Как решать логарифмические уравнения

С уравнениями мы все знакомы с начальных классов. Еще там мы учились решать самые простые примеры, и надо признать, что они находят свое применение даже в высшей математике. С уравнениями все просто, в том числи и с квадратными. Если у вас проблемы с этой темой, настоятельно рекомендуем вам повторить ее.

Логарифмы вы, вероятно, тоже уже прошли. Тем не менее, считаем важным рассказать, что это для тех, кто еще не знает. Логарифм приравнивается к степени, в которую нужно возвести основание, чтобы получилось число, стоящее справа от знака логарифма. Приведем пример, исходя из которого, вам все станет ясно.

Как решать логарифмические уравнения

Если вы возведете 3 в четвертую степень получится 81. Теперь подставьте по аналогии числа, и поймете окончательно, как решаются логарифмы. Теперь осталось лишь совместить два рассмотренных понятия. Изначально ситуация кажется чрезвычайно сложной, но при ближайшем рассмотрении весе становится на свои места. Мы уверены, что после этой короткой статьи у вас не будет проблем в этой части ЕГЭ.

Как правильно решать?

Сегодня выделяют множество способов решения подобных конструкций. Мы расскажем о самых простых, эффективных и наиболее применимых в случае заданий ЕГЭ. Решение логарифмических уравнений должно начинаться с самого простого примера. Простейшие логарифмические уравнения состоят из функции и одной переменной в ней.

Как решать логарифмические уравнения

Важно учесть, что x находится внутри аргумента. A и b должны быть числами. В таком случае вы можете попросту выразить функцию через число в степени. Выглядит это следующим образом.

Как решать логарифмические уравнения

Разумеется, решение логарифмического уравнения таким методом приведет вас к верному ответу. Ног проблема подавляющего большинства учеников в этом случае заключается в том, что они не понимают, что и откуда берется.

В результате приходится мириться с ошибками и не получать желаемых баллов. Самой обидной ошибкой будет, если вы перепутаете буквы местами.

Чтобы решить уравнение этим способом, нужно зазубрить эту стандартную школьную формулу, потому что понять ее сложно.

Чтобы было проще, можно прибегнуть к другому способу – канонической форме. Идея крайне проста. Снова обратите внимание на задачу. Помните, что буква a – число, а не функция или переменная. A не равно одному и больше нуля. На b никаких ограничений не действует. Теперь из всех формул вспоминаем одну. B можно выразить следующим образом.

Как решать логарифмические уравнения

Из этого следует, что все исходные уравнения с логарифмами можно представить в виде:

Как решать логарифмические уравнения

Теперь мы можем отбросить логарифмы. Получится простая конструкция, которую мы уже видели ранее.

Как решать логарифмические уравнения

Удобство данной формулы заключается в том, что ее можно применять в самых разных случаях, а не только для самых простых конструкций.

Не переживайте насчет ООФ!

Многие опытные математики заметят, что мы не уделили внимание области определения. Сводится правило к тому, что F(x) обязательно больше 0. Нет, мы не упустили этот момент. Сейчас мы говорим об еще одном серьезном преимуществе канонической формы.

Лишних корней здесь не возникнет. Если переменная будет встречаться лишь в одном месте, то область определения не является необходимостью. Она выполняется автоматически. Чтобы убедиться в данном суждении, займитесь решением нескольких простых примеров.

Как решать логарифмические уравнения с разными основаниями

Это уже сложные логарифмические уравнения, и подход к их решению должен быть особым. Здесь редко получается ограничиться пресловутой канонической формой. Начнем наш подробный рассказ. Мы имеем следующую конструкцию.

Как решать логарифмические уравнения

Обратите внимание на дробь. В ней находится логарифм. Если вы увидите такое в задании, стоит вспомнить один интересный прием.

Как решать логарифмические уравнения

Что это значит? Каждый логарифм можно представить в виде частного двух логарифмов с удобным основанием. И у данной формулы есть частный случай, который применим с этим примером (имеем ввиду, если c=b).

Как решать логарифмические уравнения

Именно такую дробь мы и видим в нашем примере. Таким образом.

Как решать логарифмические уравнения

По сути, перевернули дробь и получили более удобное выражение. Запомните этот алгоритм!

Теперь нужно, что логарифмическое уравнение не содержало разных оснований. Представим основание дробью.

В математике есть правило, исходя из которого, можно вынести степень из основания. Получается следующая конструкция.

Казалось бы, что мешает теперь превратить наше выражение в каноническую форму и элементарно решить ее? Не все так просто. Дробей перед логарифмом быть не должно. Исправляем эту ситуацию! Дробь разрешается выносить в качестве степени.

  • Соответственно.

Если основания одинаковые, мы можем убрать логарифмы и приравнять сами выражения. Так ситуация станет в разы проще, чем была. Останется элементарное уравнение, которое каждый из нас умел решать еще в 8 или даже в 7 классе. Расчеты вы сможете произвести сами.

