Как найти косинус

  • Примеры:
  • (cos{⁡30^°}=)(frac{sqrt{3}}{2}) (cos⁡)(frac{π}{3})(=)(frac{1}{2}) (cos⁡2=-0,416…)
  • Содержание:

Аргумент и значение

Как найти косинус

Косинус острого угла можно определить с помощью прямоугольного треугольника – он равен отношению прилежащего катета к гипотенузе

Пример:

1) Пусть дан угол и нужно определить косинус этого угла.

Как найти косинус

2) Достроим на этом угле любой прямоугольный треугольник.

Как найти косинус

3) Измерив, нужные стороны, можем вычислить косинус.

Как найти косинус

Косинус острого угла больше (0) и меньше (1)

Если при решении задачи косинус острого угла получился больше 1 или отрицательным, то значит где-то в решении есть ошибка.

Числовая окружность позволяет определить косинус любого числа, но обычно находят косинус чисел как-то связанных с Пи: (frac{π}{2}), (frac{3π}{4}), (-2π).

Например, для числа (frac{π}{6}) – косинус будет равен (frac{sqrt{3}}{2}). А для числа (-)(frac{3π}{4}) он будет равен (-)(frac{sqrt{2}}{2}) (приблизительно (-0,71)).

Как найти косинус

Косинус для других часто встречающихся в практике чисел смотри в тригонометрической таблице.

Значение косинуса всегда лежит в пределах от (-1) до (1). При этом вычислен косинус может быть для абсолютно любого угла и числа

Благодаря числовой окружности можно определять косинус не только острого угла, но и тупого, отрицательного, и даже большего, чем (360°) (полный оборот). Как это делать – проще один раз увидеть, чем (100) раз услышать, поэтому смотрите картинку.

Как найти косинус

Теперь пояснение: пусть нужно определить косинус угла КОА с градусной мерой в (150°). Совмещаем точку О с центром окружности, а сторону ОК – с осью (x). После этого откладываем (150°) против часовой стрелки. Тогда ордината точки А покажет нам косинус этого угла.

Если же нас интересует угол с градусной мерой, например, в (-60°) (угол КОВ), делаем также, но (60°) откладываем по часовой стрелке.

Как найти косинус

И, наконец, угол больше (360°) (угол КОС) – всё аналогично тупому, только пройдя по часовой стрелке полный оборот, отправляемся на второй круг и «добираем нехватку градусов». Конкретно в нашем случае угол (405°) отложен как (360° + 45°).

Как найти косинус

Несложно догадаться, что для откладывания угла, например, в (960°), надо сделать уже два оборота ((360°+360°+240°)), а для угла в (2640°) – целых семь.

Стоит запомнить, что:

Косинус прямого угла равен нулю. Косинус тупого угла – отрицателен.

С помощью оси косинусов (то есть, оси абсцисс, выделенной на рисунке красным цветом) легко определить знаки косинусов по четвертям числовой (тригонометрической) окружности:

– там, где значения на оси от (0) до (1), косинус будет иметь знак плюс (I и IV четверти – зеленая область), – там, где значения на оси от (0) до (-1), косинус будет иметь знак минус (II и III  четверти – фиолетовая область).

Как найти косинус

Пример. Определите знак (cos 1). Решение: Найдем (1) на тригонометрическом круге. Будем отталкиваться от того, что (π=3,14). Значит единица, примерно, в три раза ближе к нулю (точке «старта»).

Как найти косинус

Если провести перпендикуляр к оси косинусов, то станет очевидно, что (cos⁡1) – положителен. Ответ: плюс.

– синусом того же угла (или числа): основным тригонометрическим тождеством (sin^2⁡x+cos^2⁡x=1) – тангенсом того же угла (или числа): формулой (1+tg^2⁡x=)(frac{1}{cos^2⁡x}) – котангенсом и синусом того же угла (или числа): формулой (ctgx=)(frac{cos{x}}{sin⁡x}) Другие наиболее часто применяемые формулы смотри здесь.

  1. Если отложить по оси (x) углы в радианах, а по оси (y) – соответствующие этим углам значения косинуса, мы получим следующий график:
  2. График данной функции называется косинусоида и обладает следующими свойствами:
  3.       – область определения – любое значение икса:   (D(cos{⁡x} )=R)       – область значений – от (-1) до (1) включительно:    (E(cos{x} )=[-1;1])       – четная:   (cos⁡(-x)=cos{x})       – периодическая с периодом (2π):   (cos⁡(x+2π)=cos{x})       – точки пересечения с осями координат:
  4.              ось абсцисс:   (()(frac{π}{2})(+πn),(;0)), где (n ϵ Z)
  5.              функция положительна на интервалах:   ((-)(frac{π}{2})(+2πn;) (frac{π}{2})(+2πn)), где (n ϵ Z)

             ось ординат:   ((0;1))       – промежутки знакопостоянства:              функция отрицательна на интервалах:   (()(frac{π}{2})(+2πn;)(frac{3π}{2})(+2πn)), где (n ϵ Z)       – промежутки возрастания и убывания:              функция возрастает на интервалах:    ((π+2πn;2π+2πn)), где (n ϵ Z)              функция убывает на интервалах:    ((2πn;π+2πn)), где (n ϵ Z)        – максимумы и минимумы функции:              функция имеет максимальное значение (y=1) в точках (x=2πn), где (n ϵ Z)

  •              функция имеет минимальное значение (y=-1) в точках (x=π+2πn), где (n ϵ Z).

Источник: http://cos-cos.ru/math/185/

Синус и косинус. Запомнить навсегда!

Как найти косинус

Синус косинус, определение. Друзья! В прошлой статье, где были рассмотрены задачи на решение прямоугольного треугольника, я пообещал изложить приём запоминания определений синуса и косинуса. Используя его, вы всегда быстро вспомните – какой катет относится к гипотенузе (прилежащий или противолежащий). Решил в «долгий ящик не откладывать», необходимый материал ниже, прошу ознакомиться ????

