Как найти синус треугольника

Как найти,

гипотенузу или катеты в прямоугольном треугольнике.

Как найти синус треугольника

  • a, b — катеты
  • c — гипотенуза
  • α, β — острые углы
  • Формулы для катета, (a):

Как найти синус треугольника

Формулы для катета, (b):

Как найти синус треугольника

Формулы для гипотенузы, (c):

Как найти синус треугольника Как найти синус треугольника

Формулы сторон по теореме Пифагора, (a,b):

Как найти синус треугольника Как найти синус треугольника Как найти синус треугольника

  1. Вычислить длину неизвестной стороны через любые стороны и углы
  2. Как найти синус треугольника
  3. b — сторона (основание)
  4. a — равные стороны
  5. α — углы при основании
  6. β — угол образованный равными сторонами
  7. Формулы длины стороны (основания), (b):

Как найти синус треугольника

  • Формулы длины равных сторон , (a):
  1. Вычислить длину стороны треугольника: по стороне и двум углам или по двум сторонам и углу.
  2. a, b, c — стороны произвольного треугольника
  3. α, β, γ — противоположные углы
  4. Формула  длины через две стороны и угол (по теореме косинусов), (a):
  5. * Внимательно, при подстановке в формулу, для тупого угла (α>90), cosα принимает отрицательное значение

Формула  длины через сторону и два угла (по теореме синусов), (a):

В прямоугольном треугольнике катеты, являются высотами. Ортоцентр — точка пересечения высот, совпадает с вершиной прямого угла.

  • H — высота из прямого угла
  • a, b — катеты
  • с — гипотенуза
  • c1 , c2 — отрезки полученные от деления гипотенузы, высотой
  • α, β — углы при гипотенузе
  • Формула длины высоты через стороны, (H):
  1. Формула длины высоты через гипотенузу и острые углы, (H):
  2. Формула длины высоты через катет и угол, (H):
  3. Формула длины высоты через составные отрезки гипотенузы , (H):
  • Высота— перпендикуляр выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне (или ее продолжению, для треугольника с тупым углом).
  • Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется — ортоцентр.
  • H — высота треугольника
  • a — сторона, основание
  • b, c — стороны
  • β, γ — углы при основании
  • p — полупериметр, p=(a+b+c)/2
  • R — радиус описанной окружности
  • S — площадь треугольника
  • Формула длины высоты через стороны, (H):
  1. Формула длины высоты через сторону и угол, (H):
  2. Формула длины высоты через сторону и площадь, (H):
  3. Формула длины высоты через стороны и радиус, (H):
  • Медиана, отрезок |CO|, исходящий из вершины прямого угла BCA и делящий гипотенузу c, пополам.
  • Медиана в прямоугольном треугольнике (M), равна, радиусу описанной окружности (R).
  • M — медиана
  • R — радиус описанной окружности
  • O — центр описанной окружности
  • с — гипотенуза
  • a, b — катеты
  • α — острый угол CAB
  • Медиана равна радиусу и половине гипотенузы, (M):
  1. Формула длины через катеты, (M):
  2. Формула длины через катет и острый угол, (M):
  • Медиана — отрезок |AO|, который выходит из вершины A и делит противолежащею сторону  c пополам.
  • Медиана делит треугольник ABC на два равных по площади треугольника AOC и ABO.
  • M — медиана, отрезок |AO|
  • c — сторона на которую ложится медиана
  • a, b — стороны треугольника
  • γ — угол CAB
  • Формула длины медианы через три стороны, (M):

Формула длины медианы через две стороны и угол между ними, (M):

Формула для вычисления высоты = биссектрисы = медианы.

В равностороннем треугольнике: все высоты, биссектрисы и медианы, равны. Точка их пересечения, является центром вписанной окружности.

  1. L — высота=биссектриса=медиана
  2. a — сторона треугольника
  3. Формула длины высоты, биссектрисы и медианы равностороннего треугольника, (L):