Мы получили единственно верный корень этого логарифмического уравнения. Примеры решения логарифмического уравнения достаточно просты, не так ли? Теперь и у вас получится самостоятельно разобраться даже с самыми сложными задачами для подготовки и сдачи ЕГЭ.

Что в итоге?

В случае с любыми логарифмическими уравнениями мы исходим из одного очень важного правила. Необходимо действовать так, чтобы привести выражение к максимально простому виду. В таком случае у вас будет больше шансов не просто решить задание правильно, но еще и сделать это максимально простым и логичным путем. Именно так всегда действуют математики.

Настоятельно не рекомендуем вам искать сложных путей, особенно в этом случае. Запомните несколько простых правил, которые позволят преобразовать любое выражение. К примеру, привести два или три логарифма к одному основанию или вывести степень из основания и выиграть на этом.

Также стоит помнить о том, что в решении логарифмических уравнений необходимо постоянно тренироваться. Постепенно вы будете переходить ко все более сложным конструкциям, а это приведет вас к уверенному решению всех вариантов задач на ЕГЭ. Готовьтесь к экзаменам заблаговременно, и удачи вам!

Источник: https://karate-ege.ru/matematika/logarifmicheskie-uravneniya.html

Логарифмические уравнения. Видеоурок. Алгебра 11 Класс

На данном уроке мы повторим основные теоретические факты о логарифмах и рассмотрим решение простейших логарифмических уравнений.

Как решать логарифмические уравнения

  • Определение:
  • Логарифмом числа b по основанию а называется такой показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число b.
  • Напомним основное логарифмическое тождество.
  • Выражение  (выражение 1) является корнем уравнения  (выражение 2). Подставим значение х из выражения 1 вместо х в выражение 2 и получим основное логарифмическое тождество:
  • Итак мы видим, что каждому значению  ставится в соответствие значение . Обозначим b за х (), с за у, и таким образом получаем логарифмическую функцию:

Как решать логарифмические уравнения Как решать логарифмические уравнения

Вспомним основные свойства логарифмической функции.

Еще раз обратим внимание, здесь , т. к. под логарифмом может стоять строго положительное выражение,  как основание логарифма.

Как решать логарифмические уравнения

Рис. 1. График логарифмической функции при различных основаниях

График функции  при  изображен черным цветом. Рис. 1. Если аргумент возрастает от нуля до бесконечности, функция возрастает от минус до плюс бесконечности.

График функции  при  изображен красным цветом. Рис. 1.

Свойства данной функции:

Как решать логарифмические уравнения Как решать логарифмические уравнения

Функция монотонна на всей своей области определения. При  монотонно (строго) возрастает, большему значению аргумента соответствует большее значение функции. При  монотонно (строго) убывает, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Свойства логарифмической функции являются ключом к решению разнообразных логарифмических уравнений.

Рассмотрим простейшее логарифмическое уравнение, все остальные логарифмические уравнения, как правило, сводятся к такому виду.

Как решать логарифмические уравнения

  1. Поскольку равны основания логарифмов и сами логарифмы, равны и функции, стоящие под логарифмом, но мы должны не упустить область определения. Под логарифмом может стоять только положительное число, имеем:
  2. Мы выяснили, что функции f и g равны, поэтому достаточно выбрать одно любое неравенство чтобы соблюсти ОДЗ.
  3. Таким образом, мы получили смешанную систему, в которой есть уравнение и неравенство:

Как решать логарифмические уравнения

  • Неравенство, как правило, решать необязательно, достаточно решить уравнение и найденные корни подставить в неравенство, таким образом выполнить проверку.
  • Сформулируем метод решения простейших логарифмических уравнений:
  • Уравнять основания логарифмов;
  • Приравнять подлогарифмические функции;
  • Выполнить проверку.
  • Рассмотрим конкретные примеры.
  • Пример 1 – решить уравнение:
Читайте также:  Как восстановить файлы после форматирования

Как решать логарифмические уравнения

Основания логарифмов изначально равны, имеем право приравнять подлогарифмические выражения, не забываем про ОДЗ, выберем для составления неравенства первый логарифм:

Как решать логарифмические уравнения

  1. Найдем корень и подставим его в неравенство:
  2. Ответ:
  3. Пример 2 – решить уравнение:
  4. Данное уравнение отличается от предыдущего тем, что основания логарифмов меньше единицы, но это никак не влияет на решение:
  5. Основания логарифмов изначально равны, имеем право приравнять подлогарифмические выражения, не забываем про ОДЗ, выберем для составления неравенства второй логарифм:
  6. Найдем корень и подставим его в неравенство:
  7. Получили неверное неравенство, значит, найденный корень не удовлетворяет ОДЗ.
  8. Ответ:
  9. Пример 3 – решить уравнение:
  10. Основания логарифмов изначально равны, имеем право приравнять подлогарифмические выражения, не забываем про ОДЗ, выберем для составления неравенства второй логарифм:
  11. Найдем корень и подставим его в неравенство:
  12. Очевидно, что только первый корень удовлетворяет ОДЗ.
  13. Ответ:

Итак, мы приступили к изучению важной темы – решение логарифмических уравнений. Мы рассмотрели методику решения простейших уравнений и несколько примеров ее применения. Далее мы перейдем к изучению более сложных логарифмических уравнений.