Дело в том, что я не раз наблюдал, как учащиеся 10-11 классов с трудом вспоминают данные определения. Они прекрасно помнят, что катет относится к гипотенузе, а вот какой из них — забывают и путают. Цена ошибки, как вы знаете на экзамене – это потерянный бал. 

Информация, которую я представлю непосредственно к математике не имеет никакого отношения. Она связана с образным мышлением, и с приёмами словесно-логической  связи. Именно так, я сам, раз и на всегда запомнил данные определения. Если вы их всё же забудете, то при помощи представленных приёмов всегда легко  вспомните.

Напомню  определения синуса и косинуса  в прямоугольном треугольнике:

Как найти косинус

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике —   это отношение прилежащего катета к гипотенузе:

Как найти косинус

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:

  • Как найти косинус
  • Итак, какие ассоциации у вас вызывает слово косинус?
  • Наверное, у каждого свои ????   Запоминайте связку:
  • Как найти косинус
  • Таким образом, у вас сразу в памяти возникнет выражение – 
  • «… отношение ПРИЛЕЖАЩЕГО катета к гипотенузе».
  • Проблема с определением косинуса решена.

Если нужно вспомнить определение синуса в прямоугольном треугольнике, то вспомнив определение косинуса, вы без труда установите, что синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Ведь катетов всего два, если прилежащий катет «занят» косинусом, то синусу остаётся только противолежащий.

Как быть с тангенсом и котангенсом? Путаница та же. Учащиеся знают, что это отношение катетов, но проблема вспомнить какой к которому относится – то ли противолежащий к прилежащему, то ли наоборот.

Определения:

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике  — это отношение противолежащего катета к прилежащему:

Как найти косинус

Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике  — это отношение прилежащего катета к противолежащему:

Как найти косинус

Как запомнить? Есть два способа. Один так же  использует  словесно-логическую связь, другой – математический.

  1. Есть такое  определение – тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу:
  2. Как найти косинус
  3. *Запомнив формулу, вы всегда сможете определить, что тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике  — это отношение противолежащего катета к прилежащему.
  4. Аналогично. Котангенсом острого угла называется отношение косинуса угла к его синусу:
  5. Как найти косинус
  6. Итак! Запомнив указанные формулы вы всегда сможете определить, что:
  7. — тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике  — это отношение противолежащего катета к прилежащему
  8. — котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике  — это отношение прилежащего катета к противолежащему.

СПОСОБ СЛОВЕСНО-ЛОГИЧЕСКИЙ

  • О тангенсе. Запомните связку:
  • Как найти косинус
  • То есть если потребуется вспомнить определение тангенса, при помощи данной  логической связи,  вы без труда вспомните, что это
  • «… отношение противолежащего катета к прилежащему» 
  • Если речь зайдёт о котангенсе, то вспомнив определение тангенса вы без труда озвучите определение котангенса –
  • «… отношение прилежащего катета к противолежащему»
  • Есть интересный приём по запоминанию тангенса и котангенса на сайте “Математический тандем”, посмотрите.

Можно  просто зазубрить. Но как показывает практика, благодаря словесно-логическим связкам человек запоминает информацию надолго, и не только математическую.

Надеюсь, материал был вам полезен.

С уважением, Александр Крутицких

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Источник: https://matematikalegko.ru/priyomy/sinus-i-kosinus-zapomnit-navsegda.html

Что такое синус и косинус — это проценты

Основы тригонометрии можно описать простыми формулами:

синус = противоположный катет / гипотенуза
косинус = прилежащий катет / гипотенуза
тангенс = противоположный катет / прилежащий катет

Такая формула тангенса раскрывает само понятие тангенса также ясно, как и формула x2 + y2 = r2 описывает круг.

Конечно, если вы — вычислительная машина, то такого уравнения будет вполне достаточно. Другим же людям с обычным мозгом, который наполовину занят обработкой зрительных образов, любое понятие необходимо визуализировать. Только так сухая пропорция приобретает смысл.

Как найти косинус

Я думаю, вы заслуживаете больше, чем это. Вот мой ключ к тригонометрии:

  • Нарисуйте купол, стену и потолок
  • Тригонометрические функции — это не что иное, как процентное отношение этих трех форм.

Метафора для синуса и косинуса: купол

Вместо того, чтобы просто смотреть на сами треугольники, представьте их в действии, найдя какой-то частный пример из жизни.

Представьте, будто вы находитесь посередине купола и хотите подвесить экран для кинопроектора. Вы указываете пальцем на купол под неким углом “x”, и к этой точке должен быть подвешен экран.

Как найти косинус

Угол, на который вы указываете, определяет:

  • синус(x) = sin(x) = высота экрана (от пола до точки крепления на куполе)
  • косинус(x) = cos(x) = расстояние от вас до экрана (по полу)
  • гипотенуза, расстояние от вас к верхушке экрана, всегда одинаковое, равно радиусу купола

Хотите, чтобы экран был максимально большой? Повесьте его прямо над собой.

Хотите, чтобы экран висел на максимально большом расстоянии от вас? Вешайте его прямо перпендикулярно. У экрана будет нулевая высота в этом положении, и он будет висеть наиболее отдаленно, как вы и просили.

Высота и расстояние от экрана обратно пропорциональны: чем ближе висит экран, тем его высота будет больше.

Читайте также:  Как приготовить ребрышки

Синус и косинус — это проценты

Никто в годы моей учебы, увы, не объяснил мне, что тригонометрические функции синус и косинус — это не что иное, как проценты. Их значения варьируются от +100% до 0 и до -100%, или от положительного максимума до нуля и до отрицательного максимума.