Калькулятор — вычислить, найти медиану, биссектрису, высоту

  • Формулы для вычисления высоты, биссектрисы и медианы.
  • В равнобедренном треугольнике: высота, биссектриса и медиана, исходящие из угла образованного равными сторонами, один и тот же отрезок.
  • L — высота = биссектриса = медиана
  • a — одинаковые стороны треугольника
  • b — основание
  • α — равные углы при основании
  • β — угол образованный равными сторонами
  • Формулы высоты, биссектрисы и медианы, через сторону и угол, (L):
  1. Формула высоты, биссектрисы и медианы, через стороны, (L):
  • 1. Найти по формулам длину биссектрисы из прямого угла на гипотенузу:
  • L — биссектриса, отрезок ME ,  исходящий из прямого угла (90 град)
  • a, b — катеты прямоугольного треугольника
  • с — гипотенуза
  • α — угол прилежащий к гипотенузе
  • Формула длины биссектрисы через катеты, ( L):
  • Формула длины биссектрисы через гипотенузу и угол, ( L):
  1. 2. Найти по формулам длину биссектрисы из острого угла на катет:
  2. L — биссектриса, отрезок ME ,  исходящий из острого угла
  3. a, b — катеты прямоугольного треугольника
  4. с — гипотенуза
  5. α, β — углы прилежащие к гипотенузе
  6. Формулы длины биссектрисы через катет и угол, (L):
  7. Формула длины биссектрисы через катет и гипотенузу, (L):
  • L— биссектриса, отрезок |OB|, который делит угол ABC пополам
  • a, b — стороны треугольника
  • с — сторона на которую опущена биссектриса
  • d, e — отрезки полученные делением биссектрисы
  • γ — угол ABC , разделенный биссектрисой пополам
  • p — полупериметр, p=(a+b+c)/2
  • Длина биссектрисы через две стороны и угол, (L):
  • Длина биссектрисы через полупериметр и стороны, (L):
  1. Длина биссектрисы через три стороны, (L):
  2. Длина биссектрисы через стороны и отрезки d, e, (L):
  3. Точка пересечения всех трех биссектрис треугольника ABC, совпадает с центром О, вписанной окружности.

Источник: https://www-formula.ru/2011-09-21-23-43-54/34-elementgeom/formulas-for-triangle

Синус и косинус. Запомнить навсегда!

Как найти синус треугольника

Синус косинус, определение. Друзья! В прошлой статье, где были рассмотрены задачи на решение прямоугольного треугольника, я пообещал изложить приём запоминания определений синуса и косинуса. Используя его, вы всегда быстро вспомните – какой катет относится к гипотенузе (прилежащий или противолежащий). Решил в «долгий ящик не откладывать», необходимый материал ниже, прошу ознакомиться ????

Дело в том, что я не раз наблюдал, как учащиеся 10-11 классов с трудом вспоминают данные определения. Они прекрасно помнят, что катет относится к гипотенузе, а вот какой из них — забывают и путают. Цена ошибки, как вы знаете на экзамене – это потерянный бал. 

Информация, которую я представлю непосредственно к математике не имеет никакого отношения. Она связана с образным мышлением, и с приёмами словесно-логической  связи. Именно так, я сам, раз и на всегда запомнил данные определения. Если вы их всё же забудете, то при помощи представленных приёмов всегда легко  вспомните.

Напомню  определения синуса и косинуса  в прямоугольном треугольнике:

Как найти синус треугольника

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике —   это отношение прилежащего катета к гипотенузе:

Как найти синус треугольника

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:

  • Как найти синус треугольника
  • Итак, какие ассоциации у вас вызывает слово косинус?
  • Наверное, у каждого свои ????   Запоминайте связку:
  • Как найти синус треугольника
  • Таким образом, у вас сразу в памяти возникнет выражение – 
  • «… отношение ПРИЛЕЖАЩЕГО катета к гипотенузе».
  • Проблема с определением косинуса решена.

Если нужно вспомнить определение синуса в прямоугольном треугольнике, то вспомнив определение косинуса, вы без труда установите, что синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Ведь катетов всего два, если прилежащий катет «занят» косинусом, то синусу остаётся только противолежащий.

Как быть с тангенсом и котангенсом? Путаница та же. Учащиеся знают, что это отношение катетов, но проблема вспомнить какой к которому относится – то ли противолежащий к прилежащему, то ли наоборот.

Определения:

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике  — это отношение противолежащего катета к прилежащему:

Как найти синус треугольника

Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике  — это отношение прилежащего катета к противолежащему:

Как найти синус треугольника

Как запомнить? Есть два способа. Один так же  использует  словесно-логическую связь, другой – математический.

  1. Есть такое  определение – тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу:
  2. Как найти синус треугольника
  3. *Запомнив формулу, вы всегда сможете определить, что тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике  — это отношение противолежащего катета к прилежащему.
  4. Аналогично. Котангенсом острого угла называется отношение косинуса угла к его синусу:
  5. Как найти синус треугольника
  6. Итак! Запомнив указанные формулы вы всегда сможете определить, что:
  7. — тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике  — это отношение противолежащего катета к прилежащему
  8. — котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике  — это отношение прилежащего катета к противолежащему.