Список литературы

  1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
  2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
  3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Reshit.ru (Источник).
  2. Egesdam.ru (Источник).
  3. Math.md (Источник).
  • Домашнее задание
  • 1. Решить уравнение:
  • а) ; б) ; в) ; г) ;
  • 2. Решить уравнение:
  • а) ; б) ;
  • в) ; г) ;
  • 3. Решить уравнение:
  • а) ; б) ;
  • в) ; г) ;

Источник: https://interneturok.ru/lesson/algebra/11-klass/pokazatelnaya-i-logarifmicheskaya-funktsii/logarifmicheskie-uravneniya

Как решать логарифмические уравнения подробный разбор примеров

Как решать логарифмические уравнения

Чтобы ответить на вопрос как решать логарифмические уравнения давайте вспомним, что такое логарифм. Логарифм — это показатель степени, в которую нужно возвести основание логарифма, чтобы получить число.

Например,

или число 3 (показатель степени) мы можем записать так  , таким образом 

Основание логарифма всегда положительное число, не равное 1. Число под знаком логарифма — строго больше нуля.

Теперь переходим непосредственно к вопросу — как решать логарифмические уравнения из профильного и из базового ЕГЭ.

Пример 1 Найдите корень уравнения

Как решать логарифмические уравнения

  • согласно определению логарифма:
  • Все неизвестные переносим в левую часть уравнения (слева от =), а известные — переносим в правую сторону.
  • Получим:
  • Делаем проверку:

Как решать логарифмические уравнения

  1. Ответ:

Пример 2. Найдите корень уравнения

Как решать логарифмические уравнения

Здесь для решения данного логарифмического уравнения будем использовать свойство логарифма:

Как решать логарифмические уравнения

То есть внесем число 3 справа под знак логарифма.

Как решать логарифмические уравнения

или

Как решать логарифмические уравнения

  • Если показатели степени равны, основания степени равны, то равны числа, получаемые в результате, то есть получим

Как решать логарифмические уравнения
Как решать логарифмические уравнения

Ответ:

Пример 3. Найдите корень уравнения

Как решать логарифмические уравнения

  1. Используем следующее свойство логарифма:
  2. Тогда получим:
  3. Делаем проверку:
  4. Ответ:

Пример 4. Найдите корень уравнения

  • Используя определение логарифма, получим:
  • Проверим:
  • Ответ: .
  • Таким образом, теперь вы можете составить четкую инструкцию, как решать логарифмические уравнения. Она заключается в следующих шагах:
  1. Сделать справа и слева от знака равенства (=) логарифмы по одному основанию, избавившись от коэффициентов перед логарифмами, используя свойства логарифмов.
  2. Избавляемся от логарифмов, используя правило потенцирования. Остаются только числа, которые были под знаком логарифма.
  3. Решаем получившееся обычное уравнение — как найти корень уравнения смотрите здесь.
  4. Делаем проверку
  5. Записываем ответ.

Источник: https://repetitor-mathematics.ru/kak-reshat-logarifmicheskie-uravneniya-podrobnyiy-razbor/

Логарифмические уравнения, примеры решений

Как решать логарифмические уравнения Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Как решать логарифмические уравнения Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?! Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Как решать логарифмические уравнения

Простейшие логарифмических уравнений:

  1. log _{a} x = b 	ext{ } Leftrightarrow 	ext{ } x=a^{b} 	ext{ },	ext{ } x0 	ext{ },	ext{ } a0 	ext{ },	ext{ } a 
eq 1
  2. log _{a} f(x) = b 	ext{ } Leftrightarrow 	ext{ } f(x)=a^{b} 	ext{ },	ext{ } f(x)0 	ext{ },	ext{ } a0 	ext{ },	ext{ } a 
eq 1
  3. log _{a} f(x) = g(x) 	ext{ } Leftrightarrow 	ext{ } f(x)=a^{g(x)} 	ext{ },	ext{ } f(x)0 	ext{ },	ext{ } a0 	ext{ },	ext{ } a 
eq 1
  4. Уравнение Как решать логарифмические уравнения равносильно системе Как решать логарифмические уравнения или Как решать логарифмические уравнения, где .
  5. Уравнение равносильно системе или системе .

Так же при решении логарифмических выражений применяется метод потенцирования – переход от уравнения с логарифмами к уравнениям, которые их не содержат; и метод замены переменной.