Скажем, я заплатил налог 14 рублей. Вы не знаете, насколько это много. Но если сказать, что я заплатил 95% в качестве налога, вы поймете, что меня просто ободрали, как липку.

Абсолютная высота ни о чем не говорит. Но если значение синуса составляет 0.95, то я понимаю, что телевизор висит почти на верхушке вашего купола. Очень скоро он достигнет максимальной высоты по центру купола, а затем начнет снова снижаться.

Как мы можем вычислить этот процент? Очень просто: поделите текущее значение высоты экрана на максимально возможное (радиус купола, который также называют гипотенузой).

Вот почему нам говорят, что “косинус = противоположный катет / гипотенуза”. Это всё для того, чтобы получить процент! Лучше всего определить синус как “процент текущей высоты от максимально возможной”. (Синус становится отрицательным, если ваш угол указывает “под землю”. Косинус становится отрицательным, если угол указывает на точку купола позади вас).

Давайте упростим расчеты, предположив, что мы находимся в центре единичной окружности (радиус = 1). Мы можем пропустить деление и просто взять синус, равный высоте.

Каждая окружность, по сути, является единичной, увеличенной или уменьшенной в масштабе до нужного размера. Поэтому определите связи наединичной окружности и примените результаты к вашему конкретному размеру окружности.

Поэкспериментируйте: возьмите любой угол и посмотрите, какое процентное соотношение высоты к ширине он отображает:

График роста значения синуса — не просто прямая линия. Первые 45 градусов покрывают 70% высоты, а последние 10 градусов (с 80°до 90°) покрывают всего 2%.

Так вам станет понятнее: если идти по кругу, при 0° вы подымаетесь почти вертикально, но по мере подхода к верхушке купола, высота изменяется всё меньше и меньше.

Тангенс и секанс. Стена

Однажды сосед построил стену прямо впритык к вашему куполу. Плакали ваш вид из окна и хорошая цена для перепродажи!

Но можно ли как-то выиграть в этой ситуации?

Как найти косинус

Конечно, да. А что, если мы повесим киноэкран прямо на соседскую стену? Вы нацеливаетесь на угол (х) и получаете:

  • тангенс(x) = tan(x) = высота экрана на стене
  • расстояние от вас до стены: 1 (это радиус вашего купола, стена никуда не двигается от вас, верно?)
  • секанс(x) = sec(x) = “длина лестницы” от вас, стоящего в центре купола, до верхушки подвешенного экрана

Давайте уточним пару моментов касательно тангенса, или высоты экрана.

  • он начинается на 0, и может подниматься бесконечно высоко. Вы можете растягивать экран все выше и выше на стене, чтобы получить просто бесконечное полотно для просмотра любимого фильма! (На такой огромный, конечно, придется прилично потратиться).
  • тангенс — это просто увеличенная версия синуса! И пока прирост синуса замедляется по мере продвижения к верхушке купола, тангенс продолжает расти!

Секансу тоже есть, чем похвастаться:

  • cеканс начинается с 1 (лестница лежит на полу, от вас к стене) и начинает подниматься оттуда
  • cеканс всегда длиннее тангенса. Наклоненная лестница, с помощью которой вы вешаете свой экран, должна быть длиннее, чем сам экран, верно? (При нереальных размерах, когда экран оооочень длинный, и лестницу нужно ставить практически вертикально, их размеры почти одинаковы. Но даже тогда секанс будет чуточку длиннее).

Помните, значения являются процентами. Если вы решили повесить экран под углом 50 градусов, tan(50)=1.19. Ваш экран на 19% больше, чем расстояние к стене (радиус купола).

(Введите x=0 и проверьте свою интуицию — tan(0) = 0, а sec(0) = 1.)

Котангенс и косеканс. Потолок

Невероятно, но ваш сосед теперь решил возвести перекрытие над вашим куполом. (Что с ним такое? Он, видимо, не хочет, чтобы вы за ним подглядывали, пока он разгуливает по двору голышом…)

Ну что ж, настало время построить выход на крышу и поговорить с соседом. Вы выбираете угол наклона, и начинаете строительство:

Как найти косинус

  • вертикальное расстояние между выходом на крыше и полом всегда равно 1 (радиусу купола)
  • котангенс(x) = cot(x) = расстояние между верхушкой купола и местом выхода
  • косеканс(x) = csc(x) = длина вашего пути на крышу

Тангенс и секанс описывает стену, а КОтангенс и КОсеканс описывает перекрытие.

Наши интуитивные умозаключения в этот раз похожи на предыдущие:

  • eсли вы возьмете угол, равный 0°, ваш выход на крышу будет длиться бесконечно, так как никогда не достигнет перекрытия. Проблемка.
  • cамый короткий “трап” на крышу получится, если строить его под углом 90 градусов к полу. Котангенс будет равен 0 (мы вообще не передвигаемся вдоль крыши, выходим строго перпендикулярно), а косеканс равен 1 (“длина трапа” будет минимальной).

Визуализируйте связи

Если все три случая нарисовать в комбинации купол-стена-перекрытие, получится следующее:

Как найти косинус

Ну надо же, это всё один тот же треугольник, увеличенный в размере, чтобы достать до стены и до перекрытия. У нас есть вертикальные стороны (синус, тангенс), горизонтальные стороны (косинус, котангенс) и “гипотенузы” (секанс, косеканс). (По стрелкам вы можете видеть, докуда доходит каждый элемент. Косеканс — это полное расстояние от вас до крыши).

Немного волшебства. Все треугольники объединяют одни и те же равенства:

Как найти косинус

Из теоремы Пифагора (a2 + b2 = c2) мы видим, как связаны стороны каждого треугольника. Кроме того, соотношения типа “высота к ширине” должны быть также одинаковыми для всех треугольников. (Просто отступите от самого большого треугольника к меньшему. Да, размер изменился, но пропорции сторон останутся прежними).