СПОСОБ СЛОВЕСНО-ЛОГИЧЕСКИЙ

  • О тангенсе. Запомните связку:
  • Как найти синус треугольника
  • То есть если потребуется вспомнить определение тангенса, при помощи данной  логической связи,  вы без труда вспомните, что это
  • «… отношение противолежащего катета к прилежащему» 
  • Если речь зайдёт о котангенсе, то вспомнив определение тангенса вы без труда озвучите определение котангенса –
  • «… отношение прилежащего катета к противолежащему»
  • Есть интересный приём по запоминанию тангенса и котангенса на сайте «Математический тандем», посмотрите.
Читайте также:  Как заваривать травы

Можно  просто зазубрить. Но как показывает практика, благодаря словесно-логическим связкам человек запоминает информацию надолго, и не только математическую.

Надеюсь, материал был вам полезен.

С уважением, Александр Крутицких

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Источник: https://matematikalegko.ru/priyomy/sinus-i-kosinus-zapomnit-navsegda.html

Площадь треугольника через синус и косинус

I. Площадь треугольника через синус

Как найти синус треугольника

  • Как найти синус треугольника
  • Как найти синус треугольника
  • Как найти синус треугольника

Пример расчета площади треугольника через синус. Даны стороны a = 3, b = 4, и угол γ= 30°. По таблице синусов синус угла в 30° равен 0.5
Как найти синус треугольника
Площадь треугольника будет равна 3 кв. см.

Также могут быть и другие условия. Если дана длина одной стороны и углы, то для начала нужно вычислить недостающий угол. Т.к. сумма всех углов треугольника равняется 180°, то:

  • Как найти синус треугольника
  • Как найти синус треугольника
  • Как найти синус треугольника

Площадь будет равна половине квадрата стороны, умноженной на дробь. В ее числителе находится произведение синусов прилегающих углов, а в знаменателе синус противолежащего угла. Теперь рассчитываем площадь по следующим формулам:

  • Как найти синус треугольника
  • Как найти синус треугольника

Например, дан треугольник со стороной a=3 и углами γ=60°, β=60°. Вычисляем третий угол:
Подставляем данные в формулу Получаем, что площадь треугольника равняется 3,87 кв. см.

II. Площадь треугольника через косинус

Чтобы найти площадь треугольника, нужно знать длины всех сторон. По теореме косинусов можно найти не известные стороны, а уже потом использовать формулу Герона.
По теореме косинусов квадрат неизвестной стороны треугольника равняется сумме квадратов остальных сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла, находящегося между ними.

Из теоремы выводим формулы для поиска длины неизвестной стороны:

Зная как найти недостающую сторону, имея две стороны и угол между ними можно легко посчитать площадь. Формула площади треугольника через косинус помогает легко и быстро найти решение различных задач.

Источник: http://2mb.ru/matematika/geometriya/ploshhad-treugolnika-cherez-sinus-i-kosinus/

1.2.1 Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла

  • Видеоурок: Синус, косинус, тангенс и котангенс угла
  • Лекция: Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла
  • Синус, косинус произвольного угла

Чтобы понять, что такое тригонометрические функции, обратимся к окружности с единичным радиусом. Данная окружность имеет центр в начале координат на координатной плоскости. Для определения заданных функций будем использовать радиус-вектор ОР, который начинается в центре окружности, а точка Р является точкой окружности. Данный радиус-вектор образует угол альфа с осью ОХ. Так как окружность имеет радиус, равный единице, то ОР = R = 1.

Как найти синус треугольника

Если с точки Р опустить перпендикуляр на ось ОХ, то получим прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной единице.

Если радиус-вектор двигается по часовой стрелке, то данное направление называется отрицательным, если же он двигается против движения часовой стрелки — положительным.

Как найти синус треугольника

Синусом угла данной окружности, образованного радиусом-вектором ОР, является ордината точки Р вектора на окружности. 

То есть, для получения значения синуса данного угла альфа необходимо определиться с координатой У на плоскости.

Как данное значение было получено? Так как мы знаем, что синус произвольного угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе, получим, что

Как найти синус треугольника

А так как R = 1, то sin(α) = y.

В единичной окружности значение ординаты не может быть меньше -1 и больше 1, значит,

Как найти синус треугольникаКак найти синус треугольника

  1. Синус принимает положительное значение в первой и второй четверти единичной окружности, а в третьей и четвертой — отрицательное.
  2. Косинусом угла данной окружности, образованного радиусом-вектором ОР, является абсцисса точки Р вектора на окружности.
  3. То есть, для получения значения косинуса данного угла альфа необходимо определиться с координатой Х на плоскости.
  4. Косинус произвольного угла в прямоугольном треугольнике — это отношение прилежащего катета к гипотенузе, получим, что

Как найти синус треугольника

А так как R = 1, то cos(α) = x.