Примеры

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Источник: http://ru.solverbook.com/primery-reshenij/primery-resheniya-logarifmicheskix-uravnenij/

Методы решения логарифмических уравнений

  • Алгебра 11 класс
  • Тема: « Методы решения логарифмических уравнений »
  • Цели урока:
  • образовательная: формирование знаний о разных способах решения логарифмических уравнений, умений применять их в каждой конкретной ситуации и выбирать для решения любой способ;
  • развивающая: развитие умений наблюдать, сравнивать, применять знания в новой ситуации, выявлять закономерности, обобщать; формирование навыков взаимоконтроля и самоконтроля;
  • воспитательная: воспитание ответственного отношения к учебному труду, внимательного восприятия материала на уроке, аккуратности ведения записей.

Тип урока: урок ознакомления с новым материалом.

«Изобретение логарифмов, сократив работу астронома, продлило ему жизнь». Французский математик и астроном П.С. Лаплас

Ход урока

I. Постановка цели урока

Изученные определение логарифма, свойства логарифмов и логарифмической функции позволят нам решать логарифмические уравнения. Все логарифмические уравнения, какой бы сложности они не были, решаются по единым алгоритмам. Эти алгоритмы рассмотрим сегодня на уроке. Их немного. Если их освоить, то любое уравнение с логарифмами будет посильно каждому из вас.

Запишите в тетради тему урока: «Методы решения логарифмических уравнений». Приглашаю всех к сотрудничеству.

II. Актуализация опорных знаний

Подготовимся к изучению темы урока. Каждое задание вы решаете и записываете ответ, условие можно не писать. Работайте в парах.

  1. 1) При каких значениях х имеет смысл функция:
  2. а) 
  3. б) 
  4. в) Как решать логарифмические уравнения
  5. д) 
  6. (По каждому слайду сверяются ответы и разбираются ошибки)
  7. 2) Совпадают ли графики функций?
  8. а) y = x и  
  9. б)  и 
  10. 3) Перепишите равенства в виде логарифмических равенств:
  11. 4) Запишите числа в виде логарифмов с основанием 2:
  12. 4 =
  13. — 2 =
  14. 0,5 =
  15. 1 =
  16. 5) ВычислитеКак решать логарифмические уравнения
  17. 6) Попытайтесь восстановить или дополнить недостающие элементы в данных равенствах.
  18. Как решать логарифмические уравнения
  19. III. Ознакомление с новым материалом
  20. Демонстрируется на экране высказывание:

«Уравнение – это золотой ключ, открывающий все математические сезамы».Современный польский математик С. Коваль

Попробуйте сформулировать определение логарифмического уравнения. (Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма).

Рассмотрим простейшее логарифмическое уравнение: logа x = b (где а>0, a ≠ 1 ). Так как логарифмическая функция возрастает (или убывает) на множестве положительных чисел и принимает все действительные значения, то по теореме о корне следует, что для любого b данное уравнение имеет, и притом только одно, решение, причем положительное.

Вспомните определение логарифма. (Логарифм числа х по основанию а – это показатель степени, в которую надо возвести основание а, чтобы получить число х). Из определения логарифма сразу следует, что авявляется таким решением.

Запишите заголовок: Методы решения логарифмических уравнений

1. По определению логарифма.

  • Так решаются простейшие уравнения вида .
  • Как решать логарифмические уравнения 
  • Рассмотрим № 514(а): Решить уравнение Как решать логарифмические уравнения
  • Как вы предлагаете его решать? (По определению логарифма)

РешениеКак решать логарифмические уравнения, Отсюда 2х – 4 = 4; х = 4.

Ответ: 4.

В этом задании 2х – 4 > 0, так как > 0, поэтому посторонних корней появиться не может, и проверку нет необходимости делать. Условие 2х – 4 > 0 в этом задании выписывать не надо.

2. Потенцирование (переход от логарифма данного выражения к самому этому выражению).

Рассмотрим  №519(г): log5(x2+8)-log5(x+1)=3log5 2

Какую особенность вы заметили? (Основания одинаковы и логарифмы двух выражений равны). Что можно сделать? (Потенцировать).

При этом надо учитывать, что любое решение содержится среди всех х, для которых логарифмируемые выражение положительны.

Решение: ОДЗ:

  1. X2+8>0 лишнее неравенство
  2. log5(x2+8) =log5 23+ log5(x+1)
  3. log5(x2+8)= log5 (8 x+8)
  4. Потенцируем исходное уравнение 
  5. x2+8= 8 x+8
  6. получим уравнение x2+8= 8x+8
  7. Решаем его: x2-8x=0
  8. х=0, х=8
  • Ответ: 0; 8
  • В общем виде переходом к равносильной системе:
  • Уравнение Как решать логарифмические уравнения
  • (Система содержит избыточное условие – одно из неравенств можно не рассматривать).

Вопрос классу: Какое из этих трех решений вам больше всего понравилось? (Обсуждение способов).