Зная, какая сторона в каждом треугольнике равна 1 (радиусу купола), мы легко вычислим, что “sin/cos = tan/1”.

Я всегда пытался запомнить эти факты путем простой визуализации. На картинке ты четко видишь эти зависимости, и понимаешь, откуда они берутся. Этот прием гораздо лучше заучивания сухих формул.

Не стоит забывать о других углах

Тсс… Не нужно зацикливаться на одном графике, думая, что тангенс всегда меньше 1. Если увеличить угол, можно дойти до потолка, не достигнув стены:

Как найти косинус

Связи Пифагора всегда работают, но относительные размеры могут быть разными.

(Вы, наверное, заметили, что соотношение синус и косинус всегда самые маленькие, потому что они заключены внутри купола).

Подытожим: что нам нужно запомнить?

Для большинства из нас, я бы сказал, что этого будет достаточно:

  • тригонометрия поясняет анатомию математических объектов, таких как окружности и повторяющиеся интервалы
  • аналогия купол/стена/крыша показывает связь между различными тригонометрическими функциями
  • результатом тригонометрических функций являются проценты, которые мы применяем к нашему сценарию.

Вам не нужно запоминать формулы, типа 12 + cot2 = csc2. Они годятся разве что для глупых тестов, в которых знание факта выдаётся за его понимание. Потратьте минутку, чтобы нарисовать полуокружность в виде купола, стену и крышу, подпишите элементы, и все формулы сами напросятся вам на бумагу.

Далее мы узнаем о графиках, дополнениях и использовании формулы Эйлера для поиска новых связей.

Приложение: обратные функции

Любая тригонометрическая функция использует в качестве входного параметра угол и возвращает результат в виде процента. sin(30) = 0.5. Это означает, что угол в 30 градусов занимает 50% от максимальной высоты.

Обратная тригонометрическая функция записывается как sin-1 или arcsin (“арксинус”). Также часто пишут asin в различных языках программирования.

Если наша высота составляет 25% от высоты купола, каков наш угол?

Пойдем дальше: обратный секанс — это как? Очень часто такой функции нет в калькуляторах.

В нашей табличке пропорций можно найти соотношение, где секанс делится на 1. Например, секанс на 1 (гипотенуза к горизонтали) будет равно 1 поделить на косинус:

Допустим, наш секанс равен 3.5, т.е. 350% от радиуса единичной окружности. Какому углу наклона к стене это значение соответствует?

Как найти косинус

Приложение: Несколько примеров

Пример: Найти синус угла x.
Как найти косинус

Скучная задачка. Давайте усложним банальное “найти синус” до “Какая высота в процентах от максимума (гипотенузы)?”.

Во-первых, заметьте, что треугольник повернут. В этом нет ничего страшного. Всё также у треугольника есть высота, она на рисунке указана зеленым.

А чему равна гипотенуза? По теореме Пифагора, мы знаем, что:

32 + 42 = гипотенуза2
25 = гипотенуза2
5 = гипотенуза

Хорошо! Синус — это процент высоты от самой длинной стороны треугольника, или гипотенузы. В нашем примере синус равен 3/5 или 0.60.

Далее: Находим угол.

Конечно, мы можем пойти несколькими путями. Теперь мы знаем, что синус равен 0.60, и мы можем просто найти арксинус:

asin(0.6)=36.9

А вот еще один подход. Заметьте, что треугольник стоит “лицом к лицу к стене”, так что вместо синуса мы можем использовать тангенс. Высота равна 3, расстояние стене — 4, так что тангенс равен ¾ или 75%. Мы можем использовать арктангенс, чтобы из процентного значения вернуться обратно в угол:

tan = 3/4 = 0.75
atan(0.75) = 36.9Пример: А доплывете ли вы до берега?
Как найти косинус

Вы в лодке, и у вас есть достаточно топлива, чтобы проплыть 2 км. Сейчас вы находитесь в 0.25 км от берега. Под каким максимальным углом к берегу вы можете доплыть до него так, чтобы хватило топлива? Дополнение к условию задачи: у нас в наличии есть только таблица значений арккосинусов.

Что мы имеем? Береговую линию можно представить как “стену” в нашем знаменитом треугольнике, а “длину лестницы”, приставленной к стене — максимально возможным преодолимым расстоянием на лодке к берегу (2 км). Вырисовывается секанс.

Сначала, нужно перейти на проценты. У нас есть 2 / 0.25 = 8, то есть мы можем проплыть расстояние, в 8 раз больше прямой дистанции до берега (или до стены).

Возникает вопрос “Чему равен секанс 8?”. Но мы не можем дать на него ответ, так как у нас есть только арккосинусы.

Читайте также:  Как начать свое дело по торговле

Мы используем наши ранее выведенные зависимости, чтобы привязать секанс к косинусу: “sec/1 = 1/cos”

Секанс 8 равен косинусу ⅛. Угол, косинус которого ⅛ равен acos(1/8) = 82.8. И это самый большой угол, который мы можем себе позволить на лодке с указанным количеством горючего.

Неплохо, правда? Без аналогии с куполом-стеной-потолком, я бы запутался в куче формул и вычислений. Визуализация задачи сильно упрощает поиск решения, к тому же, интересно увидеть, какая тригонометрическая функция в итоге поможет.

При решении каждой задачи думайте следующим образом: меня интересует купол (sin/cos), стена (tan/sec) или потолок (cot/csc)?

И тригонометрия станет куда приятнее. Легких вам вычислений!

Перевод статьи “How To Learn Trigonometry Intuitively”.

Источник: https://zero2hero.org/article/math/43-sinus-i

Синус косинус и тангенс – материалы для подготовки к ЕГЭ по Математике

Изучение тригонометрии мы начнем с прямоугольного треугольника. Определим, что такое синус и косинус, а также тангенс и котангенс острого угла. Это основы тригонометрии.