В единичной окружности значение абсциссы не может быть меньше -1 и больше 1, значит,

Как найти синус треугольникаКак найти синус треугольника

Косинус принимает положительное значение в первой и четвертой четверти единичной окружности, а во второй и в третьей — отрицательное.

Тангенсом произвольного угла считается отношение синуса к косинусу. 

Если рассматривать прямоугольный треугольник, то это отношение противолежащего катета к прилежащему. Если же речь идет о единичной окружности, то это отношение ординаты к абсциссе.

Как найти синус треугольника

Судя по данным отношениям, можно понять, что тангенс не может существовать, если значение абсциссы равно нулю, то есть при угле в 90 градусов. Все остальные значения тангенс принимать может.

  • Тангенс имеет положительное значение в первой и третьей четверти единичной окружности, а во второй и четвертой является отрицательным.
  • Котангенсом произвольного угла называется отношение косинуса к синусу.
  • Рассматривая прямоугольный треугольник — отношение прилежащего катета к противолежащему, то есть абсциссы к ординате.
  • Так как ордината находится в знаменателе дроби, то котангенс не может существовать при угле альфа, равном нулю градусов.
  • Котангенс принимает те же значения в четвертях единичной окружности, что и тангенс.

Все перечисленные функции являются периодичными. Косинус и синус имеют период 360 градусов, то есть 2Пи, а тангенс и котангенс 180 градусов, то есть Пи.

Предыдущий урок Следующий урок

Источник: https://cknow.ru/knowbase/506-121-sinus-kosinus-tangens-kotangens-proizvolnogo-ugla.html

Как находить синус угла :

Синус является одной из основных тригонометрических функций, применение которой не ограничено одной лишь геометрией. Таблицы вычисления тригонометрических функций, как и инженерные калькуляторы, не всегда под рукой, а вычисление синуса порой нужно для решения различных задач. Вообще, вычисление синуса поможет закрепить чертёжные навыки и знание тригонометрических тождеств.

Игры с линейкой и карандашом

Простая задача: как найти синус угла, нарисованного на бумаге? Для решения понадобится обычная линейка, треугольник (или циркуль) и карандаш.

Простейшим способом вычислить синус угла можно, разделив дальний катет треугольника с прямым углом на длинную сторону — гипотенузу.

Таким образом, сначала нужно дополнить острый угол до фигуры прямоугольного треугольника, прочертив перпендикулярную одному из лучей линию на произвольном расстоянии от вершины угла. Потребуется соблюсти угол именно 90°, для чего нам и понадобится канцелярский треугольник.

Использование циркуля немного точнее, но займёт больше времени.

На одном из лучей нужно отметить 2 точки на некотором расстоянии, настроить на циркуле радиус, примерно равный расстоянию между точками, и прочертить полуокружности с центрами в этих точках до получения пересечений этих линий.

Соединив точки пересечения наших окружностей между собой, мы получим строгий перпендикуляр к лучу нашего угла, остаётся лишь продлить линию до пересечения с другим лучом.

В полученном треугольнике нужно линейкой измерить сторону напротив угла и длинную сторону на одном из лучей. Отношение первого измерения ко второму и будет искомой величиной синуса острого угла.

Как найти синус треугольника

Найти синус для угла больше 90°

Для тупого угла задача не намного сложнее. Нужно прочертить луч из вершины в противоположную сторону с помощью линейки для образования прямой с одним из лучей интересующего нас угла. С полученным острым углом следует поступать как описано выше, синусы смежных углов, образующих вместе развёрнутый угол 180°, равны.

Как найти синус треугольника

Вычисление синуса по другим тригонометрическим функциям

Также вычисление синуса возможно, если известны значения других тригонометрических функций угла или хотя бы длины сторон треугольника. В этом нам помогут тригонометрические тождества. Разберём распространённые примеры.

Как находить синус при известном косинусе угла? Первое тригонометрическое тождество, исходящее из теоремы Пифагора, гласит, что сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла равна единице.

Как найти синус треугольника

Как находить синус при известном тангенсе угла? Тангенс получают делением дальнего катета на ближний или делением синуса на косинус. Таким образом, синусом будет произведение косинуса на тангенс, а квадратом синуса будет квадрат этого произведения.

Читайте также:  Как накладывать румяна правильно

Заменяем косинус в квадрате на разность между единицей и квадратным синусом согласно первому тригонометрическому тождеству и путём нехитрых манипуляций приводим уравнение к вычислению квадратного синуса через тангенс, соответственно, для вычисления синуса придётся извлечь корень из полученного результата.