Вы имеете право решать любым способом.

3. Введение новой переменной.

Рассмотрим № 520(г). .

Что вы заметили? (Это квадратное уравнение относительно log3x) Ваши предложения? (Ввести новую переменную)

Читайте также:  Как делать эротический массаж

Решение. ОДЗ: х > 0.

Пусть , тогда уравнение примет вид:. Дискриминант D > 0. Корни по теореме Виета:.

  1. Вернемся к замене: или .
  2. Решив простейшие логарифмические уравнения, получим:
  3. ; .
  4. Ответ: 27; 

4. Логарифмирование обеих частей уравнения.

  • Решить уравнение:.
  • Решение: ОДЗ: х>0, прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10:
  • . Применим свойство логарифма степени:
  • (lgx + 3) lgx =
  • (lgx + 3) lgx = 4
  • Пусть lgx = y, тогда (у + 3)у = 4
  • , (D > 0) корни по теореме Виета: у1 = -4 и у2 = 1.
  • Вернемся к замене, получим: lgx = -4,; lgx = 1, .
  • Ответ: 0,0001; 10.

5. Приведение к одному основанию.

№ 523(в). Решите уравнение: 

Решение: ОДЗ: х>0. Перейдем к основанию 3.

 или ;.

Ответ: 9.

6. Функционально-графический метод.

509(г). Решить графически уравнение: = 3 – x.

Как вы предлагаете решать? (Строить по точкам графики двух функций у = log2x и y = 3 – x и искать абсциссу точек пересечения графиков).

Посмотрите ваше решение на слайде.

Есть способ, позволяющий не строить графикиОн заключается в следующем: если одна из функций у = f(x)возрастает, а другая y = g(x) убывает на промежутке Х, то уравнение f(x)= g(x) имеет не более одного корня на промежутке Х.

Если корень имеется, то его можно угадать.

В нашем случае функция возрастает при х>0, а функция y = 3 – x убывает при всех значениях х, в том числе и при х>0, значит, уравнение имеет не более одного корня. Заметим, что при х = 2 уравнение обращается в верное равенство, так как .

Ответ: 2

«Правильному применению методов можно научиться,только применяя их на различных примерах».Датский историк математики Г. Г. Цейтен

  1. IV. Домашнее задание
  2. П. 39 рассмотреть пример 3, решить № 514(б), № 529(б), №520(б), №523(б)
  3. V. Подведение итогов урока
  4. Какие методы решения логарифмических уравнений мы рассмотрели на уроке?

На следующих уроках рассмотрим более сложные уравнения. Для их решения пригодятся изученные методы.

Демонстрируется последний слайд:

«Что есть больше всего на свете?Пространство.Что мудрее всего?Время.Что приятнее всего?

Достичь желаемого».

Фалес

Желаю всем достичь желаемого. Благодарю за сотрудничество и понимание.

Источник: https://infourok.ru/metodi-resheniya-logarifmicheskih-uravneniy-785426.html

Задачи №9. Логарифмические выражения

Задание 5

Решение: + показать

Ответ: 12. 

Задание 6

  • Решение: + показать
  • Складывать логарифмы не имеем право, у них разные основания.
  • Работаем с каждым слагаемым по отдельности:

Ответ: 1,5. 

Задание 7.

  1. Найдите значение выражения .
  2. Решение: + показать
  3. Применяем 7-е свойство логарифмов:

Ответ: 2. 

Задание 8.

Найдите значение выражения .

Решение: + показать

Ответ: 2. 

Задание 9.

  • Найдите значение выражения .
  • Решение: + показать
  • Применяем следствие из свойства 7 логарифмов:
  • .
  • Ответ: 3. 

Задание 10.

  1. Найдите значение выражения .
  2. Решение: + показать
  3. Ответ: 9. 

Задание 11.

  • Найдите значение выражения .
  • Решение: + показать
  • Ответ: 1. 

Задание 12.

  1. Найдите значение выражения .
  2. Решение: + показать
  3. Ответ: 9. 

Задание 13.

  • Найдите значение выражения .
  • Решение: + показать
  • Ответ: 0. 

Задание 14.

  1. Вычислите значение выражения: .
  2. Решение: + показать
  3. В самом конце мы применили основное логарифмическое тождество, а до этого – следствие из свойства 7 логарифмов.
  4. Ответ: 2. 

Задание 15.

Найдите значение выражения .

Решение: + показать

Обратите внимание, это не произведение логарифмов. У логарифма по основанию подлогарифмным выражением является .

Ответ: 0,25. 

Буквенные логарифмические выражения

Задание 1.

  • Найдите , если .
  • Решение: + показать
  • При  имеем:
  • Ответ: -32. 

Задание 2.

  1. Найдите значение выражения , если .
  2. Решение: + показать
  3. При  получаем:
  4. Если осталось непонятно, как это из  получилось , – загляните в следствие свойства 7 логарифмов.
  5. Ответ: 34.

