала необходимо перевести все данные в одну единицу измерения.

$4 дм. = 40 см$;

$50 мм. = 5 см$.

  • $V = a • b • h$
  • $V = 40 • 5 • 10 = 200 см^3$
  • Таким образом, объем фигуры $V = 200 см^3$
  • Для измерения объема жидкости используют особую единицу измерения литр – 1л.

Древние измерения жидкости, например кор = 220 л, бат = 22 л.

  1. Измерения объема:
  2. $$1 л = 1 000 см^3 = 1 дм^3$$
  3. $$1 км^3 = 1000 000 000 м^3$$
  4. $$1 м^3 = 1 000 дм^3 = 1 000 000 см^3$$
  5. $$1 дм^3 = 1 000 см^3$$
  6. $$1 см^3 = 1 000 мм^3$$

Мы узнали, что, для того, чтобы найти объем прямоугольного параллелепипеда необходимо умножить длину и ширину основания на высоту фигуры. А также мы познакомились с единицами измерения объема.

Средняя оценка: 4.6. Всего получено оценок: 135.

Источник: https://obrazovaka.ru/matematika/obem-pryamougolnogo-parallelepipeda-formula-5-klass.html

Найти объем параллелепипеда онлайн на algebra24

Пример решили: 31702 раза Сегодня решили: 7 раз

Вычисление объема прямоугольного параллелепипеда

Скачать решение в PDF

Параллелепипед – это призма, основанием которой служит параллелограмм. В параллелепипеде противоположные грани равны и параллельны. Диагонали его пересекаются в одной точке, которая лежит на оси симметрий, и делятся ею пополам.

Объём параллелепипеда равен произведению его измерений. Формула для вычисления объема параллелепипеда:

Читайте также:  Как развести опарышей

$$V = a cdot b cdot c$$

Примеры решений

  1. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, если его стороны равны 2,3,4 см. Посмотреть решение Дано:
    • $$ a = 2 см $$
    • $$ b = 3 см $$
    • $$ c = 4 см $$

    Решение:

    1. По формуле для объема прямоугольного параллелепипеда:
    2. $$ V = a cdot b cdot c $$
    3. $$ V = 2 cdot 3 cdot 4 = 24 см^3 $$

    Ответ:

    $$ V = 24 см^3 $$

  2. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, если площадь основания равна 7 см², а третья сторона равна 4 см. Посмотреть решение Дано:

    $$ So = 7 см^2 $$

    $$ c = 4 см $$

    Решение:

    • $$ So = a cdot b $$
    • По формуле для объема прямоугольного параллелепипеда:
    • $$ V = So cdot c =a cdot b cdot c $$
    • $$ V = 7 cdot 4 = 28 см^3 $$

    Ответ:

    $$ V = 28 см^3 $$

  3. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, если площадь боковой стороны равна 16 см², а две стороны при основании равны 1 см и 3 см. Посмотреть решение Дано:
    1. $$ Sбок = 16 см^2 $$
    2. $$ a = 1 см $$
    3. $$ b = 3 см $$

    Решение:

    • Найдем третью сторону:
    • $$ Sбок = 2 cdot c cdot (a+b) $$
    • $$ c = frac{ Sбок }{ 2 cdot (a+b) } = frac{16}{8} = 2 см $$
    • По формуле для объема прямоугольного параллелепипеда:
    • $$ V = a cdot b cdot c $$
    • $$ V = 1 cdot 3 cdot 2 = 6 см^3 $$

    Ответ:

    $$ V = 6 см^3 $$

  4. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, если площадь боковой стороны равна 14 см², полная площадь поверхности 23 см², а третья сторона 5 см. Посмотреть решение Дано:
    1. $$ Sбок = 14 см^2 $$
    2. $$ Sпов = 23 см^2 $$
    3. $$ c = 5 см $$

    Решение:

    • Найдем площадь основания прямоугольного параллелепипеда:
    • $$ Sо = S — Sбок = 9 см^2 $$
    • Или
    • $$ So = a cdot b $$
    • По формуле для объема прямоугольного параллелепипеда:
    • $$ V = a cdot b cdot c $$
    • $$ V = So cdot c = a cdot b cdot c $$
    • $$ V = 9 cdot 5 = 45 см^3 $$

    Ответ:

    $$ V = 45 см^3 $$

  5. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, если его диагональ равна √48 см, а две стороны по 4 см. Посмотреть решение Дано:
    1. $$ a = 4 см $$
    2. $$ b = 4 см $$
    3. $$ d = sqrt{48} $$