Как найти синус треугольника

Как находить синус при известном котангенсе угла? Значение котангенса можно вычислить, разделив длину ближнего от угла катета на длину дальнего, а также поделив косинус на синус, то есть котангенс — функция, обратная тангенсу относительно числа 1. Для расчёта синуса можно вычислить тангенс по формуле tg α = 1 / ctg α и воспользоваться формулой во втором варианте. Также можно вывести прямую формулу по аналогии с тангенсом, которая будет выглядеть следующим образом.

Как найти синус треугольника

Как находить синус по трём сторонам треугольника

Существует формула для нахождения длины неизвестной стороны любого треугольника, не только прямоугольного, по двум известным сторонам с использованием тригонометрической функции косинуса противолежащего угла. Выглядит она так.

Как найти синус треугольникаНу, а синус можно далее рассчитать по косинусу согласно формулам выше.

Источник: https://www.syl.ru/article/281693/new_kak-nahodit-sinus-ugla

Синус, косинус, тангенс, котангенс угла

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC.

Как найти синус треугольника

Синус острого угла прямоугольного треугольника

Отношение противолежащего катета к гипотенузе называют синусом острого угла прямоугольного треугольника.

sin alpha = frac{a}{c}

Косинус острого угла прямоугольного треугольника

Отношение близлежащего катета к гипотенузе называют косинусом острого угла прямоугольного треугольника.

cos alpha = frac{b}{c}

Тангенс острого угла прямоугольного треугольника

Отношение противолежащего катета к близлежащему катету называют тангенсом острого угла прямоугольного треугольника.

tg alpha = frac{a}{b}

Котангенс острого угла прямоугольного треугольника

Отношение близлежащего катета к противолежащему катету называют котангенсом острого угла прямоугольного треугольника.

ctg alpha = frac{b}{a}

Синус произвольного угла

Ордината точки на единичной окружности, которой соответствует угол alpha называют синусом произвольного угла поворота alpha.

sin alpha=y

Как найти синус треугольника

Косинус произвольного угла

Абсцисса точки на единичной окружности, которой соответствует угол alpha называют косинусом произвольного угла поворота alpha.

cos alpha=x

Как найти синус треугольника

Тангенс произвольного угла

  • Отношение синуса произвольного угла поворота alpha к его косинусу называют тангенсом произвольного угла поворота alpha.
  • tg alpha = y_{A}
  • tg alpha = frac{sin alpha}{cos alpha}

Как найти синус треугольника

Котангенс произвольного угла

  1. Отношение косинуса произвольного угла поворота alpha к его синусу называют котангенсом произвольного угла поворота alpha.

  2. ctg alpha =x_{A}
  3. ctg alpha = frac{cos alpha}{sin alpha}

Как найти синус треугольника

Пример нахождения произвольного угла

  • Если alpha — некоторый угол AOM, где M — точка единичной окружности, то
  • sin alpha=y_{M}, cos alpha=x_{M}, tg alpha=frac{y_{M}}{x_{M}}, ctg alpha=frac{x_{M}}{y_{M}}.
  • Например, если angle AOM = -frac{pi}{4}, то: ордината точки M равна -frac{sqrt{2}}{2}, абсцисса равна frac{sqrt{2}}{2} и потому
  • sin left (-frac{pi}{4}
    ight )=-frac{sqrt{2}}{2};
  • cos left (frac{pi}{4}
    ight )=frac{sqrt{2}}{2};
  • tg left (-frac{pi}{4}
    ight )=-1;
  • ctg left (-frac{pi}{4}
    ight )=-1.

Таблица значений синусов косинусов тангенсов котангенсов

Значения основных часто встречающихся углов приведены в таблице:

0^{circ} (0) 30^{circ}left(frac{pi}{6}
ight)
45^{circ}left(frac{pi}{4}
ight)
60^{circ}left(frac{pi}{3}
ight)
90^{circ}left(frac{pi}{2}
ight)
180^{circ}left(pi
ight)
270^{circ}left(frac{3pi}{2}
ight)
360^{circ}left(2pi
ight)
sinalpha frac12 frac{sqrt 2}{2} frac{sqrt 3}{2} 1 −1
cosalpha 1 frac{sqrt 3}{2} frac{sqrt 2}{2} frac12 −1 1
tg alpha frac{sqrt 3}{3} 1 sqrt3
ctg alpha sqrt3 1 frac{sqrt 3}{3}

Источник: https://academyege.ru/page/sinus-kosinus-tangens-kotangens.html

Синус косинус и тангенс — материалы для подготовки к ЕГЭ по Математике

Изучение тригонометрии мы начнем с прямоугольного треугольника. Определим, что такое синус и косинус, а также тангенс и котангенс острого угла. Это основы тригонометрии.