     

  6. 🙂 После плодотворной работы не помешало бы и отдохнуть немного… –>+ показать
  7. Жизнь полна неожиданностей, неправда ли?
  8. Вы можете пройти обучающий тест по теме «Преобразование логарифмических выражений».

  9. egeMax |

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Печать страницы

Источник: https://egemaximum.ru/v11-logarifmicheskie-vyrazheniya/

Решение логарифмических уравнений. Как решать, на примерах

Логарифмическим уравнением называется уравнение, в котором неизвестное (х) и выражения с ним находятся под знаком логарифмической функции. Решение логарифмических уравнений подразумевает, что вы уже знакомы с понятием и видами логарифмов и основными формулами.
Как решать логарифмические уравнения?

Самое простое уравнение имеет вид logax = b, где a и b -некоторые числа,x — неизвестное.
Решением логарифмическое уравнения является x = a b при условии: a > 0, a 1.

Следует отметить, что если х будет находиться где-нибудь вне логарифма, например log2х = х-2, то такое уравнение уже называется смешанным и для его решения нужен особый подход.

Идеальным случаем является ситуация, когда Вам попадется уравнение, в котором под знаком логарифма находятся только числа, например х+2 = log22. Здесь достаточно знать свойства логарифмов для его решения. Но такая удача случается не часто, поэтому приготовьтесь к более сложным вещам.

Но сначала, все-таки, начнём с простых уравнений. Для их решения желательно иметь самое общее представление о логарифме.

Решение простейших логарифмических уравнений

К таковым относятся уравнения типа log2х = log216. Невооруженным глазом видно, что опустив знак логарифма получим х = 16.

Для того, чтобы решить более сложное логарифмическое уравнение, его обычно приводят к решению обычного алгебраического уравнения или к решению простейшего логарифмического уравнения logax = b. В простейших уравнениях это происходит в одно движение, поэтому они и носят название простейших.

Вышеиспользованный метод опускания логарифмов является одним из основных способов решения логарифмических уравнений и неравенств. В математике эта операция носит название потенцирования. Существуют определенные правила или ограничения для подобного рода операций:

  • одинаковые числовые основания у логарифмов
  • логарифмы в обоих частях уравнения находятся свободно, т.е. без каких бы то ни было коэффициентов и других разного рода выражений.

Скажем в уравнении log2х = 2log2 (1- х) потенцирование неприменимо — коэффициент 2 справа не позволяет. В следующем примере log2х+log2 (1 — х) = log2 (1+х) также не выполняется одно из ограничений — слева логарифма два. Вот был бы один – совсем другое дело!

Вообщем, убирать логарифмы можно только при условии, что уравнение имеет вид:

loga (…) = loga (…)

В скобках могут находится совершенно любые выражения, на операцию потенцирования это абсолютно никак не влияет. И уже после ликвидации логарифмов останется более простое уравнение – линейное, квадратное, показательное и т.п., которое Вы уже, надеюсь, умеете решать.

  • Возьмем другой пример:
  • log3 (2х-5) = log3х
  • Применяем потенцирование, получаем:
  • 2х-5 = х
  • х=5
  • Пойдем дальше. Решим следующий пример:
  • log3 (2х-1) = 2

Исходя из определения логарифма, а именно, что логарифм — это число, в которое надо возвести основание, чтобы получить выражение, которое находится под знаком логарифма, т.е. (4х-1), получаем:

  1. 3 2 = 2х-1
  2. Дальше уже дело техники:
  3. 2х-1 = 9
  4. х =5

Опять получили красивый ответ. Здесь мы обошлись без ликвидации логарифмов, но потенцирование применимо и здесь, потому как логарифм можно сделать из любого числа, причем именно такой, который нам надо. Этот способ очень помогает при решении логарифмических уравнений и особенно неравенств.

Решим наше логарифмическое уравнение log3 (2х-1) = 2 с помощью потенцирования:

Представим число 2 в виде логарифма, например, такого log39, ведь 3 2=9.

Тогда log3 (2х-1) = log39 и опять получаем все то же уравнение 2х-1 = 9. Надеюсь, все понятно.

Вот мы и рассмотрели как решать простейшие логарифмические уравнения, которые на самом деле очень важны, ведь решение логарифмических уравнений, даже самых страшных и закрученных, в итоге всегда сводится к решению простейших уравнений.

Во всем, что мы делали выше, мы упускали из виду один очень важный момент, который в последующем будет иметь решающую роль.

Дело в том, что решение любого логарифмического уравнения, даже самого элементарного, состоит из двух равноценных частей. Первая – это само решение уравнения, вторая — работа с областью допустимых значений (ОДЗ).

Вот как раз первую часть мы и освоили. В вышеприведенных примерах ОДЗ на ответ никак не влияет, поэтому мы ее и не рассматривали.