    Решение:

    • Найдем третью сторону:
    • $$ d = sqrt{ (a^2 + b^2 + c^2) } $$
    • $$ c = sqrt{ (d^2 — a^2 — b^2 ) } = sqrt{ (48 — 16 — 16) } = 4 см $$
    • Все стороны равны — значит это куб. По формуле для объема прямоугольного параллелепипеда:
    • $$ V = a cdot b cdot c $$
    • $$ V = 4^3 = 64 см^3 $$

    Ответ:

    $$ V = 64 см^3 $$

Попробуйте другие сервисы

Источник: https://algebra24.ru/najti-obem-parallelepipeda

Калькулятор для расчета объема прямоугольного параллелепипеда

Параллелепипед — это призматическая фигура, все грани которой являются параллелограммами. Если в роли граней выступают обычные прямоугольники, то параллелепипед является прямоугольным и именно форму данной фигуры имеют такие реальные объекты как панельные дома, аквариумы, книги, принтеры или кирпичи.

Геометрия параллелепипеда

Прямоугольный параллелепипед ограничен шестью гранями, при этом противоположные грани фигуры равны и параллельны друг другу. Данная геометрическая фигура представляет собой частный случай прямой четырехугольной призмы.

Параллелепипед имеет 12 ребер и 8 вершин. В каждой из вершин сходятся по три ребра фигуры, которые являются длиной, шириной и высотой параллелепипеда или его измерениями.

Если длина, ширина и высота фигуры равны, то параллелепипед превращается в куб.

Параллелепипеды в реальной жизни

Большое количество существующих в реальности объектов имеют форму параллелепипеда.

Широкое распространение такая форма получила благодаря легкости производства, удобству хранения и транспортировки, идеальной сочетаемости одинаковых параллелепипедов, устойчивости и постоянству размеров.

Параллелепипедную форму имеют такие объекты, как кирпичи, коробки, смартфоны, блоки питания, дома, комнаты и многое другое.

Объем параллелепипеда

Важным свойством любого геометрического тела является его вместимость, то есть объем фигуры. Объем — это характеристика объекта, которая показывает, сколько единичных кубов он способен вместить. В общем случае объем любой призматической фигуры рассчитывается по формуле:

V = So × h,

где So – площадь основания фигуры, а h – ее высота.

Данная формула легко иллюстрируется следующим примером. Представьте, что у вас есть один лист бумаги А4. Это обычный прямоугольник, который характеризуется строго определенной площадью. Грубо говоря, лист — это плоскость.

Теперь представьте стандартную пачку бумаги из 500 листов формата А4. Это уже объемная фигура, имеющая форму параллелепипеда.

Узнать ее объем легко, достаточно перемножить площадь листа, лежащего в основании, на их количество, то есть, на высоту призмы.

  • Параллелепипед — это частный случай призмы, в основании которой лежит прямоугольник. Площадь прямоугольника представляет собой простое произведение его сторон, следовательно, для параллелепипеда:
  • So = a × b
  • Для определения объема достаточно умножить So на высоту фигуры. Таким образом, объем прямоугольного параллелепипеда считается по простой формуле, представляющей перемножение трех сторон тела:
  • V = a × b × h,
  • где a – длина, b – ширина, h – высота геометрической фигуры.

Для определения объема прямоугольного параллелепипеда вам достаточно замерить три этих параметра и просто перемножить их.

Если вы не хотите постоянно держать в голове формулы определения объемов и площадей геометрических фигур, то воспользуйтесь нашим каталогом онлайн-калькуляторов: каждый инструмент подскажет вам, какие параметры вы должны замерить и мгновенно вычислит результат. Рассмотрим пару примеров, когда вам может понадобиться определить объем параллелепипеда.

Примеры из жизни

Аквариум

К примеру, вы купили старый аквариум в форме параллелепипеда, но вам никто не сказал, какой объем имеет данная конструкция. Объем аквариума — важный параметр, по которому определяется мощность системы обогрева для морских обитателей.

Вычислить данную характеристику несложно — достаточно замерить длину, ширину и высоту аквариума и ввести эти данные в форму калькулятора. Допустим, длина аквариума составляет 1 м, ширина — 50 см, а высота — 70 см.

Для правильного расчета важно выразить все стороны в одних единицах измерения, допустим, в метрах.

V = 1 × 0,5 × 0,7 = 0,35

Таким образом, объем аквариума составит 0,35 кубических метров или 350 литров. Зная объем, вы без проблем подберете мощность для системы обогрева.