Напомним, что прямой угол — это угол, равный 90 градусов. Другими словами, половина развернутого угла.

  • Острый угол — меньший 90 градусов.
  • Тупой угол — больший 90 градусов. Применительно к такому углу «тупой» — не оскорбление, а математический термин 🙂
  • Как найти косинус

Нарисуем прямоугольный треугольник. Прямой угол обычно обозначается . Обратим внимание, что сторона, лежащая напротив угла, обозначается той же буквой, только маленькой. Так, сторона, лежащая напротив угла A, обозначается .

  1. Угол обозначается соответствующей греческой буквой .
  2. Как найти косинус
  3. Гипотенуза прямоугольного треугольника — это сторона, лежащая напротив прямого угла.
  4. Катеты — стороны, лежащие напротив острых углов.

Катет , лежащий напротив угла , называется противолежащим (по отношению к углу ). Другой катет , который лежит на одной из сторон угла , называется прилежащим.

  • Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:
  • Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к гипотенузе:
  • Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему:
  • Другое (равносильное) определение: тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу:
  • Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к противолежащему (или, что то же самое, отношение косинуса к синусу):

Обратите внимание на основные соотношения для синуса, косинуса, тангенса и котангенса, которые приведены ниже. Они пригодятся нам при решении задач.

Давайте докажем некоторые из них.

  1. Сумма углов любого треугольника равна . Значит, сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равнa .
  2. С одной стороны, как отношение противолежащего катета к гипотенузе. С другой стороны, , поскольку для угла  катет а будет прилежащим.Получаем, что . Иными словами, .
  3. Возьмем теорему Пифагора: . Поделим обе части на : Мы получили основное тригонометрическое тождество.
  4. Поделив обе части основного тригонометрического тождества на , получим: Это значит, что если нам дан тангенс острого угла , то мы сразу можем найти его косинус. Аналогично,

Хорошо, мы дали определения и записали формулы. А для чего все-таки нужны синус, косинус, тангенс и котангенс?

Мы знаем, что сумма углов любого треугольника равна .

Знаем соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Это теорема Пифагора: .

Получается, что зная два угла в треугольнике, можно найти третий. Зная две стороны в прямоугольном треугольнике, можно найти третью. Значит, для углов — свое соотношение, для сторон — свое. А что делать, если в прямоугольном треугольнике известен один угол (кроме прямого) и одна сторона, а найти надо другие стороны?

С этим и столкнулись люди в прошлом, составляя карты местности и звездного неба. Ведь не всегда можно непосредственно измерить все стороны треугольника.

Синус, косинус и тангенс — их еще называют тригонометрическими функциями угла — дают соотношения между сторонами и углами треугольника. Зная угол, можно найти все его тригонометрические функции по специальным таблицам. А зная синусы, косинусы и тангенсы углов треугольника и одну из его сторон, можно найти остальные.

Мы тоже нарисуем таблицу значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса для «хороших» углов от  до .

Обратите внимание на два красных прочерка в таблице. При соответствующих значениях углов тангенс и котангенс не существуют.

Разберем несколько задач по тригонометрии из Банка заданий ФИПИ.

1. В треугольнике угол  равен , . Найдите .

Задача решается за четыре секунды.

Поскольку , .

2. В треугольнике угол  равен , , . Найдите .

  1. Имеем:
  2. Отсюда
  3. Найдем  по теореме Пифагора.
  4. Задача решена.

Часто в задачах встречаются треугольники с углами  и  или с углами  и . Основные соотношения для них запоминайте наизусть!

Для треугольника с углами  и  катет, лежащий напротив угла в , равен половине гипотенузы.

Треугольник с углами  и  — равнобедренный. В нем гипотенуза в раз больше катета.

Мы рассмотрели задачи на решение прямоугольных треугольников — то есть на нахождение неизвестных сторон или углов. Но это не всё! В вариантах ЕГЭ по математике множество задач, где фигурирует синус, косинус, тангенс или котангенс внешнего угла треугольника. Об этом — в следующей статье.

Источник: https://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/sinus/

Вычислить и найти косинус онлайн на algebra24

  1. Вычислите длину гипотенузы прямоугольного треугольника, острый угол которого равен 26º, а прилежащий к нему катет 8 см? Посмотреть решение Решение:
    • Воспользуемся правилами соотношения углов и сторон в прямоугольном треугольнике.
    • $$ cos(alpha) = a over c $$, где $$c$$ – гипотенуза, $$a$$ – катет прилежащий к острому углу $$ alpha $$.
    • Тогда $$ c = frac{a}{cos(alpha)}$$.
    • Поставим значения:

    $$ c = frac{8}{cos(26^0)} = frac{8}{0.899} = 8.9 см $$

    Ответ:

    $$ с =8.9 см $$

  2. Две стороны треугольника равны 16 и 24 см. Вычислите длину третьей стороны, если угол между известными сторонами равен 120º. Посмотреть решение Решение:
    1. По теореме косинусов, квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без их удвоенного произведения на косинус угла между ними:
    2. $$ с^2 = a^2 + b^2 – 2 cdot a cdot b cdot cos(alpha) $$.
    3. Произведем подстановку:
    4. $$ c^2 = 16^2 + 24^2 – 2 cdot 16 cdot 24 cdot cos(120^0) = 16^2 + 24^2 – 2 cdot 16 cdot 24 cdot (-0.5) = 1216 $$
    5. Извлечем из полученного результата квадратный корень и возьмем положительное значение:
    6. $$ c = sqrt{1216} = 34,87 см $$

    Ответ:

    $$ с = 34,87 см $$

  3. Вычислите скалярное произведение двух векторов, если их модули равны $$5$$ и $$7$$ см, а угол между ними равен $$ pi over3 $$ радиан. Посмотреть решение Решение:
    • Скалярное произведение двух векторов равно произведению их модулей (длин) на косинус угла между ними $$ ab=│a│ cdot │b│ cdot cos(ab) $$
    • Подставив, получим:
    • $$ ab=5 cdot 7 cdot cos left(frac{pi}{3}
      ight) = 5 cdot 7 cdot 0,5 = 17,5 $$

    Ответ:

    $$ ab = 17,5 $$

  4. Какую работу выполнит сила 300 Н по перемещению тела на 5 м, если она направлена под углом 30º к направлению его движения? Посмотреть решение Решение:

    Работа силы находится по формуле

    $$ A=F cdot s cdot cos(alpha) $$, где $$ alpha $$ – угол между векторами силы F и перемещения.s.