А вот возьмем другой пример:

log3 (х 2-3) = log3 (2х)

Внешне это уравнение ничем не отличается от элементарного, которое весьма успешно решается. Но это не совсем так. Нет, мы конечно же его решим, но скорее всего неправильно, потому что в нем кроется небольшая засада, в которую сходу попадаются и троечники, и отличники. Давайте рассмотрим его поближе.

Допустим необходимо найти корень уравнения или сумму корней, если их несколько:

log3 (х 2-3) = log3 (2х)

Применяем потенцирование, здесь оно допустимо. В итоге получаем обычное квадратное уравнение.

  • х 2-3 = 2х
  • х 2-2х-3 = 0
  • Находим корни уравнения:
  • х1= 3
  • х2= -1
  • Получилось два корня.
  • Ответ: 3 и -1

С первого взгляда все правильно. Но давайте проверим результат и подставим его в исходное уравнение.

  1. Начнем с х1= 3:
  2. log36 = log36
  3. Проверка прошла успешно, теперь очередь х2= -1:
  4. log3 (-2) = log3 (-2)

Так, стоп! Внешне всё идеально. Один момент — логарифмов от отрицательных чисел не бывает! А это значит, что корень х = -1 не подходит для решения нашего уравнения. И поэтому правильный ответ будет 3, а не 2, как мы написали.

  • Вот тут-то и сыграла свою роковую роль ОДЗ, о которой мы позабыли.
  • Напомню, что под областью допустимых значений принимаются такие значения х, которые разрешены или имеют смысл для исходного примера.
  • Без ОДЗ любое решение, даже абсолютно правильное, любого уравнения превращается в лотерею — 50/50.

Как же мы смогли попасться при решении, казалось бы, элементарного примера? А вот именно в момент потенцирования. Логарифмы пропали, а с ними и все ограничения.

Что же в таком случае делать? Отказываться от ликвидации логарифмов? И напрочь отказаться от решения этого уравнения?

Нет, мы просто, как настоящие герои из одной известной песни, пойдем в обход!

Перед тем, как приступать к решению любого логарифмического уравнения, будем записывать ОДЗ. А вот уж после этого можно делать с нашим уравнением все, что душа пожелает. Получив ответ, мы просто выбрасываем те корни, которые не входят в нашу ОДЗ, и записываем окончательный вариант.

Теперь определимся, как же записывать ОДЗ. Для этого внимательно осматриваем исходное уравнение и ищем в нем подозрительные места, вроде деления на х, корня четной степени и т.п.

Пока мы не решили уравнение, мы не знаем – чему равно х, но твердо знаем, что такие х, которые при подстановке дадут деление на 0 или извлечение квадратного корня из отрицательного числа, заведомо в ответ не годятся.

Поэтому такие х неприемлемы, остальные же и будут составлять ОДЗ.

  1. Воспользуемся опять тем же уравнением:
  2. log3 (х 2-3) = log3 (2х)
  3. log3 (х 2-3) = log3 (2х)

Как видим, деления на 0 нет, квадратных корней также нет, но есть выражения с х в теле логарифма. Тут же вспоминаем, что выражение, находящееся внутри логарифма, всегда должно быть >0. Это условие и записываем в виде ОДЗ:

Т.е. мы еще ничего не решали, но уже записали обязательное условие на всё подлогарифменное выражение. Фигурная скобка означает, что эти условия должны выполняться одновременно.

ОДЗ записано, но необходимо еще и решить полученную систему неравенств, чем и займемся. Получаем ответ х > v3. Теперь точно известно – какие х нам не подойдут. А дальше уже приступаем к решению самого логарифмического уравнения, что мы и сделали выше.

Получив ответы х1= 3 и х2= -1, легко увидеть, что нам подходит лишь х1= 3, его и записываем, как окончательный ответ.

На будущее очень важно запомнить следующее: решение любого логарифмического уравнения делаем в 2 этапа. Первый — решаем само уравнение, второй – решаем условие ОДЗ. Оба этапа выполняются независимо друг от друга и только лишь при написании ответа сопоставляются, т.е. отбрасываем все лишнее и записываем правильный ответ.

Для закрепления материала настоятельно рекомендуем посмотреть видео:
На видео другие примеры решения лог. уравнений и отработка метода интервалов на практике.

На это по вопросу, как решать логарифмические уравнения, пока всё. Если что то по решению лог. уравнений осталось не ясным или непонятным, пишите свои вопросы в комментариях.

Заметка: Академия социального образования (КСЮИ) — готова принять новых учащихся.

Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

Источник: https://reshit.ru/Reshenie-logarifmicheskih-uravneniy

Логарифмические уравнения. Как решать логарифмические уравнения?