Строительство

Допустим, вы заливаете плитный фундамент для своей дачи и вам необходимо узнать, сколько бетона понадобится для заливки основания. Плитный фундамент — это цельная монолитная плита, которая располагается под всей площадью здания.

Для того чтобы узнать требуемый объем бетона, необходимо вычислить объем плиты. Плита, к счастью, имеет форму прямоугольного параллелепипеда, поэтому вы без проблем можете подсчитать нужное количество бетона. Допустим, ваша дача — это стандартный домик 6 на 6 метров.

Вы уже знаете два из трех необходимых параметров. Согласно требованиям, толщина плитного фундамента должна быть не менее 10 см, и вы можете сами выбрать подходящий размер. К примеру, вы решили залить плиту толщиной 20 см.

Для правильного расчета задайте все параметры в одних единицах измерения, то есть метрах, и получите результат:

V = 6 × 6 × 0,2 = 7,2

Следовательно, для заливки фундамента вам понадобится 7,2 кубических метров бетона.

Заключение

Определение объема параллелепипедных фигур может пригодиться вам во многих случаях: от бытовых проблем до производственных вопросов, от школьных заданий до проектных задач. Наш онлайн-калькулятор поможет вам решить задания любой сложности.

Источник: https://BBF.ru/calculators/156/

Объемы. Объем прямоугольного параллелепипеда

На этом уроке мы узнаем, что такое объём. Научимся находить объём прямоугольного параллелепипеда.

Для начала давайте вернёмся к предыдущим урокам. Мы с вами изучали фигуры, которые расположены в плоскости – это точка, прямая, отрезок, прямоугольник и т.д.. Такие фигуры называют плоскими.

Также мы с вами уже успели познакомиться с прямоугольным параллелепипедом.

Скажите, чем он отличается, например, от прямоугольника? Правильно! Прямоугольный параллелепипед имеет 3 измерения. Такие фигуры как прямоугольный параллелепипед, пирамида, шар и т.д. называют объёмными.

Значит, мы с вами можем найти объём тела. А теперь давайте разберёмся, как же мы будем его вычислять.

  • Чтобы измерить объём, надо выбрать единицу измерения объёмов.
  • Определение
  • Куб, ребро которого равно единице измерения длины, называется единичным.
  • Объём единичного куба принимается за единицу измерения объёмов.
  • Например

Точно также определяются и

  1. Легко заметить, что название единицы объёма получается из названия единицы длины присоединением прилагательного «кубический».
  2. Измерить объём тела означает найти число, которое показывает, сколько единичных кубов содержится в этом теле.
  3. Проще всего измерить объём прямоугольного параллелепипеда.
  4. Найдём правило вычисления объёма прямоугольного параллелепипеда.
  5. Пусть у нас есть прямоугольный параллелепипед с измерениями: длина 5 см, ширина 2 см и высота 3 см.

Посчитаем, сколько единичных кубов вмещается в нём. Нижняя грань параллелепипеда имеет длину 5 см и ширину 2 см. Поэтому на ней можно расположить 5 ∙ 2 единичных кубов. Чтобы заполнить весь прямоугольный параллелепипед, нужно вложить 3 таких слоя, т.к. высота параллелепипеда 3 см.

Значит, всего таких кубов, которые вместятся в этом параллелепипеде, будет равно

Запомните, объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений, т.е. длины, ширины и высоты.

Если обозначить объем буквой V, а его измерения: длину – а, ширину – b, высоту – с, то это утверждение можно записать формулой:

При вычислениях нужно обязательно обращать внимание, чтобы все измерения прямоугольного параллелепипеда были выражены в одинаковых единицах.

Если S – площадь основания прямоугольного параллелепипеда, следовательно,

Тогда объём прямоугольного параллелепипеда можно переписать так:

  • где свысота параллелепипеда.
  • Запомните ещё одно утверждение: объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания и высоты.
  • Найдём правило вычисления объёма куба с ребром а.
  • Значит, объём куба можно вычислить так
  • Именно поэтому  читается «а куб», или «а в кубе».
  • Равенство V=  даёт возможность выражать одни единицы объёма через другие. Например
  • Единица объёма 1  имеет ещё и другое название
  • Итоги

Итак, объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений, т.е. длины, ширины и высоты, V = abc. И ещё объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания и высоты, т.е. V = Sc.

Источник: https://videouroki.net/video/22-obiemy-obiem-priamoughol-nogho-parallieliepipieda.html

Ссылка на основную публикацию