    Произведем подстановку:

    $$ A = 300 cdot 5 cdot cos(30^0) = 1500 cdot 0,866=1299 Дж. $$

    Ответ:

    $$ A = 1299 Дж. $$

  5. Найти cos α, если противолежащий катет равен 8 см, а гипотенуза равна 10 см. Посмотреть решение Решение:
    1. По формуле Пифагора найдем прилежащий катет треугольника:
    2. $$ a = sqrt{(c^2 – b^2)} $$
    3. $$ a = sqrt{(10^2 – 8^2)} = sqrt{36} = 6 см $$
    4. По определению
    5. $$ cos alpha = frac{a}{c} $$
    6. $$ cos alpha = frac{6}{10} = 0.6 $$
    7. Значит, угол $$ alpha = 53^{ circ } $$

    Ответ:

    $$ cos alpha = 0.6 $$

  6. Найти cos α, если прилежащий катет равен 4 см, а противолежащий равен 3 см. Посмотреть решение Решение:
    • По формуле Пифагора найдем гипотенузу треугольника:
    • $$ c = sqrt{ (a^2 + b^2) } $$
    • $$ c = sqrt{ (4^2 + 3^2) } = sqrt{25} = 5 см$$
    • По определению
    • $$ cos alpha = frac{a}{c} $$
    • $$ cos alpha = frac{4}{5} = 0.8 $$
    • Значит, угол $$ alpha = 36^{ circ } $$

    Ответ:

    $$ cos alpha = 0.8 $$

  7. Найти cos α, если гипотенуза равна 10 см, а угол β=30°. Посмотреть решение Решение:

    Найдем прилежащий к углу катет. Известно, что катет лежащий против угла в 30°равен половине гипотенузы. Значит,

    1. a=5 см
    2. По определению
    3. $$ cos alpha = frac{a}{c} $$
    4. $$ cos alpha = frac{5}{10} = 0.5 $$
    5. Значит, угол $$ alpha = 60^{ circ } $$

    Ответ:

    $$ cos alpha = 0.5 $$

  8. Найти cos α, если противолежащий и прилежащий катеты равны, а гипотенуза равна 6√2см. Посмотреть решение Решение:
    • По формуле Пифагора найдем катеты треугольника:
    • $$ a = frac{c}{ sqrt{2} } $$
    • $$ a = frac{ 6 sqrt{2} }{ sqrt{2} } = 6 см $$
    • По определению
    • $$ cos alpha = frac{a}{c} $$
    • $$ cos alpha = frac{ 6 }{ (6 sqrt{2}) } = 0.7071 $$
    • Значит, угол $$ alpha = 45^{ circ } $$

    Ответ:

    $$ cos alpha = 0.7071 $$

Источник: https://algebra24.ru/vychislenie-cosinusa

Как найти косинус

Косинус является одной из основных тригонометрических функций.

Согласно определения данная величина представляет численное выражение отношения прилежащего катета (в прямоугольном треугольнике) к гипотенузе.

Для нахождения величины cos угла можно воспользоваться данными о сторонах треугольника, формулами приведения или же тригонометрическими тождествами. С каждым из способов более подробно познакомимся далее.

1

Нахождение величины косинуса по определению

Определение косинуса “привязывает” данную тригонометрическую функцию с прямоугольному треугольнику. Итак, перед вами указанная фигура – треугольник MSP, ∠P = 90°. Тогда:

  • cosM = MP/MS,
  • cosS = PS/MS, где
  • MP и PS – прилежащие (для каждого конкретного угла) катеты,
  • MS – гипотенуза заданного треугольника.

2

Нахождение величины косинуса угла между векторами

Пересечение направленных отрезков прямой – векторов – ведет к образованию углов.

Найти их косинус (а, значит, в последствии и градусную меру) позволяет определение скалярного произведения векторов.

Данная формулировка предполагает перемножение длин векторов на косинус угла, образованного в результате их пересечения. Т.о., если у вас есть 2 направленных отрезка ū и ō, то

  • ūō = ū *ō = (ū, ō) = lūl * lōl * cos (ū,ˆ ō), ⇒
  • cos (ū,ˆ ō) =  (ū, ō) / lūl * lōl.
  • В проекции на координаты декартовой системы направленные отрезки имеют параметры ū (x,y) = (u(x) ,u(y)) и ō (x,y) = (o(x), o(y)). Значит соотношение приобретает следующий вид:
  • cos (ū,ˆ ō) = (u(x)*o(x) + u(y)*o(y)) / lūl * lōl = (u(x)*o(x) + u(y)*o(y)) / (√(u(x)2 + u(y)2) * √o(x)2 + o(y)2).

Если направленные отрезки заданы не на плоскости, а в пространстве, добавляется третья координата – z. Выражение нахождения косинуса преобразуется и будет иметь следующий вид:

cos (ū,ˆ ō) = (u(x)*o(x) + u(y)*o(y) + u(z)*o(z)) / lūl * lōl = (u(x)*o(x) + u(y)*o(y) + u(z)*o(z)) / (√(u(x)2 + u(y)2 + u(z)2) * √o(x)2 + o(y)2 + o(z)2.