Напомним, что прямой угол — это угол, равный 90 градусов. Другими словами, половина развернутого угла.

  • Острый угол — меньший 90 градусов.
  • Тупой угол — больший 90 градусов. Применительно к такому углу «тупой» — не оскорбление, а математический термин 🙂
  • Как найти синус треугольника

Нарисуем прямоугольный треугольник. Прямой угол обычно обозначается . Обратим внимание, что сторона, лежащая напротив угла, обозначается той же буквой, только маленькой. Так, сторона, лежащая напротив угла A, обозначается .

  1. Угол обозначается соответствующей греческой буквой .
  2. Как найти синус треугольника
  3. Гипотенуза прямоугольного треугольника — это сторона, лежащая напротив прямого угла.
  4. Катеты — стороны, лежащие напротив острых углов.

Катет , лежащий напротив угла , называется противолежащим (по отношению к углу ). Другой катет , который лежит на одной из сторон угла , называется прилежащим.

  • Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:
  • Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к гипотенузе:
  • Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему:
  • Другое (равносильное) определение: тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу:
  • Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к противолежащему (или, что то же самое, отношение косинуса к синусу):

Обратите внимание на основные соотношения для синуса, косинуса, тангенса и котангенса, которые приведены ниже. Они пригодятся нам при решении задач.

Давайте докажем некоторые из них.

  1. Сумма углов любого треугольника равна . Значит, сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равнa .
  2. С одной стороны, как отношение противолежащего катета к гипотенузе. С другой стороны, , поскольку для угла  катет а будет прилежащим.Получаем, что . Иными словами, .
  3. Возьмем теорему Пифагора: . Поделим обе части на : Мы получили основное тригонометрическое тождество.
  4. Поделив обе части основного тригонометрического тождества на , получим: Это значит, что если нам дан тангенс острого угла , то мы сразу можем найти его косинус. Аналогично,

Хорошо, мы дали определения и записали формулы. А для чего все-таки нужны синус, косинус, тангенс и котангенс?

Мы знаем, что сумма углов любого треугольника равна .

Знаем соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Это теорема Пифагора: .

Получается, что зная два угла в треугольнике, можно найти третий. Зная две стороны в прямоугольном треугольнике, можно найти третью. Значит, для углов — свое соотношение, для сторон — свое. А что делать, если в прямоугольном треугольнике известен один угол (кроме прямого) и одна сторона, а найти надо другие стороны?

С этим и столкнулись люди в прошлом, составляя карты местности и звездного неба. Ведь не всегда можно непосредственно измерить все стороны треугольника.

Синус, косинус и тангенс — их еще называют тригонометрическими функциями угла — дают соотношения между сторонами и углами треугольника. Зная угол, можно найти все его тригонометрические функции по специальным таблицам. А зная синусы, косинусы и тангенсы углов треугольника и одну из его сторон, можно найти остальные.

Мы тоже нарисуем таблицу значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса для «хороших» углов от  до .

Обратите внимание на два красных прочерка в таблице. При соответствующих значениях углов тангенс и котангенс не существуют.

Разберем несколько задач по тригонометрии из Банка заданий ФИПИ.

1. В треугольнике угол  равен , . Найдите .

Задача решается за четыре секунды.

Поскольку , .

2. В треугольнике угол  равен , , . Найдите .

  1. Имеем:
  2. Отсюда
  3. Найдем  по теореме Пифагора.
  4. Задача решена.

Часто в задачах встречаются треугольники с углами  и  или с углами  и . Основные соотношения для них запоминайте наизусть!

Для треугольника с углами  и  катет, лежащий напротив угла в , равен половине гипотенузы.

Треугольник с углами  и  — равнобедренный. В нем гипотенуза в раз больше катета.

Мы рассмотрели задачи на решение прямоугольных треугольников — то есть на нахождение неизвестных сторон или углов. Но это не всё! В вариантах ЕГЭ по математике множество задач, где фигурирует синус, косинус, тангенс или котангенс внешнего угла треугольника. Об этом — в следующей статье.

Источник: https://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/sinus/

Синус

Синус (sin) для острого угла рассматривается как отношение катета, который лежит напротив этого угла, к гипотенузе. Он является одной из тригонометрических функций, к которым еще относится косинус, тангенс и котангенс, а также секанс и косеканс.

Данная тригонометрическая функция, как и остальные, может рассматриваться для острых углов как соотношение сторон прямоугольного треугольника. Синусом (sin) угла принято

Как найти синус треугольника

Леонард Эйлер

(04.04.1707 — 07.09.1783)

Швейцарский, немецкий и российский математик, внёсший значительный вклад в развитие математики, а также механики, физики, астрономии и ряда прикладных наук.