Примеры:

  • (log_{2}{⁡x} = 32) (log_3⁡x=log_3⁡9) (log_3⁡{(x^2-3)}=log_3⁡{(2x)}) (log_{x+1}{(x^2+3x-7)}=2)
  • (lg^2⁡{(x+1)}+10=11 lg⁡{(x+1)})

При решении логарифмического уравнения нужно стремиться преобразовать его к виду (log_a⁡{f(x)}=log_a⁡{g(x)}), после чего сделать переход к (f(x)=g(x)). (log_a⁡{f(x)}=log_a⁡{g(x)})     (⇒)     (f(x)=g(x)).

Пример:                                       (log_2⁡(x-2)=3)

Решение: (log_2⁡(x-2)=log_2⁡8) (x-2=8) (x=10)Проверка: (10>2) — подходит по ОДЗ Ответ: (x=10) ОДЗ: (x-2>0) (x>2)

Очень важно! Этот переход можно делать только если:

— вы написали ОДЗ для исходного уравнения, и в конце проверите, входят ли найденные корни в ОДЗ. Если это не сделать, могут появиться лишние корни, а значит – неверное решение.

—  число (или выражение) в основании логарифмов слева и справа одинаково;

— логарифмы слева и справа — «чистые», то есть не должно быть никаких коэффициентов, умножений, делений и т.д. – только одинокие логарифмы по обе стороны от знака равно.

Например:

  1. 1)  (log_3⁡{(x^2-3)}=log_3⁡{(2x)}) (x^2-3=2x) (x^2-2x-3=0)
  2. (x_1=3;)        (x_2=-1.)
Не написали ОДЗ и не проверили корни на соответствие ОДЗ. Уравнение решено неверно.
2) (log_5⁡{(x-7)}=log_3⁡{4}) Основания логарифмов разные, переход к (x-7=4) невозможен.
3) (log_6⁡{(x-2)}-log_6⁡{x} = log_6{⁡2x}) Логарифмы не «чистые», так как слева есть разность логарифмов. Переход к ((x-2)-x=2x) невозможен.
4) (log_2{⁡(x^2-24)}=-log_2⁡{x}) Логарифмы не «чистые» т.к. справа есть минус перед логарифмом. Переход к (x^2-24=-x) невозможен.
  • Заметим, что уравнения 3 и 4 можно легко решить, применив нужные свойства логарифмов.
  • Пример. Решить уравнение (2log_8⁡x=log_8⁡2,5+log_8⁡10)
  • Решение:
Напишем ОДЗ: (x>0).
(2log_8⁡x=log_8⁡2,5+log_8⁡10)       ОДЗ:  (x>0) Слева перед логарифмом стоит коэффициент, справа сумма логарифмов. Это нам мешает. Перенесем двойку в показатель степени (x) по свойству: (n log_b{⁡a}=log_b⁡{a^n}). Сумму логарифмов представим в виде одного логарифма по свойству: (log_a⁡b+log_a⁡c=log_a{⁡bc})
(log_8⁡{x^2}=log_8⁡25) Мы привели уравнение к виду (log_a⁡{f(x)}=log_a⁡{g(x)}) и записали ОДЗ, значит можно выполнить переход к виду (f(x)=g(x)).
(x^2=25) Получилось  неполное квадратное уравнение. Решаем его и получаем корни.
(x_1=5)            (x_2=-5) Проверяем подходят ли корни под ОДЗ. Для этого в неравенство (x>0) вместо (x) подставляем (5) и (-5). Эту операцию можно выполнить устно.
(5>0),               (-5>0) Первое неравенство верное, второе – нет. Значит (5) – корень уравнения, а вот (-5) – нет. Записываем ответ.
  1. Ответ:   (5)
  2. Пример: Решить уравнение (log^2_2⁡{x}-3 log_2{⁡x}+2=0)
  3. Решение:
Напишем ОДЗ: (x>0).
(log^2_2⁡{x}-3 log_2{⁡x}+2=0)       ОДЗ:  (x>0) Типичное уравнение, решаемое с помощью замены переменных. Заменяем (log_2⁡x) на (t).
(t=log_2⁡x)
(t^2-3t+2=0) Получили обычное квадратное уравнение. Ищем его корни.
(t_1=2)            (t_2=1) Делаем обратную замену
(log_2{⁡x}=2)            (log_2{⁡x}=1) Преобразовываем правые части, представляя их как логарифмы: (2=2 cdot 1=2 log_2⁡2=log_2⁡4)  и   (1=log_2⁡2)
(log_2{⁡x}=log_2⁡4)           (log_2{⁡x}=log_2⁡2 ) Теперь наши уравнения имеют вид (log_a⁡{f(x)}=log_a⁡{g(x)}), и мы можем выполнить переход к (f(x)=g(x)).
(x_1=4)            (x_2=2) Проверяем соответствие корней ОДЗ. Для этого в неравенство (x>0) вместо (x) подставляем (4) и (2).
(4>0)            (2>0) Оба неравенства верны. Значит и (4) и (2) корни уравнения.    

Ответ:   (4); (2).

Источник: http://cos-cos.ru/math/77/

Ссылка на основную публикацию