3

Нахождение величины косинуса с помощью формул приведения

Работая с формулами приведения для косинуса, необходимо понимать и помнить важное правило – переход от функции к кофункции (в данном случае переход от cos к sin) происходит при 90° и 270°. При 180° и 360° такой трансформации не будет.  Исходя из этого, справедливыми будут следующие соотношения:

  • cos(π/2 – μ) = sinμ,
  • cos(π/2 + μ) = -sinμ,
  • cos(π – μ) = cos(π + μ) = -cosμ,
  • cos(3π/2 – μ) = -sinμ,
  • cos(3π/2 + μ) = sinμ,
  • cos(2π – μ) = cos(2π + μ) = cosμ, где
  • μ – угол поворота.

Т.к. косинус является периодической функцией с периодом 2πk, где k – произвольное целое значение, в общем случае выражения приведения приобретут следующий вид:

  • cos(μ + 2πk) = cos(-μ + 2πk) = cosμ,
  • cos(π/2 – μ + 2πk) = sinμ,
  • cos(π/2 + μ + 2πk) = -sinμ,
  • cos(π – μ + 2πk) = cos(π + μ + 2πk) = -cosμ,
  • cos(3π/2 – μ + 2πk) = -sinμ,
  • cos(3π/2 + μ + 2πk) = sinμ,
  • cos(2π – μ + 2πk) = cos(2π + μ + 2πk) = cosμ.

4

Нахождение величины косинуса через тригонометрические тождества

Данные тождества представляют собой выражения (равенства), справедливые для угла любой градусной меры.

  • cos2μ + sin2μ = 1 ⇒  cos2μ = 1 – sin2μ ⇒ cosμ = ±√ 1 – sin2μ
  • tgμ = sinμ / cosμ ⇒ cosμ = sinμ / tgμ
  • ctgμ = cosμ / sinμ ⇒ cosμ = ctgμ * sinμ
  • 1/cos2μ = tg2μ + 1 ⇒ cos2μ = 1 / (tg2μ + 1) ⇒ cosμ = ± 1 / √tg2μ + 1

5

Нахождение косинуса угла – табличные величины

Для каждого угла, градусная мера которого находится в промежутке от 0° до 360°, можно определить соответствующее значение косинуса, воспользовавшись одноименной таблицей. Наиболее распространенными и часто используемыми являются следующие константы:

  • cos0° = 1,                                          cos90° = 0,
  • cos30° =√3/2,                                   cos180° = -1,
  • cos60° = 1/2,                                     cos360° = 1.
  • cos45° = √2/2,

Источник: https://sovetclub.ru/kak-najti-kosinus

Как найти косинус треугольника?

Косинус – это всем известная тригонометрическая функция, которая к тому же является еще и одной из основных функций тригонометрии. Косинус угла в треугольнике прямоугольного типа – это отношение прилежащего катета треугольника к гипотенузе треугольника.

Наиболее часто определение косинуса связывают с треугольником именно прямоугольного типа. Но бывает и так, что тот угол, для которого необходимо вычислить в треугольнике прямоугольного типа косинус, в этом самом треугольнике прямоугольного типа не расположен.

Что же тогда делать? Как найти косинус угла треугольника?

Если требуется вычислить косинус угла именно в треугольнике прямоугольного типа, то тут все очень просто. Нужно лишь вспомнить определение косинуса, в котором и кроется решение данной задачи.

Просто требуется найти то самое отношение между прилежащим катетом, а также гипотенузой треугольника. Действительно здесь нетрудно выразить косинус угла. Формула выглядит следующим образом: – cosα = a/c, здесь “а” – это длина катета, а сторона “с”, соответственно, длина гипотенузы.

К примеру, косинус острого угла прямоугольного треугольника можно найти по этой формуле.

Если Вас интересует, чему равен косинус угла в произвольном треугольнике, то на помощь приходит теорема косинусов, которой и стоит воспользоваться в подобных случаях.

Теорема косинусов гласит о том, что квадрат стороны треугольника априори равен сумме квадратов остальных сторон того же треугольника, но уже без удвоенного произведения этих сторон на косинус того угла, который расположен между ними.

  1. Если в треугольнике необходимо найти косинус острого угла, то нужно воспользоваться такой формулой: cosα = (a2 + b2 – c2)/(2ab).
  2. Если же в треугольнике необходимо найти косинус тупого угла, то нужно воспользоваться такой формулой: cosα = (с2 – a2 – b2)/(2ab). Обозначения в формуле – а и b – это длины сторон, которые являются прилежащими к искомому углу, с – это длинна стороны, которая является противолежащей искомому углу.

Также косинус угла можно вычислять при помощи теоремы синусов. Она гласит, что все стороны треугольника пропорциональны синусам углов, которые противоположны.

При помощи теоремы синусов можно вычислять остальные элементы треугольника, имея сведения лишь о двух сторонах и угле, который является противолежащим одно стороне, или же по двум углам и одной стороне. Рассмотри на примере. Условия задачи: а=1; b=2; с=3.

Угол, который противоположен стороне “А”, обозначаем – α, тогда, согласно формулам, имеем: соsα=(b²+c²-а²)/(2*b*c)=(2²+3²-1²)/(2*2*3)=(4+9-1)/12=12/12=1. Ответ: 1.

Если же косинус угла нужно вычислить не в треугольнике, а в какой-то другой произвольной геометрической фигуре, то тут все становится немного сложнее.

Величину угла вначале нужно определить в радианах или же градусах, а уже потом вычислять косинус по этой величине.

Косинус по числовому значению определяется при помощи таблиц Брадиса, инженерных калькуляторов или специальных математических приложений.

Специальные математические приложения могут иметь такие функции, как автоматический подсчет косинусов углов в той или иной фигуре.

Прелесть таких приложений заключается в том, что они дают правильный ответ, а пользователь не затрачивает свое время на решение порой довольно сложных задач.