называть ординату (координату по оси OY). Например:

Существует две наиболее распространенные единицы измерения углов. К ним относятся градусы и радианы. Перевести градусы в радианы достаточно просто. 360 градусов, то есть полный круг соответствует 2π радиану.

Он считается положительным в том случае, если угол отсчитывается против часовой стрелки. Если же отсчитывать по часовой стрелке, тогда такой угол считается отрицательным: sin(-a) = sin a. Углы могут быть также и больше 360 градусов.

Читайте также:  Как купить телевизор

К примеру, угол 740° — это два полных оборота плюс еще 20°. Так как мы, сделав несколько полных оборотов по окружности, возвращаемся на исходную точку, которая имеет те же координаты по оси Y.

В тригонометрическом круге значение синуса повторяет свое значение каждые 360 градусов. Sin(а + 360°*n) = sin а, где n — целое число.

В общем история тригонометрии насчитывает два тысячелетия. Так как большинство математических соотношений невозможно было выразить при помощи обычных алгебраических операций, были введены тригонометрические функции, которые вначале оформлялись в виде таблиц.

Упоминания о таких понятиях как «синус» и «косинус» в тригонометрических трактатах начинают появляться в индийских ученых ІV–V ст. В Х ст. арабские ученые владели понятиями «тангенс», возникло с потребностью гномики – учение о солнечных часах.

В Европе первый трактат по тригонометрии «Пять книг о треугольнике всех видов», автором которого стал немецкий ученый Региомонтан (1436–1476), был опубликован в 1533 р. Современный вид тригонометрия приобрела в работах выдающегося математика, физика, астронома и механика Леонарда Эйлера.

Математики Древней Индии синус называли словом «джива», что обозначало тетиву лука. В дальнейшем этот термин арабы превратили в «джиба». А тот в дальнейшем еще превратился в «джайо», более привычное для арабского языка слово, которое означает изгиб, складку одежды. Он же и соответствует латинскому слову sinus.

Вернуться к просмотру справок по дисциплине «Геометрия»

Источник: http://www.studyguide.ru/note.php?id=41

Как найти синус?

Решение многих как алгебраических, так и геометрических задач невозможно без использования такой тригонометрической функции как синус. Для нахождения величины синуса можно использовать как собственно определение функции, так и соотношения тождеств тригонометрии, формулы приведения, а также теорему синусов. С каждым из данных способов более подробно и познакомит данная статья.

1

Нахождение величины синуса по определению

Формулировка термина “синус” определяет данную тригонометрическую величину как соотношение определенных сторон прямоугольного треугольника – отношение катета, лежащего против искомого угла, к гипотенузе.

Рассмотрим ΔDFG, ∠DFG = 90°. Тогда:

  • sinD = FG / DG,
  • FG — противолежащий катет,
  • DG — гипотенуза представленного треугольника.

2

Нахождение величины синуса через формулу теоремы синусов

Данная теорема является универсальной, т.к. позволяет установить соотношение между углами и сторонами не только прямоугольного, то и произвольного треугольника.

Рассмотрим ΔLMN,

  • MN = l, NL = m, ML = n.
  • ∠M = η, ∠N = μ, ∠L = γ.
  • Для произвольного треугольника ΔLMN верно соотношение l / sinL = m / sinM = n / sinN – каждая сторона треугольника пропорциональна синусу угла, напротив которого она располагается.
  • Обозначив радиус описанной около треугольника окружности через R, соотношение теоремы синусов справедливо в следующей форме:
  • l / sinL = m / sinM = n / sinN = 2R.
  • Из соотношения следует:
  • sinL = l / 2R,
  • sinM = m / 2R,
  • sinN = n / 2R.

3

Нахождение величины синуса через площадь треугольника

  1. Перед вами  ΔDBC со сторонами
  2. DB = c,
  3. BC = d,
  4. DC = b.

  5. Для нахождения площади треугольника можно воспользоваться соотношением S = bc / 2sinD (или S = cd / 2sinB, или S = bd / 2sinC).

    Из этого следует, что:

  • sinD = bc / 2S,
  • sinB = cd / 2S,
  • sinC = bd / 2S.

4

Нахождение величины синуса через тождества тригонометрии

Тождественные выражения справедливы для угла любой градусной меры.