С другой стороны, при постоянном использовании исключительно приложений для решения задач, теряются все навыки по работе с решением математических задач на нахождение косинусов углов в треугольниках, а также других произвольных фигурах.

Источник: https://elhow.ru/ucheba/geometrija/planimetrija/kak-najti-kosinus-treugolnika

Калькулятор косинуса

Косинус — тригонометрическая функция, которая геометрически определяется как соотношение прилежащего катета к гипотенузе. Как и все тригонометрические функции, косинус нашел широчайшее применение в науке.

История вопроса

Тригонометрия как наука возникла еще в Древней Индии, когда ученые разработали таблицу соотношений катетов и гипотенуз и их численных значений для основных углов.

Термин «косинус» — сравнительно молодой, так как изначально ученые пользовались только синусом и тангенсом угла. Complementry sinus, он же дополнительный синус, он же косинус — это просто синус угла, смещенного на 90 градусов.

Именно поэтому для расчета соотношений прилежащего к углу катета и гипотенузы использовался синус смещенного угла, что упрощало расчеты.

Геометрически косинус — это соотношение прилежащего катета к гипотенузе. Прилежащий катет — это сторона прямоугольного треугольника, которая вместе с гипотенузой образует рассматриваемый угол. Как и любая тригонометрическая функция, изначально косинус рассчитывался только для углов.

Для любого значения угла косинус имеет строго определенное значение и никогда не изменяется. С развитием математической науки тригонометрические функции были расширены на всю числовую ось, и сегодня легко взять косинус не только целого числа, но также вещественного и даже комплексного.

Определение косинуса

Итак, есть прямоугольный треугольник, катеты которого обозначаются как A и B, а гипотенуза как C. Из определения косинуса мы получаем, что для заданного угла AC его соотношение прилежащего катета и гипотенузы будет равно cosAC = A/C.

Изначально косинусы рассчитывались только для прямоугольных треугольников, однако с развитием математической науки косинусы прочно вошли в расчеты и сейчас используются для любых треугольников.

Одним из таких примеров является теорема косинусов — теорема евклидовой геометрии, которая расширяет теорему Пифагора на любые плоские треугольники.

Теорема косинусов

  • Для любого треугольника справедливо равенство:
  • a2 = b2 + c2 — 2b × c × cosA,
  • где угол A — это угол, противолежащий стороне a.

Данное уравнение правдиво для любых плоских треугольников и при помощи него легко определить угол или одну из сторон. Если угол A — прямой, то выражение 2b×c×cosA обращается в ноль, так как cos90 = 0.

Следовательно, напротив прямого угла лежит наибольшая сторона или гипотенуза, а теорема косинусов превращается в классическую теорему Пифагора:

a2 = b2 + c2,

где a — гипотенуза.

Использование косинусов

В повседневной жизни тригонометрические функции не находят применения. Вся бытовая математика находится на уровне математических познаний древних греков, когда для простейших расчетов используются элементарные арифметические функции и рациональные соотношения.

Однако большая часть современных технологий функционирует с использованием различных тригонометрических функций. К примеру, для определения мощности электротехнических приборов используется косинус фи — косинус угла между векторными значениями тока и напряжения.

Еще пример: через тригонометрические функции легко перевести геодезические углы в привычные нам координаты на земной поверхности.

Наша программа представляет собой онлайн-калькулятор, который позволяет рассчитывать значения основных тригонометрических функций углов, выраженных в градусах или радианах.

Для использования калькулятора требуется выбрать в меню программы требуемую функцию и ввести величину угла в градусах. Калькулятор вычисляет и обратную функцию арккосинуса.

Если требуется определить угол по известному значению косинуса, введите значение функции в ячейку «Косинус» и выполните расчет. Программа мгновенно выдаст значение угла. Рассмотрим пару примеров использования калькулятора.

Примеры из жизни

Вычисление углов

Пусть в задаче по геометрии дан треугольник со сторонами A = 3 см, B = 4 см и C = 5 см. Требуется найти значения всех углов. На первый взгляд это сложная задача, однако мы знаем, что 3, 4 и 5 — это классическая пифагорова тройка, следовательно, известны значения катетов и гипотенуз.

Очевидно, что угол AB = 90 градусов, так как катеты всегда образуют прямой угол. Теперь мы можем найти углы AC и BC. Косинус угла численно равен дроби, в числителе которой стоит прилежащий катет, а в знаменателе — гипотенуза. Прилежащие катеты — это образующие угол катеты, следовательно, cosAC = A/C и cosBC = B/C.

Подсчитаем численные значения:

  • cosAC = A/C = 3/5 = 0,6;
  • cosBC = B/C = 4/5 = 0,8.

Теперь определим соответствующие углы при помощи нашего калькулятора. Углы с такими значениями косинусов равны соответственно 53,13 и 36,87 градуса. Правильность решения легко проверить, сложив величины углов:

90 + 53,13 + 36,87 = 180.

Расчет косинусов

Прямая задача определения численных значений функций — это вычисление косинуса в зависимости от величины угла. Для такой задачи можно использовать таблицу Брадиса — четырехзначные таблицы значений тригонометрических функций для целочисленных величин углов. Вычислим значения косинусов для основных углов. Для этого введем значения в ячейки «Косинус»:

  • cos30 = 0,866;
  • cos45 = 0,707;
  • cos60 = 0,5;
  • cos90 = 0;
  • cos120 = –0,5;
  • cos150 = — 0,866;
  • cos180 = — 1.

Это основные значения косинусов для стандартных величин углов треугольника. В целом значения тригонометрических функций периодически повторяются каждые 360 градусов.

Заключение

Тригонометрия — определенно важный раздел математики, функции которого повсеместно используются в современных технологиях. Наши калькуляторы прекрасно подходят для элементарных расчетов по геометрии и тригонометрии.

Источник: https://BBF.ru/calculators/170/

Ссылка на основную публикацию