  • cos2φ + sin2φ = 1 ⇒ sin2φ = 1 — cos2φ ⇒ ΙsinφΙ = √ 1 — cos2φ ⇒ sinφ = ±√ 1 — cos2φ.
  • tgφ = sinφ / cosφ ⇒ sinφ = cosφ * tgφ.
  • ctgφ = cosφ / sinφ ⇒ sinφ = cosφ / ctgφ.
  • 1/sin2φ = ctg2φ + 1 ⇒ sin2φ = 1 / (ctg2φ + 1) ⇒ ΙsinφΙ = 1 / √ctg2φ + 1 ⇒ sinφ = ± 1 / √ctg2φ + 1.
  • sin(η + μ) = sinη * cosμ + cosη * sinμ,
  • sin(η – μ) = sinη * cosμ – cosη * sinμ,
  • sinη + sinμ = 2sin((η + μ)/2) * cos((η – μ)/2),
  • sinη – sinμ = 2cos((η + μ)/2) * sin((η – μ)/2)
  • sinη * sinμ = (cos(η – μ) – cos(η + μ))/2,
  • sinη = 2tg(η/2) / (1 + tg2(η/2)).
  • sin2η =2sinη * cosη,
  • sin3η =3sinη – 4sin3η.

Воспользовавшись таблицей Брадиса, можно определить значение синуса для каждого угла в промежутке от 0° до 360°. Наиболее часто при решении задач школьного курса геометрии используются следующие табличные величины:

  • sin0° = 0,                                      sin90° = 1,
  • sin30° =1/2,                                 sin180° = 0,
  • sin60° = √3/2,                               sin270° = -1,
  • sin45° = √2/2,                               sin360° = 0.

Источник: https://sovetclub.ru/kak-najti-sinus

Как Найти Синус Угла В Треугольнике?

Я так понял, что задача сводится к тому, что нам неизвестен угол треугольника, и нам нужно его найти.

Для того чтобы найти синус угла, а затем и сам угол в произвольном треугольнике, необходимо знать длины двух сторон: стороны, противолежащей искомому углу, и какой-либо другой стороны — и ещё величину угла, противолежащего этой последней стороне. А затем нужно применить теорему синусов.

Обозначим искомый (неизвестный) угол как A, противолежащую сторону — a, другую известную сторону — b, известный противолежащий этой стороне угол — B. По теореме синусов: a/sin(A) = b/sin(B). Отсюда: sin(A) = a * sin(B)/b; A = arcsin[a * sin(B)/b].

Для того, чтобы найти синус угла прямоугольного треугольника можно воспользоваться определением синуса. А синус — это отношение противолежащ. катета к гипотенузе. То есть синус угла А = ВС/АВ, где ВС — противол. катет, АВ — гипотенуза.

В случае прямоугольного треугольника задача на нахождение синуса любого угла сводится всего лишь к вычислению отношения противолежащего от угла катета к гипотенузе — полученное значение и будет синусом. В произвольном треугольнике найти синус угла уже сложнее, но также возможно.

Для этого надо хоть что-то знать из параметров треугольника.

Например если известны три стороны треугольника, то углы находятся по теореме косинусов, а потом при желании легко находится синус уже найденного угла: Так же синус любого угла можно найти если известны две стороны и угол между ними — по той же теореме косинусов находится третья сторона и далее как было описано. Если же угол находится не между известными сторонами в ход идет теорема синусов — находится второй угол не между сторонами и по свойству что сумма углов — 180 градусов находится третий угол:

Чтобы ответить правильно на данный вопрос, нужно уточнить, синус угла в каком треугольнике нужно найти. Если этот треугольник произвольный, то это мы можем сделать только по теореме синусов (здесь см. исчерпывающий ответ Алекса).

Если же нужно найти синус острого угла в прямоугольном треугольнике, то нужно воспользоваться определением синуса угла (как отношения противолежащего катета к гипотенузе).

Тогда ответом будет: синус угла А = ВС/АВ, где ВС — противолежащий катет, АВ — гипотенуза.

Если величина угла неизвестна, то так: синус угла равен отношению длины противолежащей рассматриваемому углу стороны к диаметру описанной вокруг треугольника окружности. А как найти этот диаметр? Нужно найти центр описанной окружности.

Для этого через середины любых двух сторон треугольника провести перпендикуляры. Точка пересечения этих перпендикуляров и есть центр описанной окружности. Расстояние от нее до любой вершины треугольника — радиус описанной окружности.

Если известен угол треугольника, то можно воспользоваться специальным справочником и посмотреть там синус данного угла. Если же не известен угол, но то можно воспользоваться теоремой синусов. В частном случае, синус угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.

Давайте дадим определение, что же такое синус. Синус угла (sin) в треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Так что найти синус угла довольно таки просто, если есть значение катета и гипотенузы.

Источник: http://otvet.expert/kak-nayti-sinus-ugla-v-treugolnike-686394

Ссылка на основную публикацию